Решение показательных уравнений (11-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели урока.

Обучающие: Закрепить полученные навыки и рассмотреть другие приёмы решения показательных уравнений.

Развивающие:

  • развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации,
  • учить анализировать, выделять главное.

Воспитательные: Развивать навыки взаимоконтроля и самоконтроля.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания.
  3. Устные упражнения.
  4. Повторение и актуализация опорных знаний. Задания **.
  5. Самостоятельная работа по проверке умения решать простейшие показательные уравнения с последующей проверкой.
  6. Другие приёмы решения показательных уравнений.
  7. Подведение итогов. Задание на дом.

 ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания (самоконтроль). Приложение 1

Задание Ответ
2 х + 8 = х = - 13
0,2 3 х - 4 = 5 2 - 5 х х = - 1
3 х + 2 + 3 х = 30 х = 1
4 х - 14 * 2 х - 32 = 0 х = 4
7 х + 1 * 3 х = 98 х = 1

Учитель предлагает поднять руку тем учащимся, у кого 3 правильных ответа, 4 правильных ответа, 5 правильных ответов, кто не справился с заданием.

III. Устные упражнения (можно решать в произвольном порядке).

Задание Ответ
х = 49 х = - 2
=16 х = 8
( = ( х = - 4
=1 х = 0
х = 1
6 х - 4 = - 6 нет корней
6) 3 х + 2 + 3 х = 90 х = 2

IV. Повторение и актуализация опорных знаний. Задания **.

Одновременно у доски работают 5 учеников: 3 уравнения на центральной доске учитель предлагает решить учащимся по желанию с последующим обоснованием, 2 уравнения ** на дополнительной доске совместно решают двое сильных учеников. Остальные учащиеся записывают в тетради решения тех уравнений, которые считают необходимыми.

№468(а) 3 х + 1 + 2 * 3 х - 2 = 75

Решение.

3 х * 3 1 + 2 * 3 х *  3 - 2 = 75

Вынесем за скобки общий множитель 3 х,

получим 3 х * (3 - ) = 75

3 х *  2 = 75

3 х = 75 : 2

3 х = 27

3 х = 3 3

х = 3

Ответ: х = 3

2) №464(в) 36 х - 4 * 6х - 12 = 0

Решение.

6 2х - 4 * 6х - 12 = 0

Пусть 6х = у, тогда уравнение примет вид

у 2 -4 у - 12 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получим

у 1= - 2, у 2 = 6.

а) 6х = - 2 - нет решения, т.к. - 2 < 0

б) 6х = 6

6х = 61

х = 1

Ответ: х = 1

3) - = 0

Решение.

=

=

- = 0

( - 2) = 0

а) = 2- нет решения

б) = 0

х = n, n Є Z

Ответ: х = n, n Є Z

4** (2/3)х * (3/2)х = 1

Решение. (2/3 * 3/2)х = 1

1 х = 1

Ответ: любое действительное число.

5** 5 1 - |х| = 25

Решение.

5 1 - |х| = 52

1 - |х| = 2

- |х| = 1

|х| = - 1

Ответ: нет решений.

V. Самостоятельная работа по проверке умения решать простейшие показательные уравнения с последующей взаимопроверкой (с копиркой).

1 вариант 2 вариант Обратная сторона карточки
= 9

2 х - 1 + 2 х + 2 = 36

25 х + 10 * 5х-1 - 3 = 0

Доп: 5 Х + 2 * 2 Х = 2500

 = 1/4

4 х + 1 + 4 х = 320

9 х - 3 х+1 - 4 = 0

Доп: 11 Х + 1 * 2 Х = 242

 Д.З.

№ 469

Решите уравнение:

4 х +2 - 10 * 3 х = 2 * 3 х + 3 - 11 * 2 2х

3 * 16 х + 2 * 81х =5 * 36 х

После выполнения учащиеся сдают листочки, копиями обмениваются в парах, осуществляют взаимоконтроль и выставляют отметку (ответы и критерии на слайде).

1 вариант (ответы) 2 вариант (ответы)
х = - 1 х = 2

х = 3

х = 0

х = 2

 х = 1 х = 2

х = 3

х = 0

х = 1

Критерии оценивания:

  • "5" - 3 задания
  • "4" - 2 задания
  • "3" - 1 задания

Учитель предлагает поднять руку тех учащихся, у кого отметка "5", "4", "3" и кто не справился с заданием.

Другие приёмы решения показательных уравнений (слайды). Объясняет учитель.

Решить уравнение: 27 х + 12 х = 2 * 8 х

Решение. Разделив обе части уравнения на 8 х > 0, получим

(3/2)3х + (3/2)х = 2.

Обозначим (3/2)х = y, тогда + y -2 = 0 <=> - 1) + (y - 1) = 0 <=> (y - 1) (y2 + y + 1) + (y - 1) = 0 <=> (y - 1) (y2 + y + 1) = 0, отсюда

y - 1 = 0 или y2 + y + 1 = 0

y = 1

D = 1 - 8 = - 7 < 0 нет решений

(3/2)х = 1

(3/2)х = (3/2)0

х = 0

Ответ: х = 0

При решении показательных уравнений часто пользуются искусственными приёмами. Решить уравнение: 3 х + 4 х = 5 х

Решение. Воспользуемся тем, что 5 х > 0 при любом х, и перейдём к равносильному уравнению (3/5)х + (4/5)х = 1.

Заметим, что х = 2 - решение этого уравнения. Покажем, что других решений нет. Функция f(х) = (3/5)х + (4/5)х как сумма двух убывающих функций является убывающей, а потому каждое своё значение она принимает только один раз.

Ответ: х = 2

VI. Подведение итогов. Задание на дом (на обратной стороне карточки для самостоятельной работы).

Домашнее задание:

№ 469

Решите уравнение:

  1. 4 х +2 - 10 * 3 х = 2 * 3 х + 3 - 11 * 2 2х
  2. 3 *16 х + 2 * 81х =5 * 36 х

Решить уравнения другого варианта.