Практические приложения производной (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели урока:

  • систематизировать знания учащихся по вопросу «Определение производной. Геометрический и физический смысл производной»;
  • показать возможности практического применения изучаемого материала;
  • установить межпредметные связи с другими науками.

Оборудование:

  • таблица «Формулы дифференцирования»;
  • таблица «Правила дифференцирования»;
  • компьютерная презентация (ПРИЛОЖЕНИЕ 1) «Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной»;
  • проектор;
  • экран;
  • система упражнений.

Ход урока:

  • оргмомент (2 мин);
  • устная работа (7 мин);
  • решение задач (25 мин);
  • компьютерная презентация (5 мин);
  • домашнее задание (3 мин);
  • подведение итогов урока (3 мин).

Оргмомент

Класс разбит на 4 группы. Каждой группе в процессе урока будет предложено задание из различных областей знаний:

  • математика;
  • физика;
  • экономика и производство;
  • химия, биология, экология.

На уроке мы постараемся представить вопрос о практических приложениях производной. В школьном курсе алгебры и начал анализа рассматриваются приложения только в смежных областях знаний – физике и геометрии, исходя из физического и геометрического смысла производной. Поэтому, рассмотрев вопрос о дифференцировании функции, мы попытались перейти к решению задач из областей знаний, далеких от математики – таких как экономика, производство, биология, химия, технология.

Так как математическое моделирование реальных процессов используют в различных областях знаний, то и производную можно применить не только в физике и геометрии.

Опыт решения задач такого вида пока небольшой, но на начальном этапе изучения производной соответствующие задания имеет смысл рассмотреть, с дальнейшим их усложнением.

Работу на уроке мы построим следующим образом:

  • Разминка в виде решения устных заданий на применение формул и правил дифференцирования.
  • Работа в группах по приложению производной в математике; физике; экономике и производстве; химии, биологии, экологии с представлением решения одной задачи от группы на доске с объяснением и проверкой.
  • Компьютерная презентация: исторический материал об ученых, внесших вклад в развитие производной.
  • Комментарий по выполнению домашнего задания.
  • Подведение итогов урока.

Переходим к осуществлению плана работы на уроке.

Устная работа

Найдите производные указанных функций (если будет допущена ошибка, постарайтесь ее корректно исправить):

Найдите критические точки функции:

Верно ли, что ускорение тела происходит по линейному закону:

 

Решение задач

Представитель каждой группы выбирает область знаний по билетикам.

математика   физика   экономика и производство   химия, биология, экология

 Каждой группе предлагается 5 заданий. Их необходимо выполнить, решение оформить в тетради, обсудить и предоставить решение одной задачи на доске.

ЭКОНОМИКА

  1. Функция полных издержек производства имеет вид , где  - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства будут иметь наибольшее значение?
  2. Потребление электроэнергии предприятиями и населением города с 8 ч до 18 ч описывается формулой , где  - время в часах. В какой момент времени потребление энергии будет наибольшим?
  3. Выручка магазина меняется в зависимости от сезона по формуле . Найдите закон изменения дневной выручки магазина (скорость изменения выручки).
  4. Стоимость эксплуатации оборудования меняется по закону , где  - время в годах. В какой момент времени стоимость эксплуатации будет наименьшей?
  5. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью  км/ч, составляет . С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

ФИЗИКА

  1. Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью  меняется по закону . Найдите зависимость скорости камня от времени.
  2. Докажите, что движение по закону  происходит с ускорением, меняющемся по квадратичному закону.
  3. Материальная точка движется по закону . Найдите ускорение в момент времени .
  4. Закон движения тела имеет вид . Найдите момент остановки этого тела.
  5. Точка движется прямолинейно по закону . Докажите, что движение замедленное.

МАТЕМАТИКА

  1. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке .
  2. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке .
  3. Площадь прямоугольника 36 см2. Какую длину должны иметь стороны этого прямоугольника, чтобы его периметр был наибольшим?
  4. Сумма двух чисел равна 24. Найдите эти числа, если их произведение принимает наибольшее значение.
  5. Одно из двух чисел на 10 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение принимает наименьшее значение.

БИОЛОГИЯ, ХИМИЯ, ЭКОЛОГИЯ

  1. В условиях экологического равновесия популяция хищников меняется по закону , где  - время в годах. Найдите моменты времени, когда популяция хищников будет наибольшей и наименьшей.
  2. В условиях экологического равновесия популяция травоядных жертв хищников меняется по закону , где  - время в годах. Найдите моменты времени, когда популяция травоядных жертв хищников будет наибольшей и наименьшей.
  3. В задачах 1. и 2. выясните, когда популяции хищников и травоядных жертв хищников будут равными.
  4. Зависимость плотности  азотной кислоты от ее концентрации  при комнатной температуре описывается эмпирической формулой . Найдите закон изменения плотности  азотной кислоты.
  5. Процент  электропроводности раствора кислоты при комнатной температуре зависит от процента ее концентрации  в соответствии с формулой , где  и  измеряются в процентах. При каком значении  процент электропроводности  достигает наибольшего значения?

Представление решения задач на доске

Получив задание в начале урока, каждая группа приступает к решению задач на своих рабочих местах. Порядок выполнения заданий ученики выбирают сами: можно решать одновременно группой все задания, можно каждому ученику решить одну, а затем провести обсуждение решения в группе. В ходе обсуждения необходимо выбрать ту задачу, которую группа будет представлять у доски для остальных рабочих групп. Следует продумать, на какие теоретические вопросы предстоит отвечать, так как вопросы по домашнему заданию – как по теоретической, так и по практической части, должны задавать ученики, работающие в других группах.

Компьютерная презентация

При подготовке к уроку учащимся было дано задание по подбору задач по теме «Практические приложения производной», а также задание подготовить презентацию «Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной».

Каждая группа представляет свой слайд, рассказывая о математиках, работающих в области производной. Это Птолемей, Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж, Огюстен Луи Коши.

Домашнее задание

Поменяться заданиями группам. Сдать тетради на проверку. На следующих уроках в качестве заданий будут предложены подобные упражнения и у каждого ученика будет зачетная оценка по решению задач из каждой области знаний.

Подведение итогов урока

Объявление оценок, полученных на уроке. На дополнительной доске необходимо указать ответы ко всем задачам, предлагавшимся к решению.

Приложение 2

 К уроку в виде домашней работы были предложены следующие упражнения по вопросу приложения производной в таких областях знаний, как:

  • РАБОТА, ПРОИЗВОДСТВО, ТЕХНОЛОГИЯ;
  • ФИЗИКА;
  • ЭКОНОМИКА;
  • БИОЛОГИЯ, ХИМИЯ;
  • ГЕОМЕТРИЯ.

Приложение 3

На предыдущем уроке были рассмотрены следующие упражнения по следующим вопросам:

  • РАБОТА, ПРОИЗВОДСТВО, ТЕХНОЛОГИЯ;
  • ФИЗИКА;
  • ЭКОНОМИКА;
  • БИОЛОГИЯ;
  • ГЕОМЕТРИЯ;
  • АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА.

Литература

  1. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1987.
  2. Башмаков М.И. Математика. Учебник для профтехучилищ. М.: Высшая школа, 1994.
  3. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И. и др. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. М.: Просвещение, 1996.
  4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2-х частях.
    Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень).
    Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). М.: Мнемозина, 2006.
  5. Чудовский А.Н., Сомова Л.А. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. М.: Мнемозина, 1995.
  6. http://images.yandex.ru/