Задачи на переливание

Цель:  создание условий для развития познавательной творческой активности учащихся среднего школьного возраста при изучении математики.

Задачи:

• развивать познавательные интересы  личности (восприятие, воображение, память, мышление, внимание и др.);
• формировать устойчивый интерес к предмету, познавательную активность;
• формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности;
•  развивать коммуникативные качества личности.

Предмет математики настолько серьезен,  что нельзя упускать случая,  сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль 

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке.
В  век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не лучше ли заняться решением разного типа логических задач, решения которых не требуют сложных математических вычислений? Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект. А мышление – высшая ступень познания человеком действительности.
Решение задач – один из элементов изучения различных тем с учащимися любого возраста. А наличие у педагога в его методической "копилке" достаточного набора задач разного уровня сложности по темам курса – одно из условий технологичности и успешности его работы.
Практически в любом классе, начиная разбор задач некоторого типа, учитель подводит учеников к некоторой проблеме. Эта ситуация, обычно, имеет два противоположных качества: с одной стороны, это проблема, т. е. решение ее не предполагается сразу известным, с другой стороны, учитель должен рассчитывать на доступность решения для учащихся данного возраста. Т. е. решение задачи должно находиться в зоне развития условного среднего ученика данного класса. Кроме того, решение первой задачи обычно сопровождается обучением удобной условной записи для решения задач изучаемого класса.
После получения решения первой задачи чаще всего находится группа  учеников – все понявших, но предпочитающих постепенное, не слишком значительное ускорение в своей деятельности. И вот тут наличие достаточного множества задач разного уровня сложности по теме – настоящий клад для учителя. Только имея в руках подобное богатство, учитель может быстро обеспечить своих подопечных заданиями, соответствующими их уровню освоения данной темы, сориентировать детей в требованиях, предъявляемых к ним к концу изучения всей темы.
Решение загадок всегда пойдет на пользу. А задачи для мозга можно без проблем найти и в глобальной сети Интернет и в книжках.
Но не у всех дома есть Интернет, и не все покупают такого рода книжки. Решением данной проблемы и является эта работа, о логических задачах.

Что такое логические задачи?

К логическим задачам относятся все задачи, которые обычно в методической и учебной литературе принято называть «задачи-вопросы». Логические задачи играют важную роль в формировании понятий. В деле уточнения содержания и дифференцировки понятий им принадлежит ведущая роль. Достигается это благодаря тому, что при их решении внимание не отвлекается математическими расчетами, а полностью сосредоточивается на выявлении существенного в явлениях и процессах, на установлении взаимосвязи между ними.

Решение логических задач – это не только очень увлекательный, но и крайне полезный способ времяпрепровождения, как для школьников, так и для взрослых.

Логические головоломки – это не привычные всем со школы математические задачи. Это целые истории, в которые нужно вжиться, прочувствовать, уловить незаметные с первого взгляда связи. Герои задач – современные люди, персонажи кино и мультфильмов.  Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей для школьников всех возрастов.
Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания.

Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании отдельных таблиц, в которые заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов. (Приложение 1)

Еще несколько задач на переливание

1. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

3. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

4. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

5. Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

6. К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей  с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

7. Взгляни на берег – там ты увидишь  две банки. В одну из них помещается ровно два литра воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую банку точно один литр? Укажи два способа.

8. Располагая двухлитровым и пятилитровыми банками, сделай так, чтобы в одном из них оказался ровно литр воды.

9. Возьми две стеклянные банки. В одну из них, наполненную до краёв, помещается один литр воды, а в другую – два. Как сделать так, чтобы в двухлитровой банке оказался точно один литр? Сделай это различными способами.

10. Задача – шутка. Перед тобой двухлитровый и трёхлитровый банки, а также девятилитровая тяжелая бочка. Как бы ты не старался с помощью банок налить в нее ровно один литр воды, у тебя ничего не получится. Как думаешь, почему? Дай хотя бы один верный ответ.

11. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай  и каждый раз выпивали  половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что после этого остался всего стакан воды. Сколько воды  было в самоваре перед чаепитием?

12. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай  и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды  и еще полстакана, после  чего воды не  осталось. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием?

13. Имеются две одинаковые чашки, одна с чаем, а другая – пустая. Из первой переливают половину имеющегося в ней чая во вторую, затем  из второй переливают треть  имеющегося в ней  чая в первую,  затем  из первой переливают четверть имеющегося в  ней чая во вторую  и  т.д. Сколько чая окажется  в  каждой из чашек после 100 переливаний?

14. В два достаточно больших бидона как-то разлили  3 л воды. Из первого переливают  половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают половину имеющейся  в  нем  воды  в первый,  затем  из первого переливают половину имеющейся в  нем воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после  100 переливаний в них будет 2 л и  1 л с точностью до миллилитра.

15. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

16. Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

17. Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым?

18. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину – после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

19. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

20. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

21. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?

22. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое вместимостью 16 л?

23. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с помощью этих бидонов разделить молоко пополам?

24. Имея два полных десятилитровых бидона молока и пустые четырехлитровую и пятилитровую кастрюли, отмерьте по два литра молока в каждую кастрюлю.

25. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7 л, 8 л, кран с водой, раковина и 6л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

26. Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками? Решите задачу двумя способами.

27. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Литература:

• Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988
• Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959
• В.Н.Русанов Математические олимпиады младших школьников М., Просвещение, 1990
• Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика и образование. 1996. N1.
• И.Ф.Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991