Работа по курсу "Основы преподавания математики" на тему "Методы решения иррациональных неравенств"

Еронина Наталия Владимировна

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала). Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств:

Решение иррациональных неравенств стандартного вида

а) Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: [1; 2).

б) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

Ответ:

в) Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида

Например, данное неравенство равносильно системе неравенств. Рассмотрим более сложный вариант. Решим неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении

а) Решить неравенство

Решение: Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение. Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решение иррациональных неравенств способом группировки

Решить неравенство

Решение.

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: ( 0; 1 )

Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности

Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решение иррациональных неравенств заменой

Решить неравенство

Решение. Пусть = t, тогда = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Ответ:

Решение иррациональных неравенств смешанного вида. Иррациональные показательные неравенства

а) Решить неравенство

Решение.

т.к. y = 0,8^t , то 0,5x(x – 3) < 2; 0,5x² – 1,5x – 2 < 0,

x² – 3x – 4 < 0, f(x) = x² – 3x – 4,

ОДЗ,

Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1.

Ответ: х

б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32

Решение. 4– 2 < 2– 32, ОДЗ: x > 0

2– 2 2 < 2 2⁴ – 2⁵, выполним группировку слагаемых 2(2– 2) – 2⁴(2–2) < 0, (2– 2) (2– 2⁴) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам: