Цель урока:
Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений».
Рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности.
Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность.
Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
Ход урока
I этап урока – организационный (1 минута).
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
II этап урока (12 минут). Повторение теоретического материала по теме: «Тригонометрические уравнения».
Учитель обращается к учащимся с вопросом:
- Какие уравнения называются тригонометрическими?
Определение. Тригонометрическими называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.
- Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
Простейшие тригонометрические уравнения.
Однородные (1 и 2 степеней).
Квадратные уравнения относительно одной из тригонометрических функций.
Неоднородные.
- Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
Определение. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sin x =a, (где |a| ≤ 1), cos x =a,( где |a| ≤ 1),
tg x =a, (где -∞ < a < +∞) a – действительное число.
- Какие уравнения называются однородными?
Определение. Уравнения вида asinx + bcosx =0 - называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени, asin 2x + bsinx cosx + ccos 2x = 0 – тригонометрическим уравнением второй степени.
- Какие уравнения называются квадратными?
Определение. Уравнения вида asin 2x + bsinx = с (acos 2x + bcosx = c, atg 2x + btg x = c) является квадратным уравнением относительно sinx, (cosx, tgx).
- Какие уравнения называются не однородными?
Определение. Уравнения вида asinx + bcosx =c, где a≠0, b≠0, c≠0 называется неоднородным тригонометрическим уравнением.
- Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
Введение новой переменной.
Разложение на множители.
С помощью формул понижения степени.
Введение вспомогательного угла.
Использование универсальной подстановки и др.
После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.
Способы решения некоторых тригонометрических уравнений.
1. Введение новой переменной.
№1. 2sin2x – 5sinx + 2 = 0.
Пусть sinx = t, |t|≤1,
Имеем: 2t2 – 5t + 2 = 0.
Пусть tg
= z,
№2. tg
+ 3ctg
= 4.
Имеем: z +
= 4.
2. Разложение на множители.
2sinx cos5x – cos5x = 0; cos5x (2sinx – 1) = 0.
3. Однородные тригонометрические уравнения.
I степени
a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).
Разделим на cosx ≠ 0.
Имеем: a tgx + b = 0; …
II степени
a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0.
1) если а ≠ 0, разделим на cos2x ≠0
имеем: a tg2x + b tgx + c = 0.
2) если а = 0, то
имеем: b sinx cosx + c cos2x =0;…
4. Неоднородные тригонометрические уравнения.
Уравнения вида: asinx + bcosx = c
4sinx + 3cosx = 5.
Показать два способа:
1) Применение универсальной подстановки:
sinx = (2tg x/2) / (1 +tg2x/2);
cosx = (1- tg2x/2) / (1+tg2x/2);
2) Введение вспомогательного аргумента:
4sinx + 3cosx = 5
Разделим обе части на 5:
/5cosx =1
Т. к. (4/5)2 +(3/5)2 = 1, то пусть
4/5 = sinφ; 3/5=cosφ, где 0< φ<π/2, тогда
sinφsinx + cosφcosx = 1
cos(x-φ) = 1
x-φ= 2πn, n € Z
x = 2πn + φ, n € Z
φ = arccos3/5, значит, x = arcos 3/5 +2πn, n € Z/
Ответ: arccos3/5 + 2πn, n € Z
3) Решение уравнений с применением формул понижения степени: 6sin2x + 2sin22x = 5
4) Применение формул двойного и тройного аргументов.
III этап урока (4 минут). Выполнение тестового задания.
Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.
После ответа учащихся на экран проектируются задание. Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.
Задание на проекторе.
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
Приведение к квадратному.
Приведение к однородному.
Разложение на множители.
Понижение степени.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Бланк ответов. (Приложение 1)
IV этап урока (5 минут). Повторение формул для решения уравнений.
Проговорите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
Формулы корней тригонометрических уравнений. (Приложение 2)
V этап урока (5 минут). Устная работа по решению простейших задач на тему: «Тригонометрические уравнения».
Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»
Решить уравнения.
sin x = 0 cos x = 1 tg x = 0 ctg x = 1 sin x = -1/2 sin x = 1 cos x = 1/2 sin x = -√3/2 cos x = √2/2 sin x = √2/2 cos x = √3/2 tg x = √3 sin x = 1/2 sin x = -1 cos x = -1/2 sin x = √3/2 tg x = -√3 ctg x = √3/3 tg x = -√3/3 ctg x = -√3 cos x – 1 =0 2 sin x – 1 =0 2ctg x + √3 = 0
VI этап урока (15 минут). Разноуровневая самостоятельная работа.
Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут. Учителем подготовлены карточки трех цветов для удобства ориентации по уровням сложности.
Учащимся 1-й группы учитель выдал зеленые карточки с задачами повышенного уровня сложности в 4-х вариантах.
Для учащихся 2-й группы учитель выдал розовые карточки в 4-х вариантах с разнообразными заданиями базового уровня сложности.
Для учащихся 3-й группы учителем составлены желтые карточки в 4-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 3-й группы - это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они будут выполнять задания под контролем учителя.
Все варианты содержат два вычислительных задания и четыре задания на рассмотренную на уроке тему.
Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.
VII этап урока (3 минуты). Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.
В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из предыдущей краевой контрольной работы.
Используемая литература:
А.Н. Колмогоров. «Алгебра и начала анализа 10-11».- М.: Просвещение, 2003г.
А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа».Учебник - М.: Мнемозина, 2003г.
А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа». Задачник – М.: Мнемозина, 2003г.
Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.Н. Белая, Г.Н.Ларкин. «Тестовые задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень». Под редакцией Е.А. Семенко. - Краснодар: «Просвещение – Юг», 2005г.
Е.А. Семенко, С.Л.Крупецкий, М.В.Фоменко, Г.Н.Ларкин. «Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ- 2008 по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. - Краснодар: «Просвещение – Юг», 2008г.
Е.А. Семенко, М.В.Фоменко. «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. - Краснодар: «Мир Кубани», 2007г. Часть 2.
Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.С.Янушпольская, Г.Н.Ларкин. «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. - Краснодар: «Мир Кубани», 2006г. Часть 3.
Е.А. Семенко, И.В.Васильева и др. «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. - Краснодар: «Просвещение – Юг», 2006г. Часть 1.
М.И. Сканави. «Сборник задач по математике для поступающих в ВТУЗы», М.: Высшая школа, 1997г.