Урок алгебры в 9-м классе "Квадратичная функция. Ее свойства и график"

Разделы: Математика

Цели – обобщить и систематизировать знания учащихся о квадратичной функции: повторить изученные приемы исследования свойств функции, методы построения графиков; закрепить и упрочить умения и навыки учащихся по данной теме, показать ее прикладной характер, ориентировать на использование полученных знаний при дальнейшем изучении математики.
 
План урока:

  1. Разминка.
  2. Фронтальная работа по построению графика квадратичной функции и исследованию ее свойств.
  3. Работа в группах по построению графика квадратичной функции с модулем.
  4. Решение задачи, носящей прикладной характер, с применением свойств квадратичной функции.
  5. Тест, контролирующий знания учащихся по теме.

Ход урока

Учитель: Ребята, сегодня мы с вами продолжаем вести разговор об одном из важных разделов математики – функциональной зависимости. Прежде всего вспомним определение функции.

Ученик: Функция – это такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Учитель: Какую функцию называют квадратичной? Что является ее графиком?

Ученик: Квадратичной функцией называется функция. которую можнозадать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а 0. График – парабола.

Учитель: С какими способами построения графиков квадратичной функции мы познакомились?

Ученик:

  1. способ выделения полного квадрата и дальнейшего построения с использованием искусственных преобразований;
  2. построение графика на основании специального исследования квадратного трехчлена.

Учитель: Повторим некоторые этапы построения графиков квадратичной функции при выполнении теста – разминки.

I. Разминка (ученики устно отвечают на вопросы теста, подготовленного на карточки или слайды). В это время предложить трем ученикам самостоятельно решить на доске задачи.

Тест:

  1. Какому графику соответствует функция, заданная формулой y = x2 – 2? (Рисунок 1)

Рисунок 1

  1. На каком из рисунков изображен график функции  (Рисунок 2)

Рисунок 2

  1. Функция задана формулой . На каком из рисунков изображен ее график? (Рисунок 3)

Рисунок 3

  1. Функция задана формулой . Каковы координаты вершины параболы?
    a (2; – 7).
    b (– 2; 24).
    c (2; 25).
  2. Каково наибольшее значение функции, заданной формулой ?
    a 5.
    b 7.
    c –7.

Ответы: 1b; 2c; 3b; 4a; 5b.

Индивидуальные задания на доске:

1. Параболу у = 2х2 сдвинули влево на 3 единицы и вниз на 5 единиц. Задайте формулой функцию, график которой получился в результате таких преобразований.

Решение: у = 2(х + 3)2 – 5.

2. Найдите область значений функции у = х2 – 2х.

Решение:Функция ограничена снизу, у0 ===1, E(f) = (2; +)

3. Постройте график функции у = (3 – x)(х+ 1).

Решение: у = - х2 + 2х +3. Нули функции: х1 = – 1 ; х2 = 3.  =

*(3 – 1)(1 + 1) = 4. (1; 4) – вершина параболы, ветви вниз.

II. Фронтальная работа.

Задание классу (ученик у доски):

Постройте график функции у = - х2+ 6х – 5.

По графику проведите исследование свойств функции.

Индивидуальные задания на карточках:

1. Определите, при каких значениях с наименьшее значение функции у = 2х2 + 16х + с равно 2.

Решение:

; ; .

2. Определите, при каких значениях b и c вершиной параболы у = х2 + bx + c является точка А(–2; –1).

Решение: ; –2 = ; b = 4. *; ; ; .

III. Работа в группах.

Задание группам:

Построить график функции y = |x2 – 4x + 3|. Какие виды преобразований необходимо выполнить, чтобы получить данный график из графика функции y = x2.

Решение:

Виды преобразований:

  • смещение вправо на 2 единицы;
  • смещение вниз на 1 единицу;
  • симметрия относительно оси Ох отрицательной части графика.

Дополнительно: Построить график функции у = 3х2 + 6|х| + 6.

Индивидуальные задания на карточках (ученики выполняют на доске, объясняют решение классу после работы по группам):

1. Найти наибольшее значение функции у = - 1,5(х – 1)2 на отрезке [0; 2]

Решение: х0 = 1 [0; 2], функция ограничена сверху, унаиб = у(1) = 0.

2. Найти наименьшее значение функции у = 2(х +3)2 на отрезке [– 4; 1]

Решение: х0 = -3  [– 4; 1], Функция ограничена снизу, унаим = у(-3) = 0.

3. По графику у = ах2 + bx + c определите знаки чисел a, b, c. (рисунок 4)

Решение:

  • ветви вниз  a < 0
  •  > 0, a < 0 b > 0
  • при x = 0 y = c > 0

Рисунок 4

IV. Решение задачи с практическим содержанием на применение свойств квадратичной функции. (Ученик у доски)

Требуется оградить прямоугольную площадку, примыкающую к стене. Забор должен иметь длину 60 м. Какой должна быть длина и ширина площадки, чтобы площадь ее была бы наибольшей?

Решение:

Пусть х м – ширина площадки, тогда длина ее будет равна (60 – 2х) м, а площадь составит у = х(60 – 2х) м2 .Выделим полный квадрат:

у = -2(х2 – 30х) = -2(х2 – 30х + 225 – 225)= -2(х – 15)2 + 450.

При х = 15 унаиб = 450. Ширина – 15 м, длина – 30 м.

V. Тест.

Вариант I

  1. Какая линия является графиком функции у = – (х – 3)2 + 2?
    А. Прямая, проходящая через начало координат.
    Б. Прямая, не проходящая через начало координат.
    В. Парабола.
    Г. Гипербола.
  2. График функции у = 2(х + 2)2 получается из графика функции у =2х2 сдвигом на две единицы:
    А. Вправо.
    Б. Влево.
    В. Вверх.
    Г. Вниз.
  3. Найдите наименьшее значение функции у = 3(х – 2)2 на отрезке [–2; 5].
    А. 0.
    Б. –12.
    В. 12.
    Г. 27.
  4. Какая из перечисленных функций является ограниченной сверху?
    А. у = 2х2 – 5х + 3.
    Б. у = 3х2 – 1.
    В. у = -3х2 + х + 1.
    Г. у = .
  5. Уравнение оси симметрии параболы у = –3х2 + 5х + 1 имеет вид:
    А. .
    Б. .
    В. .
    Г. .

Вариант II

  1. Какая линия является графиком функции у = – (х + 2)2 - 4?
    А. Прямая, проходящая через начало координат.
    Б. Прямая, не проходящая через начало координат.
    В. Парабола.
    Г. Гипербола.
  2. График функции у = 3х2 – 2 получается из графика функции у =3х2 сдвигом на две единицы:
    А. Вправо.
    Б. Влево.
    В. Вверх.
    Г. Вниз.
  3. Найдите наименьшее значение функции у = 3(х + 2)2 на отрезке [–2; 1].
    А. 0.
    Б. –12.
    В. 12.
    Г. 27.
  4. Какая из перечисленных функций является ограниченной снизу?
    А. у = –2х2 – 5х + 3.
    Б. у = 3х2 – 1.
    В. у = -3х2 + х + 1.
    Г. у = .
  5. Уравнение оси симметрии параболы у = 2х2 – 7х + 1 имеет вид:
    А. .
    Б. .
    В. .
    Г. .

Ответы:

  • Вариант I: Г Б Г Б В
  • Вариант II: Б А А В В

VI. Итоги урока.

VII. Домашнее задание.

Домашняя контрольная работа

Вариант I

  1. Разложите на множители квадратные трехчлены:
    а) х2 – 12х + 35;
    б) 7у2+ 19у - 6
  2. Постройте график функции у = х2 – 6х + 5. Найдите с помощью графика:
    а) нули функции;
    б) промежутки знакопостоянства;
    в) промежуток, в котором функция возрастает.
  3. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 8х + 7
  4. Сократите дробь:
  5. Найдите промежутки монотонности функции y = x2 – 5|x| +4.

Вариант II

  1. Разложите на множители квадратные трехчлены:
    а) х2 – 18х + 45;
    б) 9у2+ 25у - 6
  2. Постройте график функции у = х2 – 8х + 13. Найдите с помощью графика:
    а) нули функции;
    б) промежутки знакопостоянства;
    в) промежуток, в котором функция убывает.
  3. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена –х2 + 6х - 4
  4. Сократите дробь:
  5. Найдите промежутки монотонности функции y = x2 – 6|x| +5.