Разработка урока "Решение задач на смеси, растворы методом уравнений и систем уравнений"

Цель урока:

• развитие логического   мышления, умений самостоятельно работать, навыков
• взаимоконтроля применение различных методов решения систем
• уравнений, технология составления уравнений одного из типов задач на сложные проценты.

Оборудование: таблица « Три типа задач на проценты », кодопозитив « Типы задач» индивидуальные карточки с условиями задач, таблица «Процент числа».

Ход урока

I этап. Организационный момент.

Цель: Ознакомить учащихся с темой и задачей урока, актуальность изучаемого материала, формирование мотива, желания работать на уроке.

II этап. Устная работа (разминка)

Цель: Повторение прежних знаний и навыков по теме «Проценты».

1.  Представьте данные десятичные дроби в процентах: 0,5; 0,24; 0,032; 1,3; 15;
   Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12,5%; 0,06%; 1000%;
2. Найдите число:
   а) 1% которого составляет 80 р. (800 р.);
   б) 2% которогосоставляют 14 кг (700кг);
   в) 5% которого составляют 600р. (12 ОООр);
   г) 19 % от 120 кг;
   д) 52 % от 697 руб.

III этап. Изучение и формирование новых знаний и навыков.

Цель: Ознакомление с формулами « сложных процентов» и формирование навыков применения этих формул при решении задач.

Основные этапы решения задач

1. Выбор неизвестной (или неизвестных). Чаще всего в качестве неизвестных величин выбирают те, которые требуется найти, но иногда целесообразно обозначить неизвестными некоторые промежуточные величины, через которые легко выражаются искомые.
2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором идет речь в требовании задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится больше всего информации. При этом, если а – доля чистого вещества, то (1 – a) – доля примеси.
3. Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания, их следует перевести в доли в дальнейшем работать только с долями.
4. Отслеживание состояния смеси. На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин m, M, a.
5. Составление уравнения. В результате преобразований смеси, описанных в задаче, мы приходим к ее итоговому состоянию. Оно характеризуется величинами m, M, a, содержащими неизвестные. Уравнением, связывающим эти неизвестные, будет уравнение m = a M.

В ходе осуществления этих этапов рекомендуем ввести следующую таблицу.

Таблица 1

6. Решение уравнения (или их системы) и нахождение требуемых величин.
7. Формирование ответа. Если в задаче требовалось найти то или иное процентное содержание, то следует полученные доли перевести в процентные содержания.

А теперь рассмотрим перечисленные этапы на примерах.

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Разбор решения задачи по этапам.

1. Пусть требуется добавить х кг пресной воды.
2. За чистое вещество примем соль. Тогда морская вода – это смесь с 5%-ным содержанием чистого вещества, пресная вода – с 0%-ным содержанием чистого вещества.
3. Переходя к долям, получаем, что доля соли в морской воде составляет 0,05, доля соли в пресной воде равна 0, доля соли в смеси, которую нужно получить, - 0,015.
4. Происходит соединение смесей (табл. 2)

Таблица 2

5. Исходя из третьей строки табл. 2, составим уравнение m = a M: 0,05 * 30 = 0,015(30 + х).
6. Решаем полученное уравнение и находим х = 70.
7. В данной задаче не содержалось требования найти процентное содержание какого-либо вещества, поэтому нет необходимости переводить доли в процентные содержания.

Ответ: 70 кг.

Задача 2. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 25% целлюлозы?

Решение.

1. Пусть х т воды следует выпарить.
2. За чистое вещество принимаем сухую целлюлозу.
3. Доля воды в данной целлюлозной массе – 0,85. Следовательно, доля целлюлозы в данной массе 1 – 0,85 = 0,15. Выпаривается чистая вода, в ней доля целлюлозы равна нулю. Доля целлюлозы в смеси после выпаривания – 0,25.
4. Происходит разъединение смесей (изъятие из данной смеси воды выпариванием) (табл. 3).

Таблица 3

5. Составим уравнение вида m = a M по третьей строке табл. 3: 0,15 * 0,5 = 0,25 (0,5 – х)
6. Решая уравнение, получим х = 0,2.
7. Следует выпарить 0,2 т воды. В соответствии с требованием задачи переводим ответ в килограммы.

Ответ: 200 кг.

Решим эту же задачу, выбрав в качестве чистого вещества воду.

1. Пусть х т воды следует выпарить.
2. За чистое вещество принимаем воду.
3. Доля воды в данной массе – 0,85. Доля воды в выпаренной воде будет составлять 1. Доля воды в полученной смеси составит 1 – 0,25 = 0,75.
4. Происходит изъятие из данной смеси воды (выпариванием) (табл. 4).

Таблица 4

5–6. Составим уравнение по третьей строке табл. 4 и решим его

0,85 * 0,5 – х = (0,5 – х) 0,75,

х = 0,2.

Ответ: 200 кг.

Комментарий. По мере приобретения навыков учащимся необязательно выделять записями указанные этапы решения. После выбора неизвестных они составляют таблицу, в процессе заполнения которой реализуются этапы 2, 3 и 4.

IV. Задачи на самостоятельное решение

1. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

V. Итог урока.
 
Домашнее задание:

Решить задачи:

1. В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?
2. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору?