Урок по геометрии "Соотношения между сторонами и углами треугольника. Решение задач"

Разделы: Математика

Три качества:
обширные знания,
привычка мыслить
и благородство чувств – необходимы для того, чтобы
человек был образованным в полном смысле слова.
Н.Г.Чернышевский

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Цели урока:

  1. Закрепление знаний, умений и навыков по изученной теме, устранение пробелов.
  2. Совершенствование навыков решения задач на применение теоремы о площади параллелограмма, теорем синусов и косинусов.
  3. Показать применение теорем синусов и косинусов в решении практических задач.
  4. Развитие логического мышления и речи: умение логически обоснованно и доказательно рассуждать.
  5. Воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Ход урока

I. Организационный момент. (2 мин.)

II. Актуализация опорных знаний. ( 7 мин.)

1. Повторение теоретического материала по вопросам (фронтальная работа):

  • С помощью единичной окружности, объясните, что такое синус и косинус угла a из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°.
  • Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определен и почему?
  • Сформулируйте основное тригонометрическое тождество и запишите его на доске.
  • Напишите формулы приведения.
  • Назовите значения основных тригонометрических углов:
  • sin 30°, cos 45°, sin 60°, cos 90°, sin 90°, cos 120°, sin135°, cos 150°.
  • Сформулируйте теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
  • Сформулируйте теорему синусов.
  • Сформулируйте теорему косинусов.
  • Что означают слова «решение треугольников»? Сформулируйте основные задачи на решение треугольников. Используя рисунки (рис.1, рис.2, рис.3), составьте план решения задач.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Ответы:

1) Найти ВС, ∠В,∠С.

  

2) Найти ∠В, АВ, ВС.

3) Найти ∠А, ∠В, ∠С.                   

2. С целью проверки теоретических знаний учащихся, учитель предлагает тест с выбором ответов и самопроверкой:

Тест (самостоятельная работа):

  1. По теореме синусов:
    а) стороны треугольника обратно пропорциональны синусам противолежащих углов;
    б) стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов;
    в) стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.
  2. По теореме косинусов:
    Для треугольника АВС справедливо равенство:
    а) АВ2 = ВС2+АС2 - 2×ВС×АС×cos∠ВСА
    б) ВС2 = АВ2+АС2 - 2×АВ×АС×cos∠АВС
    в) АС2 = АВ2+ВС2 -2×АВ×ВС×cos∠АСВ
  3. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:
    а) тупого угла,
    б) прямого угла,
    в) острого угла.
  4. По теореме о площади треугольника:
    а) площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними,
    б) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на угол между ними,
    в) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
  5. Для нахождения площади параллелограмма выберите верные формулы (рис.4):
    а) S = ½ ·a · h;
    б) S = ½ ·a · b · sin α;
    в) S = a · b · sin α;
    г) S = a · h.

Рисунок 4

  1. В треугольнике ABC ÐА = 30°, ВС = 3. Радиус описанной около ∆ABC окружности равен:
    а) 1,5
    б) 2√3
    в) 3.

Ответы к тесту: Учитель называет и показывает правильные ответы (презентация ИКТ), учащиеся сами проверяют свои ответы, оценивая каждый правильный ответ 1 баллом и записывают свои баллы на полях. 1 – б; 2 – а; 3 – б; 4 – в; 5 – в, г; 6 – а.

III. Коррекция основных знаний (10 мин):

Групповая работа: класс разбивается на три группы:

1 группа (4 человека): работа на дополнительных досках:

  • Докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
  • Докажите теорему синусов.
  • Докажите теорему косинусов методом координат.
  • Докажите теорему косинусов через высоту треугольника.

2 группа (6 человек): работа по индивидуальным карточкам, задания которых дифференцированы по уровням:

1 уровень (базовый): 2 человека.

  1. Запишите формулу для вычисления (рис. 5):
    а) MN, если MK = a, NK = b, ∠K = α;
    б) MK, если MK = a, ∠M = α, ∠K = β;
    в) ∠M, если MN = a, NK = b, MK = c.

Рисунок 5

  1. Вычислите площадь треугольника MNK, если MK = 8, ∠K = 60°, ∠N = 30°.

2 уровень (повышенный с элементами углубленного изучения): 2 человека.

  1. Решите треугольник АВС, если АВ = 6, ВС = 8, ∠С = 45°.
  2. Выясните, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны 6,7 и 10.
  3. В параллелограмме АВСD: АВ = 5, АD = 8, диагональBD = 9. Найти диагональ АС.

3 уровень (высокий): 2 человека.

  1. Решите треугольник АВС, если АС = 20√2, ВС = 25, ∠ А= 45°.
  2. Найти углы параллелограмма, если квадрат его диагонали равен неполному квадрату разности его сторон.

3 группа (остальные учащиеся): решение типовых задач по готовым чертежам.

Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять выбору теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позволяет решить задачу наиболее рационально). За каждую правильно решенную задачу, ученик получает 1 балл и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного балла за урок, который по его окончанию переводится в оценку.

1. Найти АВ (рис.6)

Рисунок 6

2. Найти ∠В (рис.7)

Рисунок 7

3. Найти ВС (рис.8)

Рисунок 8

4. Найти ∠А (рис.9)

Рисунок 9

5. Найти АВ (рис.10)

Рисунок 10

6. Найти ∠В (рис.11)

Рисунок 11

Ответы:

  1. АВ =
  2. ∠В = 60°
  3. ВС =
  4. ∠А = 15°
  5. АВ =
  6. ∠В = 75°

IV. Самостоятельная деятельность учащихся на уроке (16 мин).

Учащимся предлагаются последовательно задачи, которые они решают в тетрадях самостоятельно. В процессе самостоятельного решения задач учитель оказывает индивидуальную помощь, по необходимости контролирует правильность решения задач менее подготовленными учащимися. Одновременно, те же задачи решают ученики на дополнительной доске. Через временной промежуток (5 - 6 мин), ученики проверяют свои записи с решениями, представленным в презентации (ИКТ) и учениками на дополнительных досках. За каждую правильно решенную задачу, ученик получает 2 балла и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного балла за урок, который по его окончанию переводится в оценку. Таким образом, ученик самостоятельно организовывает свою деятельность на уроке.

Задача №1: Решите треугольник (рис. 12).

Рисунок 12

Задача № 2: Решите треугольник (рис.13).

Рисунок 13

Задача № 3:Решите треугольник (рис.14).

Рисунок 14

Задача № 4:Решите треугольник (рис.15).

Рисунок 15

V.Историческая справка (4-5 мин). Сообщения учеников (3 - 4 мин), которые они готовили самостоятельно с использованием ИКТ к данному уроку.

Примерные содержания сообщений:

1. Первые шаги на пути к таблицам синусов

Тригонометрия берёт своё начало в древней Греции. Для решения прямоугольного треугольника, определения его элементов по трём данным сторонам треугольника вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса. Эти таблицы были составлены астрономом-математиком Гиппархом из Никели (2 в. до н.э.).

Знаменитое сочинение – Альмагест астронома Клавдия Птолемея включает в себя звёздный каталог таблиц хорд. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления через полградуса и играла роль таблицы синусов (полухорд). Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинуса. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в Индии и трудах учёных стран ислама. Абу-л-Вафа пользовался величиной, обратной косинусу (секансом) и синусу (косекансом) и составил таблицу синусов через каждые 10°. Точные таблицы появились благодаря ал-Каши, Региомонтану и другим европейским учёным 16-18 вв.

2. Дальнейшее развитие тригонометрии.

В России первые геометрические таблицы были изданы под участием Л.Ф.Магницкого в 1703 г. Под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к научению мудролюбивых тщателей».

Синус и косинус встречаются в индийских астрономических сочинениях в 4 – 5 вв. В 15 в. Региомонтан и другие математики применял для понятия «косинус дуги» латинский термин «sinus complementi».От перестановки и сокращения слов (co-sinus) образовался термин косинус.

В 9-10 вв. учёный ал-Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера. Он разработал её как науку о тригонометрических функциях.

VI. Решение задач с применением теорем синусов и косинусов (ЕГЭ 2009 г.); (10 мин).

Учитель подчеркивает актуальность изучаемой темы.

Задачи №5, 6 фронтально обсуждаются всем классом. Наиболее рациональный способ решения, один из учеников записывает на доске, а все остальные – в тетрадь.

Задача № 5: Площадь параллелограмма ABCD равна 16√3, угол А равен 30о, а сторона ВС равна 4√3. Найти диагональ BD.

Решение:

1) BH ⊥ AD (рис.16)

Рисунок 16

2) S = AD · BH;

16√3 = 4√3 · BH; BH = 4;

3) Δ ABH(∠A = 30°; ∠AHB = 90°) => AB = 8 см;

4) ΔABD: по теореме косинусов

BD2 = AB2 + AD2 - 2AB ×AD × cos 30°

BD2 = 64 + 48 - 2 ×8 × 4√3 × √3/2

BD2 = 112 - 96; BD2 = 16.

т.к. BD > 0, то BD = 4 .

Ответ: 4.

Ученики самостоятельно анализируют решение задачи №6, коллективно обсуждают способы её решения и наиболее рациональный способ решения, один из учеников записывает на доске, а все остальные – в тетрадь.

Задача № 6: Площадь параллелограмма ABCD равна 9√3 , диагональ BD равна 3√3, ∠CBD=30°.Найти сторону АВ.

Решение:

1) BH ⊥ AD (рис.17)

Рисунок 17

2) ΔBHD (∠BHD = 90°; ∠BDH = 30°),

тогда BH = 3√3/2;

3) ABCD – параллелограмм

S = AD ×BH;

9√3 = AD · BH; 9√3 = AD · 3√3/2;

AD = 6;

4) ΔABD: по теореме косинусов

AB2 = AD2 + BD2 - 2AD × BD · cos 30°;

AB2 = 36 + 27 - 2 × 6 × 3√3 · √3/2

AB2 = 9, т.к. AB > 0, то AB = 3

Ответ: 3

VII. Применение теорем в практической жизни (10 мин); (проведение различных измерительных работ на местности).

Вызвать к доске одного из учащихся и решать задачу с теми, кто не уверен, что справится с решением самостоятельно, остальным учащимся предложить решать задачу самостоятельно ( работа учащихся с опережающим темпом обучения).

7. Задача(№ 1036): Наблюдатель находится на расстоянии 50 км от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 2º к горизонту, а вершину – под углом 45º к горизонту. Какова высота башни?

Решение:

1 способ:

1) AH ⊥ BC (рис.18)

Рисунок 18

2) ∆ABH(∠BHA = 90º; ∠BAH = 45º); AH = BH = 50

3) ∆ADC(∠ ADC = 90º); ∠ DAC = 90º − 2 = 88º

sin 88º = DC/AC; AC = DC/sin 88º

AC = 50/0,99; AC = 50,5     

cos 88º = AD/AC; AD = AC · cos 88º

AD = 1,74

4) BC =BH + HC; HC = AD = 1,74

BC = 50 + 1,74; BC = 51,74 = 52 м

Ответ: 52 м

Решение:

2 способ:

1) AH ⊥ BC (рис.18)

Рисунок 18

2) ∆ADC(∠ ADC = 90º); ∠ DAC = 90º − 2 = 88º

sin 88º = DC/AC; AC = DC/sin 88º

AC = 50/0,99; AC = 50,5     

3) ∆ABC; ∠ ABC = 45º

по теореме синусов

AC/sin 45º = BC/sin 47º;

50,5/0,707 = BC/0,731; BC = 50,5 · 0,731/0,707;

BC = 52,2 см

Ответ: 52 см

VIII. Дифференцированная самостоятельная работа с учетом рефлексии по уровню усвоения, изучаемого учебного материала, на уроке (15 мин).

Вариант 1 (Первый уровень – базовый – стандарт обучения)

  1. В треугольнике ABC b = 0,3, ∠A = 32º, ∠B = 70º. Найдите неизвестные элементы треугольника.
  2. В треугольнике ABC a = 28, b = 35, c = 42. Найдите угол, лежащий против меньшей стороны.

Вариант 2 (Второй уровень – повышенный – с элементами углубленного изучения)

  1. В треугольнике ABC ∠A =25 º30´, b = 10,8, BE ⊥ AC, BE = 7,6. Найдите неизвестные элементы треугольника.
  2. В треугольнике ABC ∠A = 52º, ∠B = 70º. Радиус описанной около треугольника окружности равен 7. Найдите площадь треугольника.

Вариант 3 (Третий уровень – высокий - углубленное изучение)

  1. В треугольнике ABC a + b = 21, ∠A = 64º, ∠B = 50º. Найдите неизвестные элементы треугольника.
  2. В треугольнике ABC BC = 3,4, ∠ABC = 130 º. Площадь треугольника равна 3,6. Найдите АС.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. a ≈ 0,17, c ≈ 0,31, ∠C ≈ 78º. 2. ≈ 41º25´

Вариант 2. 2. a ≈ 9,2, ∠B ≈ 30º21´, ∠C ≈ 124º9´. 2. ≈ 61,5

Вариант 3. 3. a ≈ 11,3, b ≈ 9,7, c ≈ 11,6, ∠C = 66º. 2. ≈ 5,6

IX. Подведение итогов урока (2 мин).

Оценка учителем самостоятельной деятельности учеников на уроке по таблице:

  • 12 – 15 баллов – оценка «5»,
  • 8 - 11 баллов – оценка «4».

Оценка учителем деятельности учеников, выполнивших доказательства теорем на дополнительных досках с учетом их самостоятельной деятельности при решении задач.

X. Домашнее задание (3 мин).

1 уровень - 1037,1060(а, в)

2 уровень – 1038, 1060(а, в), 1064.

Литература

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7 – 9. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7,8,9 классах. – М.: Просвещение, 2006.
  3. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс. – М.: ВАКО, 2008.
  4. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.
  5. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса. – М.: Просвещение,2003.