Разработка урока "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • систематизировать, расширить и углубить знания, умения и навыки учащихся, связанные с понятиями перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, расстояние от точки до плоскости, ввести понятие биссектора двугранного угла
  • развитие логического мышления путем разбора и анализа задач
  • формировать умений осуществлять контроль и самоконтроль при решении задач, умения строить план ответа по задаваемым вопросам.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение учителем темы и постановка целей урока.

Девиз урока:

“Если хотите научиться решать задачи, то решайте их”
Д.Пойа

2. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа

Сформулировать:

  1. определение перпендикулярных прямых в пространстве,
  2. определение прямой, перпендикулярной плоскости,
  3. признак перпендикулярности прямой и плоскости,
  4. теорему о трех перпендикулярах,
  5. определение перпендикулярных плоскостей,
  6. признак перпендикулярности плоскостей.

2) Работа с тестовыми заданиями.

1. Из данных утверждений верным является:

  1. Если две прямые перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.
  2. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
  3. Если прямая перпендикулярна проекции плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости?
  4. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Все утверждения обсуждаются. При каком условии 1–3 утверждения будут верны. Четвертое утверждение доказывается на доске (задача № 178 уч. 10–11 кл. Л.С. Атанасян и др. Учащиеся самостоятельно разобрали д\з)

2. В треугольнике АКС, АКСК, точкам не принадлежащим плоскости АКС и МКСК.

Какие высказывания верны?

1) АК СКМ

2) СК АКМ

3) АК МК

4) СК АМ

Ответы: а) 1; б) 1;3 в) 2;4 г) 4

3.

На каком рисунке ab

Ответ:
1) № 1
2) № 2
3) № 1 и №2

4. Точка М равноудалена то всех вершин прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 см и 8 см Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см. Расстояние от точки М до вершин треугольника равно

5. АВСD – прямоугольник, отрезок ВО перпендикулярен плоскости АВС, F – середина АD, расстояние от точки О до прямой АD равно длине отрезка

Ответ:

1) ОВ
2) ОА
3) ОD
4) ОF

6. Даны прямоугольные треугольники АСВ(А = 90) и АDВ (А = 90), не лежащие в одной плоскости. Точка К  – середина отрезка АВ. Линейным углом двугранного угла DАВС будет

1) DАС
2) DКС
3) DВС
4) угол не обозначен

 

7. Плоскости равностороннего треугольника АВС и квадрата ВСDЕ перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DЕ, если АВ = 4 см.

8. Прямые а и b – параллельны и лежат в плоскости α. Через каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная α. Каково взаимное расположение полученных плоскостей?

Ответ: 1) пересекаются; 2) совпадают; 3)параллельны.

9. Точка находятся на расстояниях 9 см и 6 см от двух перпендикулярных плоскостей. Чему равно расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей?

3. Проверка домашнего задания.

Учащимся было предложено домашнее задание: познакомиться в справочной литературе с понятием биссектора двугранного угла, научиться строить биссектор двугранного угла и доказать, что биссектор двугранного угла – есть геометрическое место точек, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от плоскостей его граней.

Ответ:

Устанавливаем, что биссектором двугранного угла назовем полуплоскость, которая имеет границей ребро двугранного угла, проходит между его гранями и разделяет этот угол на два двугранных угла.

Биссектор существует для любого двугранного угла. Построить его можно следующим образом: строим какой-либо линейный угол данного двугранного угла, строим биссектрису этого линейного угла, полуплоскость, определяемая ребром двугранного угла и этой биссектрисой, и является биссектором данного двугранного угла.

ГМТ: биссектор двугранного угла есть геометрическое место точек, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от плоскостей его граней.

Докажем, что:

1) точки, лежащие на биссекторе, равноудалены от граней двугранного угла. Пусть α и β – грани данного двугранного угла, π – биссекторная полуплоскость, М – точка биссекторной полуплоскости. Проведем через точку М плоскость σ перпендикулярную ребру двугранного угла..АСВ линейный угол данного двугранного угла. СМ – биссектриса АСВ. Опустим из точки М перпендикуляры на стороны угла АСВ (MN BC, МКАС) MN = МК (по свойству биссектрисы угла).

MNβ , МКα (по свойству прямой перпендикулярной линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей) значит точка М –равноудалена от граней двугранного угла.

2) Докажем, что если точка М равноудалена от граней угла, то она принадлежит биссектору.

Проведем через точку М плоскость σ перпендикулярную ребру данного двугранного угла. Сечением двугранного угла будет его линейный угол АВС.

Опустим из точки М перпендикуляры МК и МN на стороны угла АВС.

МКα, MNβ (по свойству прямой, перпендикулярной линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей) MN = MK (по условию). Значит, точка М принадлежит биссектрисе угла АВС. Следовательно, точка М принадлежит биссектору π.

4. Итог урока.

Домашнее задание:

  1. познакомиться с понятием многогранный угол;
  2. доказать ,что биссекторы двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одному лучу;
  3. доказать, что биссекторы двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке внутри тетраэдра.