Разработка программы приближенного вычисления интеграла

Цели урока:

• ознакомить с различными методами приближенного вычисления интегралов;
• дать сравнительный анализ методов на основании вычислительного эксперимента.

Методические указания к проведению урока.

Урок посвящается разработке программы вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции F(x) и прямыми х=А, х=В. Эта площадь может быть определена как значение интеграла

.

Для вычисления площади воспользуемся методом прямоугольников (левых), заменяя искомую площадь суммой площадей N прямоугольников, которые можно получить, разбив отрезок [A,B] на N частей и взяв в качестве высоты каждого прямоугольника значение функции в начальной (левой) точке разбиения. Тогда искомая площадь может быть вычислена по формуле:

S= H*(F(A)+F(A+H)+F(A+2*H)+:..+F(A+(N-1*H)), где H=(B-A)/N.

(Приложение 1. слайд №1)

Соответствующая программа будет иметь вид:

10 REM

20 DEFFNF(X) =

30 INPUT "Введите значения А,В"; А,В

40 INPUT"Введите число разбиений"; N

50 H = (B-A)/N

60 S = 0

70 X = A

80 FOR I=1 TO N

90 S = S+FNF(X)

100 X = X+H

110 NEXT

120 S = S*H

130 PRINT "Площадь равна"; S.

140 END

Опробуем программу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции F(X)=2-X² и прямыми: У=0, Х=1(для А=0, В=1). Положим N = 10.

После ознакомления с работой программы, следует обратить внимание учащихся на то, что пользователь задает число разбиений отрезок [A,B] - N. Точность полученного при этом результата не оценивается.

Возникает вопрос: если задана точность вычисления площади, то при каком значении N она достигается?

Предложим учащимся выполнить следующий вычислительный эксперимент: вычислим значение площади рассматриваемой криволинейной трапеции как значение интеграла

=5/3 (1,6667)

Вычислим значение той же площади по программе, приняв N = 4 и затем увеличивать его каждый раз вдвое. Полученные значения будем записывать в таблицу.

Таблица. Вычисление значения .

Погрешность результатов определим по известному точному значению интеграла.

Очевидно, чем больше число разбиений погрешность N, тем выше точность расчета. При каком значении N достигнута точность вычисления площади, равная 0,1. 0,01? Какова при этом разность между значениями площади, полученными при числе разбиений N и N/2?

Учащиеся должны сделать вывод, что точность расчета Е достигнута, если разность подряд полученных результатов по абсолютной величине окажется меньше заданного Е.

Сделанный вывод соответствует практическому правилу оценки точности вычисления интеграла методом прямоугольников, называемому правилом двойного пересчета.

Сравнение результатов расчета по программе с точным значением интеграла(5/3) показывает, что используемый метод расчета очень груб. В самом деле, в качестве высоты прямоугольника на каждом элементарном отрезке выбирается значение функции в его начальной точке.

Попробуем улучшить метод расчета, взяв за высоту прямоугольника полусумму значений функции на концах элементарного отрезка. Полученная при этом формула носит название формулы трапеции, поскольку на каждом отрезке площадь под кривой вычисляется приближенно как площадь трапеции , основаниями которой служат ординаты начальной и конечной точек графика функции на этом отрезке.

Соответствующее изменение внесем в программу:

90 S = S + (FNF(X) + FNF(X+H))/2

(Приложение 1. слайд №2)

Опробуем программу при тех же значениях N, сведем данные в таблицу и проанализируем их. Для формулы трапеций практическое правило определения точности результата даёт следующую оценку: погрешность расчета при разбиении промежутка на N частей втрое меньше модуля разности значений, полученных при числе разбиений, равном N, и равном N/2.

В формуле трапеций не участвует значение подинтегральной функции в средней точке элементарного промежутка. Попробуем учесть это значение, причем придадим ему вес, больший по сравнению со значениями функции в крайних точках промежутка. Определим высоту эквивалентного по площади прямоугольника как среднее арифметическое шести значений подинтегральной функции два из них возьмем в крайних точках элементарного отрезка и четырежды - значение в средней точке отрезка (золотая середина). Полученная формула известна как формула Симпсона, или парабол (геометрически она соответствует вычислению площади, ограниченной параболй, проходящей через начальную, среднюю и конечную точки графика функции на элементарном отрезке. Можно предложить учащимся самостоятельно выразить параметры параболы через значения подинтегральной функции в трех указанных точках и вывести формулу Симпсона).

Изменим строку 90 в соответствии с формулой парабол:

90 S = S + (FNF(X) + FNF(X+H) + S*FNF(X+h/2))/6

(Приложение 1. слайд 3)

Опробуем этот вариант программы для тех же значений N, сведем данные в таблицу и проанализируем их.

Мы можем убедиться в том, что последний метод вычисления интеграла даёт существенно более высокую точность. Правило двойного пересчета в этом случае даёт следующую оценку точности: погрешность вычисления интеграла может быть определена как разность значений, полученных при числе разбиений N и N/2, взятая по модулю и деленная на 15.

Предложим учащимся выполнить серию расчетов по программе в ее последнем варианте и установить, при каком значении N будет достигнута точность расчета Е, равная 0,001.

1. Вычислить площадь четверти круга единичного радиус:

F(X) =² ,A=0, B=1 (S= 0.785398)

2. Вычислить площадь аркой синусоиды:

F(X) = sinx, F=0, (S=2)