Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит
под знак корня (радикала). Иррациональное неравенство вида
равносильно системе неравенств:
Иррациональное неравенство вида равносильно совокупности
двух систем неравенств:
и
Решение иррациональных неравенств стандартного вида
а) Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: [1; 2).
б) Решить неравенство
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
Ответ:
в) Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида
Например, данное неравенство равносильно
системе неравенств. Рассмотрим более сложный вариант. Решим
неравенство
Решение. Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ:
Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении
а) Решить неравенство
Решение: Учитывая то,
что и
правило знаков при
делении данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
б) Решить неравенство (2x – 5)
Решение. Учитывая то, что и правило знаков при
делении данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
Решение иррациональных неравенств способом группировки
Решить неравенство
Решение.
,
сгруппируем по два слагаемых
вынесем общий множитель за скобку
учитывая, что
> 0 и правило знаков при умножении
данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: ( 0; 1 )
Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности
Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
Решение иррациональных неравенств заменой
Решить неравенство
Решение. Пусть = t, тогда
=
, t > 0
Сделаем обратную замену:
возведем в квадрат обе части неравенства
Ответ:
Решение иррациональных неравенств смешанного вида. Иррациональные показательные неравенства
а) Решить неравенство
Решение.
,
т.к. y
= 0,8t
,
то 0,5x(x – 3) < 2; 0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x – 4 < 0, f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ,
Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1.
Ответ: х
б) Решить неравенство 4–
2
< 2
– 32
Решение. 4–
2
< 2
–
32, ОДЗ: x
> 0
2– 2
2 < 2
24 – 25, выполним группировку
слагаемых 2
(2
–
2) – 24(2
–2) < 0,
(2
– 2)
(2
– 24) < 0, учитывая правило знаков
и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:
или
т.к. y = 2t
, то
т.к.
y = 2t
, то
Æ
Ответ: х
Решение иррациональных логарифмических неравенств
Решить неравенство
Решение. Уч. ОДЗ данное неравенство равносильно системе неравенств
Ответ:
Список литературы
- Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
- 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
- Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
- Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави.