Вид урока: открытие нового знания.
Цели урока:
- Образовательные: вывести характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессий, научиться их применять;
- Развивающие: формирование учебных компетентностей (умения анализировать, умения обобщать);
- Воспитательные: развитие самостоятельности, умения общаться.
Используется учебно-методический комплект: А.Г. Мордкович, П.В.Семенов, Алгебра-9.Учебник; А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова и др. Алгебра-9. Задачник. М.:Мненозина, 2008.
ХОД УРОКА
I. Актуализация знаний
Учитель: Рассмотрите записи на доске. Расскажите все, что вы знаете о данных последовательностях.
3; 1; –1; –3; –5; …
5; 10; 20; 40; 80; …
Ученик: Первая последовательность – арифметическая убывающая прогрессия, первый член которой равен 3, разность равна –2. Для данной последовательности можно найти любой ее член, используя формулу n члена; найти сумму n первых членов, используя формулу суммы n первых членов.
Ученик: Вторая последовательность – геометрическая возрастающая прогрессия, первый член которой равен 5, знаменатель равен 2. Для данной последовательности можно найти любой ее член, используя формулу n члена; найти сумму n первых членов, используя формулу суммы n первых членов.
II. Постановка проблемы
Учитель: Прочитайте предложенный текст (Приложение 1). При чтении используйте следующую маркировку текста: галочкой помечается то, что вам известно, знаком плюс помечается то, что является для вас новым, вопросительный знак ставится, где что-то непонятно или хочется узнать больше.
Учитель: Расскажите вслух о своей маркировке текста.
Ученики работают самостоятельно, потом обсуждаем вслух. Выходим на необходимость узнать, что такое характеристическое свойство арифметической прогрессии, характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Ученик: Нам известны некоторые исторические сведения, формулы n члена, формулы суммы n первых членов, обозначения геометрической и арифметической прогрессии. Новым являются имена математиков разных эпох и стран, которые изучали прогрессии. Хотелось бы узнать конкретные практические задачи, которые решали в древности и решают сейчас с помощью прогрессий. В тексте встречается упоминание о характеристических свойствах прогрессии. Эти свойства нам неизвестны.
III. Изучение нового материала
Учитель: Как вы думаете, с чем должны познакомиться на уроке?
Ученик: Познакомиться с новыми свойствами прогрессий.
Учитель: Итак, запишем тему урока. Чтобы вывести характеристическое свойство каждый из вас должен последовательно выполнить ряд заданий. Работа проходит по двум вариантам.
Вариант 1
1. Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10. Запишите в порядке возрастания найденное число с данными. Образует ли данная тройка чисел арифметическую прогрессию?
2. Найдите четвертый, пятый и шестой члены этой последовательности:
2;…;10;…;…;…
3. Проверьте, выполняется ли для любой тройки чисел этой последовательности закономерность: любой член, начиная со второго, является средним арифметическим последующего и предыдущего.
4. Докажите, что если (а
) – арифметическая прогрессия,
то а= 
, при затруднении
воспользуйтесь карточкой-инструкцией (Приложение 2, часть 1).
5. Как вы считаете, верно ли обратное
утверждение: если последовательность (а) такова,
что для любого n>1 выполняется равенство а= , то (а) – арифметическая
прогрессия. Докажите данное утверждение, при
затруднении воспользуйтесь карточкой-
инструкцией (Приложение 2,
часть2).
6. Задание для самоконтроля: найдите
члены арифметической прогрессии (а), обозначенные буквами а
; –8; а
; – 2; а
; 4
7. Ответ проверьте по листу самоконтроля
(Приложение 4).
Вариант 2
1. Найдите среднее геометрическое
чисел 2 и 
.
(средним геометрическим чисел a и b называется
число 
). Запишите
в порядке убывания найденное число с данными.
Образует ли данная тройка чисел геометрическую
прогрессию?
2. Найдите четвертый, пятый и шестой члены этой последовательности:
2,…; ;…;…;…
3. Проверьте, выполняется ли для любой тройки чисел этой последовательности закономерность: модуль любого члена, начиная со второго, является средним геометрическим последующего и предыдущего членов.
4. Докажите, что если (b) – геометрическая прогрессия,
то 
=
, при затруднении
воспользуйтесь карточкой-инструкцией (Приложение 3, часть 1).
5. Как вы считаете, верно ли обратное
утверждение: если последовательность (b) , состоящая из
чисел, отличных от нуля, такова, что для любого n
> 1 выполняется равенство b
= b
b
, то (b) – геометрическая
прогрессия. Докажите данное утверждение, при
затруднении воспользуйтесь
карточкой-инструкцией (Приложение
3, часть 2).
6. Задание для самоконтроля: найдите
члены геометрической прогрессии (b), обозначенные буквами b; –8; b; – 2; b; –. Все
члены отрицательны.
7. Ответ проверьте по листу самоконтроля (Приложение 5).
После выполнения заданий ученики работают в парах: сидящие на первом варианте рассказывают о своей работе и полученном выводе и наоборот.
IV. Закрепление
Учитель: Используя задачник, определите, задания какого вида можно выполнить, используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Ученик: Характеристическое свойство арифметической прогрессии: №16.40-16.44.
Задания вида:
1. Зная, что a
+ а
= 122, найти а
.
2. Найти а
+ а
, если известно, что
а
+ а= 44 и а
+ а
= 104
3. Найти те значения х, при которых числа х,2х – 1,5х
являются последовательными членами
арифметической прогрессии.
Ученик: Характеристическое свойство геометрической прогрессии: № 17.31-17.34.
Задания вида:
1. b
= 4,b
= 16. Найти b( b>
0).
2. Найти те значения переменной t, при которых
числа t, 4t, 8 являются последовательными членами
геометрической прогрессии.
Учитель:
1 вариант выполняет задания по применению
характеристического свойства геометрической
прогрессии (№ 17.31(а, б), № 17.32)
2 вариант выполняет задания по применению
характеристического свойства арифметической
прогрессии. (№ 16.40 (а), № 16.42 (а), № 16.43).
После выполнения заданий проводится взаимопроверка: сидящие на первом варианте проверяют задания соседа по парте и наоборот.
V. Рефлексия
Учитель: С чем познакомились на уроке?
Ученик: С характеристическим свойством арифметической прогрессии, характеристическим свойством геометрической прогрессии.
Учитель: Имеют ли данные свойства практическое применение?
Ученик: Да. При решении некоторых заданий невозможно обойтись без изученных сегодня свойств.
Учитель: В каких случаях применяются изученные свойства?
Ученик: При нахождении неизвестных членов прогрессий, при составлении прогрессий с заданными соотношениями между ее членами.
VI. Домашнее задание
№ 17.31(в), № 17.33, № 16.41 или заменить один номер составлением задания для устной работы по изученной теме.