Уроки решения ключевых задач

Разделы: Математика

В данной статье речь пойдет о некоторых приемах активизации познавательной деятельности учащихся на уроках математики с целью повышения эффективности и реального результата урока.

Постоянный рост содержания учебного материала по всем школьным предметам, а также появление новых предметов, необходимость переработать, усвоить, запомнить огромное количество сведений, фактов, дат, формул, научиться действенно применять - всё это приводит к ухудшению здоровья учащихся, переутомлению, стрессам, снижению работоспособности. Возникает перегрузка, в результате чего эффективность обучения остаётся низкой.

Однако, без хорошей базы знаний, заложенной на уроках, невозможно говорить о практической применимости полученных знаний, а тем более о развитии творческих способностей.

Как снизить перегрузки учащихся? Как наиболее эффективно организовать учебный процесс? Как добиться активной работы каждого, даже самого слабого ученика на уроке? Ведь если учащийся не запомнил, не выучил необходимую информацию, то он фактически будет исключён из процесса дальнейшего обучения. В лучшем случае он лишь механически перепишет готовые решения с доски. Ни о каком понимании не может быть и речи.

Использование системы ключевых задач позволяет с одной стороны, включить в работу каждого ученика, а с другой развивает системное, логическое мышление учащихся. Для мотивированных детей появляется возможность проанализировать и оценить материал в полном объёме, сравнить разные методы решения, определить границы применимости для дальнейшего использования полученных знаний при решении более сложных задач

Основные элементы метода использования ключевых задач можно сформулировать следующим образом:

  1. По каждой основной теме курса можно выделить несколько ключевых задач, таким образом, что почти все остальные задачи нетрудно свести к одной из них или к комбинации нескольких.
  2. Все задачи разбираются и записываются на уроке в виде конспекта или в виде опорных схем.
  3. На первом этапе, когда дети только знакомятся с понятием “ключевая задача”, учитель сам выделяет систему ключевых задач по разбираемой теме. При этом в зависимости от подготовленности учащихся, все задачи могут быть разобраны и записаны на одном уроке, а могут записываться постепенно на нескольких уроках.
  4. Система задач, предложенная учителем, может дополняться самими учащимися.
  5. Наборы ключевых задач записываются детьми в отдельную тетрадь, которая будет являться своеобразным справочником по методам решения. К такому справочнику удобно обращаться при подготовке к контрольным работам, зачётам, а также при повторении.
  6. Работа по отбору ключевых задач ведется непрерывно, система дополняется

    7. новыми задачами, выделенными при решении более сложных задач.

  7. При составлении схем желательно использовать различные цвета.
  8. Учащимся разрешается на уроке при выполнении заданий пользоваться схемами и таблицами до тех пор, пока необходимость их использования не отпадёт. При этом хорошо реализуется принцип дифференцированного подхода в обучении, так как у слабых учащихся всегда под руками имеется “руководство к действию” в виде схем и алгоритмов, отражённых в опорном конспекте. А сильные ученики, проанализировав и обобщив весь материал конспекта в целом, получают возможность оценить весь “арсенал” различных методов решения. Что позволяет им перейти к самостоятельному решению комбинированных и творческих задач.
  9. После разбора всех ключевых задач, необходимо организовать деятельность учащихся так, чтобы они научились распознавать и решать как непосредственно сами ключевые задачи, так и задачи комбинированные, при решении которых используется уже несколько таких задач. Т.е. обязателен тренинг по распознаванию, применению, а, следовательно, и заучиванию системы “ключей”.

    10. Для организации тренинга учитель заранее готовит набор упражнений. Количество тренировочных работ (обучающего, а не контролирующего плана) зависит от подготовки класса в целом и каждого учащегося в отдельности.

  10. Целесообразно завершить использование полученных знаний зачётом.

    11. Итак, выделение системы ключевых задач, тренинг по распознаванию и применению, применение в незнакомых ситуациях, зачёт.

    Всё выше перечисленное не является догмой. Процесс обучения должен быть личностно ориентированным. Так, например сильным учащимся не нужны задания по распознаванию и репродуктивному воспроизведению материала. Они могут, пользуюсь дополнительной литературой, выяснить, является ли предложенная система ключевых задач полной или необходимо её дополнить, могут привести примеры сложных комбинированных задач, иллюстрирующие применение данной системы.

    Рассмотрим конкретные примеры.

    При итоговом повторении курса планиметрии в 9-ом классе рассматривается тема “Решение задач на трапецию”. При этом на уроке выделяются следующие ключевые задачи:

      1. Рис. 1. В трапеции ABCD
        1) AOD подобен СOВ, k=a/b(коэффициент подобия равен отношению оснований трапеции)
        2)S1 = S2 (SABO = SDOC)

Рис. 1

      1. Рис. 2. В равнобокой трапеции
        Рис. 2 а. – углы при основании равны (1=2)

Рис. 2 б. – диагонали равны (d1=d2)

Рис. 2 в. - AOD – равнобедренный

Рис. 2 г. – если BL AD, CM AD, то ABL = DCM,

AL = MD = (a-b)/2

Рис. 2 д. – если BL AD, CM AD, то AM = LD = l (l – средняя линия.)

  1. Рис.3.
    Если в равнобокую трапецию вписана окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции.
    AB = CD = (a+b)/2 = l

Рис. 3

  1. Рис. 4.
    1) Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
    2) Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.
    Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABD, (или около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции) R=abc/4S.

Рис. 4

  1. Рис. 5.
    Если окружность вписана в трапецию, то
    1) суммы противоположных сторон трапеции равны
    AB + CD = AD + BC
    2) центр окружности – точка пересечения биссектрис, проведенных из углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции (AO; BO – биссектрисы)
    3BOA = 90°
    4)Высота трапеции равна удвоенному радиусу вписанной окружности
    h=2r
    5)

Рис. 5

Давайте посмотрим, как можно использовать выделенные ключевые задачи при решении более сложных задач.

Задача 1. Найти радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию с основаниями 8 см и 2 см. (См. рис. 3.)

Вместе с учащимися после обсуждения и записи условия выделяются следующие ключевые задачи:

Ключевые задачи Решение
1) Если в равнобокую трапецию вписана окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции (рис. 3). 1) AB = CD = l

2) l= (AD + BC)/2 = (8 + 2)/2 = 5 (см)

AB = CD = 5 (см)
2) AL = (AD – BC)/2 (рис. 2 д) 2) Проведем BL AD

ABL – прямоугольный.

AL = (8 - 2)/2 = 3

По теореме Пифагора AB2 = AL2 + BL2

BL = = 4 (см)

H = BL =4 (см)
3) Если окружность вписана в трапецию, то hтр = 2r 3) h = 2r

r = Sh = 2 (см)

Задача 2. В трапецию, периметр которой 10 см, вписана окружность. Найти длину боковой стороны окружности. (См. рис. 3)

Дано: ABCD – трапеция, окружность вписана PABCD = 10 см. Найти AB.

При решении этой задачи достаточно применить всего одну ключевую задачу: если окружность вписана в трапецию, то суммы противоположных сторон трапеции равны, т. е.

  1. AD + BC = AB + CD
    2.
  2. Но т. к. трапеция равнобокая, то AB = CD и AD + BC = 2AB
  3. Распишем P трапеции:
    P = AD + BC + AB + CD = 2AB + 2AB = 4AB, 4AB = 10, AB = 2,5 (см).

Задача 3. В равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота равна 7 см. Найти среднюю линию трапеции.

При решении данной задачи учащимися выделяются ключевые задачи, показанные на рисунках 2в и 2д.

    1. AOD – равнобедренный, AOD = 90° (по усл.). Следовательно, 1 = 2 = 45°.
    2. Проведем BL AD, BLD – прямоугольный, 2 = 45°, значит 3 = 45°, т.е. BLD - равнобедренный, BL = LD, h = l = 7 (см).

Рис. 6

После записи решения можно попросить учащихся сформулировать, какие ключевые задачи использовать в данном конкретном случае.

Таким образом, обучение решению геометрических задач становится более результативным.

Пути поиска решения, разделение решения на этапы, логически связанные друг с другом, наглядно демонстрируются с помощью уже выделенных задач.

Следует отметить, что отбор материала к таким урокам требует больших затрат времени, но результат применения вышеописанных методов на практике стоит гораздо больше. Когда ты видишь, как появляется интерес, а иногда и восторг в глазах учащихся, уже отчаявшихся в безуспешных попытках решить задачу, получаешь такой импульс, что никакого затраченного времени не жалко.

Даже слабые ученики, выучив ключевые задачи или хотя бы пользуясь готовыми чертежами и записями (от урока к уроку все лучше и лучше ориентируясь в конспекте), начинают разбираться в решении, активно участвуют в обсуждении уже решенных задач. Активизация познавательной деятельности учащихся на таких уроках обеспечена тем, что выполнение предложенных заданий по силам любому ученику. Пусть не каждый может сразу самостоятельно решить задачу, но разбор решения, анализ и воспроизведение его этапов становится доступным практически каждому учащемуся.

Иногда схемы в процессе их использования дополняются самими учащимися. Бывает, что такие дополнения становятся настоящей находкой для учителя. Так, при изучении темы “Координатная плоскость” в 6 классе одна из учениц к уже имеющимся схемам добавила следующие:

1

 (x, y)  

2

 (x, 0)

Ось OX

y = 0

3

 (0, y)

Ось OY

x = 0

Эти схемы задают последовательность действий при выполнении задания: “Отметить точку с заданными координатами на координатной плоскости”.

Первая схема расшифровывается так: чтобы отметить точку с двумя заданными координатами x и y:

  1. Необходимо ручку или карандаш поставить в точку 0 – начало системы координат;
  2. Следующее движение будет либо вправо, либо вдоль координатной оси Ox (вправо (+), если заданная координата x положительна, влево, если x – отрицательна);
  3. Дальше двигаемся либо вверх, либо вниз (вверх (+), если заданная координата y положительна, вниз, если y – отрицательна).

Вторая и третья схемы показывают алгоритм нахождения точки, лежащей на одной из координатных осей. Точка, у которой вторая координата равна 0. отмечается движением влево (если х меньше 0) или вправо (если х больше 0) вдоль горизонтальной оси. Движение вверх или вниз отсутствует (так как координата у = 0). Таким образом, мы получаем, что точка лежит на оси Ох. Делаем вывод: если точка лежит на оси Ох, то её координата у = 0.

Аналогично расшифровывается третья схема.

Сильным учащимся достаточно показать схему такого типа, и они в дальнейшем успешно обходятся без неё, а слабым учащимся, восприятие которых замедленно, данная схема является руководством к действию при работе в классе и дома.

В дальнейшем, когда дети уже понимают, как и для чего составляется система ключевых задач, учитель может поручить учащимся самостоятельно выделить ключевые задачи по новой теме. Для выполнения этого задания одного только учебника не достаточно, необходимо изучить дополнительную литературу, познакомиться с энциклопедическими и справочными пособиями. Таким образом, учащиеся включаются в поисково-творческую деятельность.

В 10-м классе при изучении темы “Уравнение касательной” после составления опорного конспекта, наглядно представляющего чертежи к ключевым задачам и алгоритмы их решения, учащиеся получают список ключевых задач:

1. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(х) в заданной точке касания х0.

2. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(х), проходящей через точку с координатами (а; в)

3. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(х), параллельной заданной прямой у = кх + в.

4. Является ли прямая у = кх + в касательной к графику функции у = f(х)?

5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = f(х) с положительным направлением оси Ох, если задана точка касания х0.

6. В каких точках касательная, проведённая к графику функции у = f(х), образует с положительным направлением оси Ох заданный угол ?

7. В каких точках касательная, проведённая к графику функции у = f(х) параллельна оси абсцисс (или совпадает с оcью абсцисс)?

8. Вычислить тангенс угла между касательными к графику функции у = f(х), если одна касательная проведена в точке с абсциссой х1. а другая с абсциссой х2.

9. Вычислить тангенс угла между касательными к графику функции у = f(х), если касательные проходят через точку с заданными координатами (а; в).

10. Под каким углом пересекаются кривые, заданные уравнениями?

11. Записать уравнение общей для графиков двух функций у = f(х) и у = g(х) касательной.

12. Задачи с параметрами.

Задание учащимся.

Пользуясь данным списком, к каждой ключевой задаче найти или придумать конкретный пример. Привести решения представленных примеров.

Примеры ключевых задач

    1. Найти уравнение касательной к графику функции f(x) = -x2 + 6x + 8 в точке с абсциссой x0 = -2.
    2. Записать уравнение касательной, проходящей через точку Д(-2; -6) к графику функции y = x2 + 4x + 2.
    3. Записать уравнение всех касательных к графику функции y = x2 - 2x + 7, параллельных прямой y = x.
    4. Является ли прямая y = 3x – 3 касательной к графику функции y = x – 1/x2? Обоснуйте ответ.
    5. Под каким углом к оси Ox наклонена касательная, проведенная к кривой y = x3 – x2 – 7x + 6 в точке М (2; -4)?
    6. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 1/3x3 - 5/2x2 + 7x - 4 образует с осью Ox угол 45°?
    7. Найти точки графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси абсцисс, если f(x) = x2 – 3x +1.
    8. Вычислить тангенс угла между касательными, проведенными к графику функции y = x2 – 2 в точках (1; -1) и (2; -2).
    9. Вычислить тангенс угла между касательными к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эти касательные проходят через точку (0; 1).
    10. Под каким углом пересекаются кривые y = x2 и y2 = x в точке (1; 1) (в ответе указать тангенс угла)?
    11. Записать уравнение общих касательных для графиков функции y = x2, y = -x2 – 2.
    12. 1. При каком значении параметра “a” прямая y = 4x + a является касательной к графику функции y = 3x2 – 4x – 2?
  1. 2. Прямая y = 6x – 7 касается параболы y = x2 + bx + c в точке A(2; 5). Найти уравнение параболы.

Интересно отметить, что после выделения системы ключевых задач по теме “Касательная”, учащиеся нашли очень много задач, решение которых становится очевидным, если последовательно применить несколько “ключей” к решению.

Например, ими была предложена и решена следующая задача:

При каком значении “р” касательная к графику функции f(х) = cos2x + р2 – р + 1 в точке х0 = р не пересекает ни одного из графиков функций у = 3 -2х, у = х +3/4х?

При решении этой задачи применялись ключи №1 и №3, а также условие отсутствия корней в квадратном уравнении.

При использовании ключевых задач происходит наглядное моделирование мыслительного процесса. Таким образом, реализуется возможность перехода от “школы памяти” к “школе мышления”. Пусть далеко не все ученики могут решить сложнейшую задачу, но понять предлагаемое решение и воспроизвести его этапы могут все. Учащиеся из пассивных слушателей превращаются в деятельных, активных участников образовательного процесса.

Систематически работая над выделением и применением ключевых задач, я убедилась в том, что дети с большим интересом воспринимают такую форму работы, принимая активное участие в составлении ключевых задач, в поиске их решения, разработке алгоритмических предписаний, схем опор и справочных таблиц. Можно отметить следующий положительный результат применения данной системы на практике: более сильные учащиеся применяют полученные навыки по выделению ключевых задач при изучении других предметов, в тои числе и гуманитарного цикла.

Навыки и умения, полученные детьми при выделении и решении непосредственно ключевых, а также комбинированных задач, создают прочную базу для дальнейшего изучения предмета на более углублённом уровне. Переход к нестандартным, творческим задачам становится более актуальным, т.к. на первый план выступает практическое применение полученных знаний.