Зачетное занятие по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Цели:

• Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
• Умение применять полученные знания при решении задач.
• Воспитание активного желания работать до конца.
• Привития внимания, чувства ответственности, самоконтроля.
• Развитие умения слушать, обобщать и делать выводы.

Оборудование::

• Листочки с копировальной бумагой.
• Листы с текстами задач.
• Карточки с самостоятельной работой.
• Таблица результатов по самостоятельной работе.

Ход урока

I. Лекция-парадокс

Во время лекции учитель специально делает ошибки в тексте, учащиеся должны зафиксировать все ошибки на контрольном листе под копирку и ответить на вопросы, поставленные учителем в ходе лекции. Контрольный лист сдаётся на проверку, а по второму экземпляру проводиться проверка правильности выполнения задания. Учащимся предлагается по готовым ответам проверить правильность выполнения задания. Правильные ответы даны в скобках.

Содержание лекции

Функцию вида y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают f = y(n) или f₁, f₂, f₃, …, f_n, …

(y = f(n), y₁ y₂, y₃,…y_n)

Значения f₁, f₂, f₃, …, f_n (y₁, y₂, y₃, …, y_n, …) называют соответственно первым, вторым, третьим и т. д. членами последовательности. Число n называют индексом, который показывает порядковый номер того иного члена последовательности. Иногда последовательность обозначают – f_n (y_n). Член у n предшествует член y_n+1 (y_n-1), а следует за ним y_n-1 (y_n+1).

Можно ли для членов последовательности использовать буквы х, в, ч, с и т.д.? (Можно)

Последовательность можно задавать различными способами, но особенно важны три: аналитический, словесный, рекуррентный.

Последовательность задана аналитически, если указан её первый и второй члены (формула первого члена). Если правило составления последовательности описано словами, то способ задания называется словесным. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её первый и последний члены. (её предыдущие члены).

Какую последовательность называют последовательностью Фибоначчи? (n-ый член, которой равен сумме двух предшествующих ему).

Последовательность (у_n) называют возрастающей, если каждый её член, кроме первого, меньше предыдущего (больше). Последовательность (у_n) называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего (меньше). Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. Число d – сумма (разность) арифметической прогрессии. Т.е. арифметическая прогрессия- это последовательность (а_n), заданная рекуррентно соотношениями а₁ = а, а_n = а_n-1 +d (n= 2, 3, 4, …), а и d – заданные числа.

Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить является ли она арифметической прогрессией? (можно, если убедиться, что разность между последующими и предыдущими членами одна и та же).

Арифметическая прогрессия является возрастающей, если d > 1 и убывающей, если d < 1 (d >0, d < 0).

Рекуррентное задание арифметической прогрессии неудобно. Удобнее арифметическую прогрессию задавать аналитически формулой n-го члена. а_n = а₁ + (n + 1) ∙ d, где n – порядковый номер члена прогрессии, а d - разность (n-1). Чтобы найти сумму n – первых членов арифметической прогрессии, надо воспользоваться формулой S_n = (a₁ + a₂) : 2 ∙ n (S_n = (a₁ + a_n) : 2 ∙ n.

Какой ещё формулой можно воспользоваться? (S₁ = (2a₁ + (n-1) ∙ d) :2 ∙ n).

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Записать это свойство в виде формулы (a_n = (a_n-1 + a_n+1) : 2).

Числовую последовательность, все члены которой отличны от 1 (0) и каждый член, которой начиная со второго получается из предыдущего члена умножением его на одно и тоже число q, называют геометрической прогрессией. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Можно ли глядя на числовую последовательность заданную рекуррентно соотношением b₁ = b, b_n = b_n-1 ∙ q (n= 2, 3, 4…) определить является ли она геометрической прогрессией? (можно, если отношение последующих предыдущих членов равно одному и тому же числу). Геометрическая прогрессия называется возрастающей, если b₁ > 1, q >0 (b₁ >0, q > 1) и убывающей, если b₁ > 1, 0< q <1 (b₁> 0).

n-й член геометрической прогрессии можно найти по формуле

b_n = b₁ – (qⁿ) - 1 (b_n = b₁ ∙ q_n-1). Чтобы найти сумму n-первых членов прогрессии надо воспользоваться формулой S_n = (b₁ ∙ (qⁿ – 1) : (q- 1), q = 1. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной), равен произведению предшествующего и последующего членов). Это свойство записывается формулой b_n² = b_n-1 ∙ b_n+1.

II. Решение задач

Приложение 1

Учащимся предлагается набор задач по всей теме, решение этих задач обязательно проверяется, если что- то непонятно разбирается подробно. Идёт подготовка к самостоятельной работе.

III. Самостоятельная работа

Приложение 2

Самостоятельная работа составлена на три уровня. Учащиеся сами определяют с какого уровня им начать работать. Решив задачи выбранного им уровня они показывают решение учителю, если решение правильное, ученик может приступать к решению следующего уровня. Если же ученик выбрал сразу уровень на «5», то получает дополнительное , более трудное задание. Учитель фиксирует выполнение заданий в листе контроля разными цветами: зелёный – «3», синий – «4», красный – «5». В результате к концу занятия видно на какую оценку ученик сдал зачёт.