Программа курса по выбору по математике "Квадратичная функция и ее применение"

Пояснительная записка.

«Большинство жизненных задач
решаются как алгебраические
уравнения: приведением их к
самому простому виду.»
(Л.Н.Толстой)

Данный курс «Квадратичная функция и ее применение» поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса математики. Материал данного курса можно использовать как на уроках математики как дополнительный материал, так и на занятиях курса по выбору, математического кружка. Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математики и ее приложения. Предлагаемый курс освещает не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы.

Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств.

При этом задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Условия на существование корней, число корней, их значений, поведение и свойства графиков функции можно сформулировать в терминах соотношений между коэффициентами и условий на коэффициенты. По знакам коэффициентов можно однозначно восстановить эскиз графика функции, знак выражения b² – 4ac определяет существование и число корней, выражения присутствуют в теореме Виета. Важно понимать, как влияют коэффициенты квадратичной функции, их знаки, соотношения между ними на свойства функции и ее графика.

Большое практическое значение при решении задач на квадратичную функцию имеет наличие однозначного соответствия между алгебраическим описанием и геометрической интерпретацией задачи – графическим изображением и положением эскиза графика функции на координатной плоскости. С одной стороны, от учащихся требуется свободное владение свойствами квадратичной функции и умение построить соответствующую графическую интерпретацию, с другой - геометрическая интерпретация помогает проверить логическую правильность и непротиворечивость теоретических рассуждений. Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся – она из самых популярных тем в задачах с параметрами. Задачи с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на выпускных и вступительных экзаменах, ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня.

Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач , разнообразных по форме и содержанию, но объединённых одной идеей – в основе их решения лежат свойства функции y = ax² + bx + c.

Цели курса:

• восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность;
• продолжить формирование у учащихся представлений о следующих понятиях: область определения, область значения, наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции;
• выработать умение исследование и чтения графиков, применения графика к решению задач с модулями, параметрами;
• показать некоторые нестандартные приемы решения задач на основе свойств квадратичной функции;
• формировать качество мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку в жизни в современном обществе.

Задачи курса:

• научить учащихся решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;
• овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений;
• приобрести определенную математическую культуру;
• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 10 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Форма контроля: итоговая конференция (защита проектов, рефератов, индивидуальных и творческих заданий).

Программа может быть эффективно использована в 9 классе с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

Учебно-тематический план.

Содержание программы.

Тема 1. Квадратичная функция и ее свойства и график (4 часа).

Определение квадратичной функции. Свойства квадратичной функции.

График квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и старшего коэффициента при построении графика квадратичной функции, определение вершины параболы. Графики квадратичных функций, содержащих модули. Графическое решение квадратных уравнений.

Тема 2. Применение свойств квадратичной функции к решению задач (4 часа).

Применение квадратичной функции к решению задач на наибольшее и наименьшее значение. Корни квадратичной функции, теорема Виета. Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек Решение задач, сводящихся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Применение квадратичной функции к решению задач с параметрами.

Тема 3. Решение разнообразных задач по курсу. Заключительное занятие (2 часа).

Методические рекомендации.

Данный курс «Квадратичная функция и ее применение» дает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этот объем, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы: однако предполагается более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Одна из целей преподавания данного курса ориентационная – помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности, поэтому интерес и склонность учащегося к занятиям на курсах должны всемерно подкрепляться и развиваться.

В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному усвоению предлагаемого курса. На занятиях можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть группы. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю «опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придает уверенность, а слабому – помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

Для работы с учащимися безусловно применимы такие формы работы, как лекция и семинар. Помимо этих традиционных форм рекомендуется использовать также дискуссии, выступления с докладами, содержащими отчет о выполнении индивидуального или группового домашнего задания или с содокладами, дополняющими лекцию учителя. Возможны различные формы творческой работы учащихся, как например, «защита решения», отчет по результатам «поисковой» работы на страницах книг, журналов, сайтов в Интернете по указанной теме.

Занятия ведутся с опорой на принципы обучения:

• непрерывного повторения;
• полноты (рассматриваются различные примеры);
• принцип доступности (примеры рассматриваются подробно у доски);
• активности и индивидуального подхода (каждому предоставляется возможность рискнуть и попытаться решить более сложную задачу);
• научности;
• сознательности, самостоятельности.

Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания в соответствии со своими познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях организуется обсуждение
результатов этой работы. Задания для самостоятельных работ выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, использовать различные приемы подачи материала, например, создание слайдов в программе PowerPoint и их трансляция с помощью медиапроектора на большой экран. Можно развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими, главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. дает возможность уменьшить или увеличить количество задач по данной теме в зависимости от уровня подготовки учащихся или при установлении степени достижения результатов.

При реализации программы целесообразно:

• адаптировать учебный материал соответственно уровню подготовки контингента обучающихся. При этом доступность содержания не должна наносить ущерб его научности;
• предельно ориентировать содержание изученного на практическое применение;
• обеспечить условия, необходимые для овладения способами самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации настоящего времени;
• использовать разнообразные методы контроля, индивидуальные и творческие задания. Итоговой формой контроля является итоговая конференция с защитой творческих работ;
• считать критерием эффективности изучения программы повышение интереса к предмету и дальнейшее обучение в 10 классе математического профиля.

Основные формы организации учебных занятий:

• лекция;
• семинар;
• практикум;
• защита творческих и индивидуальных работ;
• учебные теоретические исследования;
• поиск и реферирование дополнительного материала из различных источников (справочников, газет, журналов, учебных пособий, интернет-ресурсов);
• мозговые штурмы.

Доминантной формой обучения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется как на занятиях, так и в ходе самостоятельной работы учащихся.

Требования к уровню усвоения учебного материала.

В результате изучения программы элективного курса «Квадратичная функция и ее применение» учащиеся получают возможность:

знать:

• формулу корней квадратного уравнения ax²+ bx + c = 0;
• теорему Виета для квадратного уравнения в общем виде и приведенного квадратного уравнения; теорему, обратную теореме Виета;
• способы построения «каркаса» графика квадратичной функции в зависимости от коэффициентов (вершины, направление ветвей, расположение по отношению к оси х);
• особенности построения графика квадратичной функции с модулями;
• методы решения задач на расположение корней квадратичной функции;
• методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение функции.

уметь:

• строить график квадратичной функции, график квадратичной функции с модулем;
• применять теорему Виета и обратную ей на нахождение корней квадратичной функции;
• решать задачи прикладного характера с опорой на графические представления.

Организация и проведение аттестации учеников.

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического и практического материала и поставить учащегося перед необходимостью постоянно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений.

Поэтому контроль знаний планируется проводить в виде итоговой конференции, которая состоит из защиты творческих работ, рефератов, проектов. Лучшие проекты, рефераты или исследовательские работы можно представить на школьную научно-практическую конференцию учащихся.

На защите проектов учащиеся представляют и отстаивают решения задач, подобранных ими из дополнительной литературы.

Результатом учебной деятельности учащихся может быть созданная ими «Энциклопедия задач на квадратичную функцию», в которую они внесут самостоятельно подобранные задачи с решениями.

Формой итогового контроля, по выбору учащихся, может быть и зачетная работа. Зачёт предполагает решение определённого количества задач, предложенного учителем в соответствии с уровнем учебной цели учащихся.

Творческие задания:

1. Сделать подборку олимпиадных задач на тему «Квадратичная функция и применение».
2. Сделать подборку задач из вариантов ЕГЭ.
3. Подготовить работу по теме:
   • «Квадратичная функция в физике и технике»;
   • «Квадратичная функция вокруг нас»;
   • «Рисуем графиками функций»;
   • «Функции вокруг нас»;
   • «Квадратичная функция творит чудеса»;
   • «Построение графиков квадратичных функций, содержащих знак абсолютной величины»;
   • по данной теме по выбору ученика.
4. Разработать тесты по теме «Квадратичная функция» для одноклассников (можно в электронном виде).
5. Сделать доклад по теме занятия.
6. Составить картотеку Интернет-ресурсов по данной теме.
7. Подготовить мультимедийные презентации по темам занятий.

Приложение

Литература для учителя:

1. В.Н.Студенецкая, Л.С. Сагателова. Сборник элективных курсов «Математика 8-9 классы». Выпуск 1. Издательство «Учитель», 2006 г.
2. С.И.Колесникова. «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс, 2005 год.
3. Г.А.Воронина. Практическое руководство для учителя «Элективные курсы». Издательство Москва Айрис пресс, 2006 год.
4. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. «Задачи с параметрами». «Илекса», Москва-Харьков, 2002
5. Петров К. Квадратичная функция и ее применение. – М.: Просвещение, 1995.
6. Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства. – М.: Просвещение, 1972.
7. Материалы Фестиваля педагогических идей «Открытый урок».