Графики функций, представляющих сочетание квадратичной функции и модуля

Разделы: Математика

Современное образование невозможно без применения компьютерных технологий. Конечно, не в каждом кабинете имеются интерактивные доски, но зато в каждой школе есть компьютеры и мультимедийные проекторы. Технологии мультимедиа – эффективное средство при объяснении нового материала, при предъявлении большого объема графических работ и т.д. Применение разнообразных  мультимедиа вызывает у учащихся повышенный интерес, усиливает мотивацию учения, формирует умение принятия оптимальных решений из большого числа вариантов, побуждает к исследовательской деятельности.

Давно известно, что учащиеся с трудом решают нестандартные задания, такие как, например, задачи с параметром. Одна из причин – резкий переход от решения стандартных задач к нестандартным задачам.

Для того чтобы ее устранить, надо создавать комбинированные задания, которые позволят успешно перейти к решению нестандартных задач.

Предлагаемый урок-практикум включает в себя такие  задачи с демонстрацией мультимедийной презентации, выполненной с помощью программы MS PowerPoint, где происходит динамичная смена слайдов с  изображениями эскизов различных графиков. Постепенное усложнение задач приводит к решению уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр графическим методом.

Несомненная ценность решения нестандартных заданий в том, что ученику нужно глубже вникать в суть задания, выделять главное, учитывать связи между элементами задания. Благодаря этому учебные навыки прививаются быстрее, т.к. мыслительные процессы продуктивны, при этом формируется гибкость ума, мышление переходит от шаблонного к креативному.

Уважаемые коллеги, данный  урок-практикум лишь канва, сетка для Ваших собственных творческих идей по заявленной теме. Вы можете выбрать из предложенных заданий различной сложности набор для классов с любой математической подготовкой.

Тип урока: урок-практикум.

Тема урока: графики функций,  представляющих сочетание квадратичной функции и модуля.

Цели урока:

  • актуализировать имеющиеся знания;
  • научиться строить графики функций, полученных сочетанием квадратичной функции и модуля;
  • научиться решать графическим методом уравнения  с модулем;
  • научиться решать графическим методом задания с параметром;
  • выступить в роли авторов создания новых  заданий;
  • развивать культуру взаимного общения, умения внимательно выслушать мнение одноклассников, аргументированно отстаивать и доказывать свою точку зрения.

Оборудование урока: ПК, мультимедийный проектор, экран, приложение в виде презентации.

Структура урока.

  • Подготовительный этап
  • Сообщение темы и цели урока.
  • Проверка домашнего задания с целью систематизации ЗУН с использованием информационной техники.
  • Постановка задач, коллективное обсуждение и принятие способов решения, практическое выполнение решения.
  • Обсуждение полученных результатов, подведение итогов урока.
  • Задание творческой домашней работы.

ХОД УРОКА

1. Подготовительный этап

На предыдущих уроках ученики отработали алгоритм построения квадратичной функции, научились строить графики функций путем линейных преобразований.
При подготовке к настоящему уроку ученики должны были выполнить следующие задания:

а) начертить тонким карандашом на одной координатной плоскости на листах в клеточку эскизы графиков следующих функций:

1.  y = x2  и  y = – x2;           
2.  y = x2 – 4x  и  y = – x2  + 4x;
4.  y = x2 – 4x и y =  – x2 – 4x;
3.  y = – x2  + 4x  и  y = – x2  – 4x;
5.  y = x2  – 4  и  y = – (x2 – 4) (в двух экземплярах);
6.  y = – 2 x2  + 3;
7.  y = 2 x2  + 4x; 
8.  y = x2 – 2x – 3  и  y = x2 + 2x – 3;

При выполнении этой части задания учащихся лучше объединить в пары равных способностей;

б) повторить алгоритм построения графиков квадратичной функции путем линейных преобразований, определение и свойства модуля;
в) принести цветные карандаши.

2. Сообщение темы и цели урока-практикума

Работать на уроке лучше парами или небольшими группами, учащимся хорошо должен быть виден экран. На уроке чередуется работа за партами и на экране, чтобы избежать напряжения глаз.
Сообщение темы и цели урока на слайде 1 приложения презентации MS PowerPoint.

(Приложение, слайд 1).

3.  Проверка домашнего задания с целью систематизации знаний и умений (Приложение, слайды 2, 3)

а) На двух слайдах в произвольном порядке расположены заданные на дом эскизы графиков квадратичной функции. С помощью анимационных эффектов эскизы появляются на экране. Ученики проверяют свои работы и по очереди объясняют построение. 

б) Повторить определение и свойства модуля.

4. Постановка задач, коллективное обсуждение и принятие способов решения, практическое выполнение решения.

(Приложение, слайд 4) Построить графики функций y = – x2 + 4| x | и  y = – x2 –  4| x | на одной координатной плоскости.
Ученики выдвигают различные варианты построения. Путем обсуждения приходят к выводу о том, что построить график  функции y = f(| x |) можно двумя способами: а) используя определение модуля; б) путем отражения части графика  функции y = f(x), находящегося в правой полуплоскости, в левую полуплоскость симметрично оси ординат. На факультативных занятиях или в 10-11 классах можно вспомнить о четности функций.
На слайде 4 показано очень подробное построение обоих графиков.
(Приложение, слайд 5) Построить графики функций y = | x2 + 2x – 3 | и  y = | x2  + 2x – 3 |.
После обсуждения всех версий строим графики функций y = | x2 + 2x – 3| и y = |x? – 2x –3|. Предложить половине учащихся построить  графики функций, используя определение модуля, а другой половине  с помощью отражения части графика  функции y = f(x), находящегося в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость симметрично оси абсцисс. На слайде 5 показано подробное построение обоих графиков.
(Приложение, слайд 6) Построить график  функций  y = | x2  – 2|x |– 3|.
Учащиеся  могут воспользоваться уже построенными графиками функций y = | x2 + 2x – 3 |
и y = |x2 – 2x – 3|. Опираясь на выводы первых двух заданий и используя преобразования, выполненные на предыдущих построениях, можно начертить график  функции
y = x2 – 2x – 3 на правой полуплоскости, затем отразить его симметрично оси ординат и еще раз отразить его симметрично оси абсцисс. На слайде 5 есть подробное построение  графика.
На слайде 7 – провокация. Построить  график функции y = x| x | – 4x .
Как правило, ученики применяют алгоритм построения графика  функции y = f(| x |), не учитывая нечетность функции y = x| x |– 4x . См. построение  графика на слайде.
(Приложение, слайд 8) Построить  график функции y = | x |(x – 4) .
Все построенные  графики функций состояли из параболических звеньев.  Рассмотрим примеры  построения графиков с параболическими и прямолинейными звеньями.
Построение следующих графиков выполняем, используя определение модуля, при этом получаем графики с параболическими и прямолинейными звеньями.
(Приложение, слайд 9)   Построить график функции y = x (| x | – x) + 3 .
(Приложение, слайд 10) Построить график функции  y = (x – | x |) (x + 2)

На следующих примерах ученики знакомятся с еще одним видом функций – разрывными функциями.
(Приложение, слайды 11-13) Построить графики функций:


,
,

Прежде, чем построить графики, полезно напомнить о порядке исследования функций, поговорить об области определения и существовании их в некоторых точках.
Построение показывает, что поведение функций в точках разрыва может быть различным. На чертежах ученики увидят разнообразие точек разрыва. На слайдах наглядное графическое  описание процесса, заданного формулой функции.
Наконец, рассмотрим простейшие примеры решения уравнений с параметрами.
(Приложение, слайд 14) Назовите число корней уравнения    в зависимости от параметра « а ».
Очень важный момент связки задания, которое ученики уже могут выполнять, с совершенно новым для них заданием с параметром. Динамичная картина подробного решения на экране с остановкой на главных моментах вызывает у учащихся неподдельный интерес, желание самостоятельно делать выводы, развивает умение выделять главное, призывает самих к творческому процессу.

Предложить учащимся придумать дополнительные вопросы к заданию.
См. построение  графика и  решение на слайде 14.
(Приложение, слайд 16) Ответ на предыдущий вопрос.
(Приложение, слайд 17)  Построить  график функции  .
Выяснить с помощью построенного графика функции  при каких значениях «а» уравнение     будет иметь наибольшее количество корней.
Предложить учащимся придумать дополнительные вопросы к заданию. Например:
1. Назовите все значения параметра, при которых  уравнение      будет иметь 3 корня.
2.  Найдите наибольшее целое значения параметра «а», при котором  уравнение будет иметь  наибольшее количество корней. 

5. Обсуждение полученных результатов, подведение итогов урока

  1. При построении графиков многих функций, в том числе представляющих сочетание квадратичной функции и модуля, можно избежать сложной процедуры их исследования, используя ряд методов, облегчающих построение их графиков.
  2. По начерченному графику функции  можно описать свойства данной функции.
  3. Некоторые графики функций описывают реальные физические процессы.
  4. Появилась возможность решать графическим методом задания с параметром.
  5. Рассматриваемые приёмы можно применять не только к квадратичным функциям, но и к линейным, показательным, логарифмическим и др. функциям.

6. Задание творческой домашней работы

(Приложение, слайд 16) На слайде творческие домашние задания по теме урока. Поощрять выполнение в электронном виде.

Литература:

  1. Я.С. Фельдман, А. Я. Жаржевский. Математика. Решение задач с модулями. Санкт-Петербург 1997.
  2. А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике. Харьков 1995г.