Урок в 9-м физико-математическом классе по теме "Метод координат"

Акаткина Елена Михайловна, учитель математики

Цель урока:

обобщение и систематизация изученного материала;
формирование умения применять алгебраический аппарат к решению геометрических задач;
развитие познавательной деятельности, творческих способностей у учащихся, воспитание интереса к предмету.

Ход урока

Математический диктант.
Решение сложных задач.
Историческая справка (физкультминутка).
Повторение теории для решения более сложных задач.
Решение более сложных задач.
Задание на дом.

Оборудование: плакат по теме, мультимедийный проектор, (можно карточки с математическим диктантом и теоретическим опросом).

Урок начинается с математического диктанта, где предложены простейшие задачи в координатах.

Вариант 1.

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если

А(3;-4), В (-3;6).

2. Найдите длину отрезка КВ, если К(-6;-3), В(2;3).

3. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4;5), а радиус равен 3.

4. Найдите координаты вектора АВ, если А(2;-5), В(-3;4).

5. Выяснить взаимное положение прямой и окружности .

6. Доказать, что отрезок АВ, где А(-1;6), В(-1;2) является диаметром окружности

Вариант 2.

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если

А(-2;3), В (6;-3).

2. Найдите длину отрезка КВ, если К(-3;8), В(2;-4).

3. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4;5), а радиус равен 2.

4. Найдите координаты вектора АВ, если А(-1;6), В(3;-2).

5. Выяснить взаимное положение прямой и окружности .

6. Доказать, что отрезок АВ, где является диаметром окружности

Данный математический диктант можно проверить в классе (самопроверка, проектор и т. д.). Задание №6 можно разобрать в классе в зависимости от сложившейся ситуации.

Итак, переходим к решению задач. Давайте еще раз уточним, в чем состоит практическое применение метода координат:

а) удобным способом вводится ПДСК;

б) условие задачи записывается в координатах;

в) решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Первой задачей будет доказательство известной теоремы за курс геометрии 8 класса, которой вы неоднократно пользовались в своей работе.

Задача 1. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Доказать.

Решение.

Введем ПДСК так, чтобы вершина А параллелограмма АВСD совпала с началом координат, сторона AD совпала с осью ОХ, а вершины В и С находились в первой координатной четверти. Тогда вершины параллелограмма получат координаты

А(0;0), B(a;0), С(b;c), D(a+b;с).

Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

, , ,

Отсюда: .

Таким образом .

Задача 2. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек координатной плоскости М, для каждой из которых выполняется условие .

Решение.

Введем ПДСK так, чтобы А(0;0), В(а;0), где АВ=а, М(x;y)-произвольная точка плоскости.

Условие запишется в виде:

. Сделав соответствующие преобразования, получим выражение . Этим уравнением задается окружность с центром в точке (-а;0), т.е. в точке, симметричной точке В относительно точки А.

Устали? Тогда я могу предложить вам интересную историческую справку-эпизод из жизни великого ученого, философа, надеюсь, вы сами узнаете какого.

Историческая справка.

1618 год. Прохожих мало. Молодой солдат в форме армии Морица Оранского со скучным видом ходит по мостовой. Цель- найти развлечение. Около одной из деревянных труб с наклеенными объявлениями - толпа. Солдат прислушивается- на его лице досада- говорят на чисто голландском языке. Ясно, что предмет разговора – лист бумаги, приклеенный к тумбе. « Что здесь написано?»- по-французски говорит он. Его не понимают. Один из тех, к кому обращается солдат, смотрит на француза с интересом и говорит, что переведет, но с условием, что солдат принесет ему решение всех задач. Голландец представился- преподаватель физики, медицины и математики - Бекман, а на плакате конкурс на решение задач. Решивший получит титул лучшего математика города. На следующее утро солдат постучал в дверь Бекмана. Еще ни не случалось, чтобы кто-нибудь сразу решил все задачи, над которыми ломали головы общепризнанные авторитеты. Этот француз, родом из Турени, воспитывался в иезуитской коллегии ЛА ФМШ, там же изучал математику. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятие переменной величины и функции. Его именем названа алгебраическая кривая третьего порядка, а также прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Догадались? Конечно, это Рене Декарт.

Продолжаем работу дальше.

Прежде чем начать решать более сложные задачи, я хотела бы повторить теорию, которую мы с вами выучили за то время, которое нам было отведено для этой темы.

Примерный теоретический опрос.

1. Общий вид уравнения прямой.

2. Угловой коэффициент в уравнении прямой. Его геометрический смысл.

3. Общий вид уравнения прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

4. Общий вид уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

5. Уравнение прямой в отрезках.

6 Что понимается под углом между прямыми?

7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

(Все, что сейчас повторили дети могут видеть на плакате или на доске).

Переходим к решению более сложных задач. Иногда для решения задач можно не вводить ПДСК, а пользоваться лишь теоретическим аппаратом изученной темы.

Задача 3.Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, образованного прямыми , ,.

Решение.

Прямые и взаимно перпендикулярны, т. к. их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е . треугольник, образованный данными прямыми, прямоугольный. Таким образом, эти прямые содержат катеты треугольника, а прямая - содержит гипотенузу.

Найдем координаты точек пересечения катетов и гипотенузы, для чего решим системы уравнений.

и . Решением первой системы является точка (-3;-1), решением второй-точка (7;1).

Найдем координаты центра окружности, которая лежит в центре гипотенузы по формуле нахождения координаты середины отрезка: . Таким образом, центр окружности имеет координаты (2;0).

Радиус окружности найдем по формуле расстояния между точками .

Уравнение окружности имеет вид:

Задача 4. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(6;4), В(-9;4),С(-9;-16).

а) Найдите длину медианы АЕ;

б) Написать уравнение высоты ВD;

в) Найдите точку пересечения медианы и высоты.

Решение.

а) Точка Е –середина ВС. По формуле координаты середина отрезка точка Е имеет координаты (-9;-6).

По формуле нахождения расстояния между двумя точками

б) Составим уравнение прямой АС по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки:

, т.е. .

Уравнение ВD составим по формуле уравнения пря мой, проходящей через точку В с заданным угловым коэффициентом.

Т.к. BD перпендикулярна АС, то угловой коэффициент BD равен .Уравнение BD примет вид: .

в). Для нахождения точки пересечения медианы АЕ и высоты ВD напишем уравнение АЕ и решим систему из двух уравнений.

Уравнение АЕ: , т.е. .

.Таким образом, точка пересечения медианы и высоты имеет координаты

Задача5. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. Определить координаты вершин В и С, если точка А лежит на оси Ох.

Решение.

1) Уравнение задает на плоскости окружность с центром в начале координат и . Т.к. точка А лежит на оси Ох, то А(4;0) или А(-4;0).

2) Рассмотрим случай, если А(4;0). Точки В и С лежат во второй и третьей координатных четвертях соответственно. Пусть точки К и - точки пересечения сторон треугольника АВ и АС с осью Оy.