Курс «Где используется предел…» предназначен для учащихся 10-11-х классов общеобразовательных учреждений, проявляющих интерес к математике, желающих повысить свой математический уровень, расширить и углубить предметные знания. Концепция данной программы заключается в пропедевтике темы «Пределы», изучаемой в большинстве вузов (как технической, так и гуманитарной направленности). Как показывает опыт, большая часть студентов испытывает трудности при изучении данной темы, так как школьная программа охватывает ее только поверхностно, основываясь на интуиции и наглядных представлениях. Отличительной особенностью данного элективного курса от уже существующих является наличие в нем задач прикладного характера.
Цели курса:
- создание мотивационной основы для осознанного выбора дальнейшего профиля обучения,
- формирование образовательных, коммуникативных и информационных компетентностей для продолжения математического образования в вузах различного профиля.
Реализация поставленных целей будет способствовать овладению учащимися основами математической культуры, становлению личности.
Задачи курса:
- изучить способы вычисления пределов;
- отработать навыки применения данных знаний при решении задач различной сложности;
- отработать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;
- отработать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;
- отработать умения и навыки исследовательской работы;
- способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;
- организовать встречу со студентами, изучающих математику в вузе .
Сроки реализации – 36 часов (1 час в неделю).
Содержание курса включает в себя теоретическую и практическую части.
В основу теоретической части положены темы, включенные в профильный курс математики в разделе “Начала математического анализа” и дополненные темами, расширяющими и углубляющими предмет: Бесконечно малые и бесконечно большие величины, Конечный предел, Бесконечный предел, Понятие бесконечности, Элементарные приемы раскрытия неопределенностей, Второй замечательный предел, Прикладные задачи с использованием второго замечательного предела, Сравнение бесконечно малых, Точки разрыва функции, Правило Лопиталя (перечислить!)
Для реализации данного содержания используются методы активного обучения (проблемный, исследовательский, частично-поисковый), развивающие познавательную самостоятельность, интеллектуальную активность и творческую направленность.
Для развития образовательных и информационных компетентностей у учащихся ведущими являются такие формы организации учебной деятельности как лекция, практикум, семинар, круглый стол. Преобладающими приемами организации учебной деятельности будут: создание проблемной ситуации, имеющей форму познавательной задачи; общение диалогического типа, предметом которого является вводимый учителем материал.
Практическая часть курса предполагает использование поисковой и элементов исследовательской деятельности при работе с различными источниками информации (учебными пособиями, справочники, энциклопедии, Интернет-ресурсами), отборе и переработке информации для написания реферативных работ по избранным вопросам математики. Для создания условий успешности учитываются реальные учебные возможности учащихся через дифференцированные варианты заданий для проверочной, самостоятельной работы и для подготовки к семинарам.
Курс направлен на достижение метапредметных результатов, – в частности, на формирование надпредметных и обобщенных способов совместной деятельности, умение работать в группе, умение выстраивать свой ответ, доказывать и аргументировать свою точку зрения, участвовать в дискуссии и оппонировать. На занятиях предполагается разумное сочетание различных форм обучения:коллективной, групповой, парной и индивидуальной.
В результате изучения курса “Где используется предел…” учащиеся должны
знать, понимать:
– определение последовательности, предела
последовательности, бесконечно малой и
бесконечно большой величины;
– определение предела функции, свойства
пределов функции;
– прикладное значение теории пределов.
уметь:
– вычислять несложные пределы
последовательностей и функций в точке и на
бесконечность;
– находить простейшие пределы с использованием
первого и второго замечательных пределов и
правила Лопиталя; использовать элементарные
приемы для раскрытия неопределенностей;
– исследовать функции – на непрерывность;
– решать прикладные задачи с помощью теории
пределов.
– осуществлять поиск математической информации
по определённой теме в различных источниках;
– подготовить доклад;
В процессе обучения используются средства: учебные пособия: Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу», средства наглядности, компьютерные технологии.
Результаты изучения данного курса могут быть выявлены в рамках следующих форм контроля:
- текущий контроль (беседы по изученным темам, тестирование, диктант по теоретическому материалу);
- зачётный практикум (индивидуальные домашние задания, дифференцированные
- самостоятельные работы, проверочные работы, проект);
- итоговый (выполнение контрольной работы).
Учебно-тематический план
| № | ТЕМА | Кол-во часов | Форма проведения | Форма контроля | |
| теория | практика | ||||
1. |
Вводное занятие |
|
1 |
Круглый стол со студентами и преподавателями вузов | |
| 2. | Числовая последовательность. Предел последовательности. |
1 | 1 | Лекция (обсуждение), практикум | тест |
| 3. | Бесконечно малые и бесконечно большие величины. |
1 | 1 | Лекция ,практикум | проверочная работа |
| 4. | Конечный предел. Бесконечный предел. Понятие бесконечности. | 1 | 1 | Лекция ,практикум | самостоятельная работа |
| 5. | Предел функции | 1 | 1 | Лекция (обсуждение), практикум | тест |
| 6. | Теоремы о бесконечно малых и о пределах | 1 | 1 | Лекция ,практикум | Взаимопроверка по листу самоконтроля |
| 7. | Частные случаи нахождения пределов. | 1 | 1 | Лекция (обсуждение), практикум | диктант |
| 8. | Элементарные приемы раскрытия неопределенностей | 3 | Практикум, семинар | дифференцированная самостоятельная работа с последующей защитой | |
| 9. | Первый замечательный предел | 2 | Практикум, | проверочная работа | |
| 10. | Второй замечательный предел | 2 | Практикум, | самостоятельная работа | |
| 11. | Прикладные задачи с использованием второго замечательного предела | 4 | Практикум, семинар | презентация практических задач | |
| 12. | Смешанные задачи на нахождение пределов | 2 | семинар | защита проекта | |
| 13. | Сравнение бесконечно малых | 1 | 1 | Лекция ,практикум | проверочная работа |
| 14. | Непрерывность и точки разрыва функции | 1 | 2 | Лекция ,практикум | проверочная работа |
| 15. | Правило Лопиталя | 2 | Практикум | дифференцированная самостоятельная работа с последующей защитой | |
| 16. | Контрольная работа | 2 | |||
| 17. | Итоговое занятие | 1 | Круглый стол | рефераты | |
Содержание курса:
1. Вводное занятие.
2. Числовая последовательность. Предел последовательности.(2 часа)
Определение числовой последовательности. Формула общего члена последовательности. Определение числовой последовательности. Свойства пределов числовой последовательности: предел суммы, произведения, частного последовательностей. Примеры на вычисление пределов числовой последовательности.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.(2 часа)
Определение бесконечно малых и бесконечно больших величин. Нахождение пределов с использованием бесконечно малых и бесконечно больших величин.
4. Конечный предел. Бесконечный предел. Понятие бесконечности. (2 часа)
Понятие конечного предела. Понятие бесконечного предела.
5. Предел функции.(2 часа)
Определение предела функции в точке. Вычисление предела функции в точке. Предел функции на бесконечность.
6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах. (2 часа)
Теоремы о бесконечно малых. Свойства пределов функции. Использование свойств при вычислении пределов функции.
7. Частные случаи нахождения пределов. (2 часа)
Простейшие пределы, как формулы для вычисления пределов и их применение.
8. Элементарные приемы раскрытия неопределенностей.(3 часа)
Типы неопределенностей:
.Прием сокращения дроби на множитель,
стремящийся к нулю. Теорема Безу. Прием вынесения
за скобки множителя с наивысшей степенью.
Использование приемов для раскрытия
неопределенностей.
9. Первый замечательный предел. (2 часа)
Первый замечательный предел. Использование первого замечательного предела при вычислении пределов.
10. Второй замечательный предел. (2 часа)
Второй замечательный предел. Использование второго замечательного предела при вычислении пределов.
11. Практические задачи с использованием второго замечательного предела (4 часа)
Понятие дискретного процента. Формула сложных процентов. Задачи на темы: рост вклада, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий.
12. Смешанные задачи на нахождение пределов. (2 часа)
Решение смешанных задач на вычисление пределов.
13. Сравнение бесконечно малых. (3 часа)
Как сравнить между собой бесконечно малые величины. Эквивалентность бесконечно малых. и их свойства. Нахождение пределов с помощью свойств.
14. Непрерывность и точки разрыва функции. (3 часа)
Определение непрерывной функции. Условие необходимости и достаточности непрерывности функции. Определение разрывной функции. Точки разрыва первого и второго рода. Исследование функции на непрерывность с помощью пределов.
15. Правило Лопиталя. (2 часа)
Правило Лопиталя. Нахождение пределов с помощью правила Лопиталя. Сравнительный анализ способов раскрытия неопределенностей одного вида.
16. Контрольная работа. (2 часа)
17. Итоговое занятие. (1 час)
Информационное обеспечение образовательной программы включает:
- Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. –М: Высшая школа, 1964.
- Самовол В.С. Математика. Часть 1. Основы математического анализа. – М.: РГТУ, 1997
- Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 2001
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1978
- fmi.asf.ru/library/book/Mat An1/
- www.exponenta.ru
- e-science.ru/math/theory
- www.bymath.net (Вся элементарная математика. Средняя математическая интернет-школа)