Решение иррациональных уравнений

• возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11 кл.;
• повторить основные теоретические понятия;
• закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
• закрепить нестандартные способы решения иррациональных уравнений;
• развивать самостоятельность и ответственность ученика за результаты своей деятельности.

Тип урока: обобщающий

Методы и средства: фронтальный опрос, беседа, самостоятельная работа, самоконтроль, разноуровневые задания.

Технологии: разноуровневого обучения, информационные.

Оборудование: компьютер, УМК

Структура урока:

1. Организация начала урока.
2. Проверка выполнения домашнего задания.
3. Обобщение знаний и способов деятельности.
4. Контроль и самопроверка.
5. Подведение итогов урока.

II. Проверка домашнего задания.

III. Повторение и обобщение теоретического материала

1. Определение. Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, принято называть иррациональным. Например,=х,

2. Методы решения иррациональных уравнений.

Возведение в степень.

Наиболее распространённый случай – возведение обеих частей уравнения в квадрат. Уравнение f(x)=g(x), вообще говоря, неравносильно уравнению f²(x)=g² (x).

То есть решая уравнение f²(x)=g² (x), мы находим корни двух уравнений f(x)=g(x) и f(x)=-g(x). Значит, уравнение f² (x)=g² (x) является следствием уравнений f(x)=g(x) и f(x)=-g(x).Это означает, что среди корней уравнения f² (x)=g² (x) содержатся все корни уравнения f(x)=g(x), но могут оказаться корни, посторонние для этого уравнения.

То есть если при решении уравнения используется возведение в квадрат, то необходимо делать проверку или рассматривать дополнительные условия, при которых уравнения f(x)=g(x) и f² (x)=g² (x) равносильны.

Пример1. Решите уравнение

Решение: Возведём исходное уравнение в квадрат. Получим: х² +5х +1=(2х-1)² 3х² -9х=0 х₁ =0, х₂ =3

Выполним проверку:

1. х=0, тогда =-1, что неверно – корень посторонний;
2. х=3, тогда =2·3 – 1, откуда =5, что верно. Ответ: 3

Решите уравнение =8 –х

Решение. Пусть t= , тогда исходное уравнение равносильно:

t=6-t² t² + t -6 =0 t = 2

t t

Следовательно, =2. Ответ: 6

Решите уравнение: Пусть f(x)=. Заметим, что эта функция возрастающая на своей области определения. Известно, что возрастающая функция принимает каждое из своих значений только при одном значении аргумента, а следовательно, имеет не более одного корня:

f (+1=. Следовательно, - единственный корень уравнения.

Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.

Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на выражение

После преобразования уравнение примет вид , х =0 корень уравнения. Теперь решим уравнение . Почленно сложив это уравнение с данным, придём к уравнению: 2

Решая это уравнение методом возведения в квадрат, получим х₂=4; х₃ =-4, но -4 посторонний корень. Ответ: 0; 4.

Проверочная работа (разноуровневые задания)

Открыть УМК»Все задачи школьной математики». Алгебра 10-11кл. В оглавлении выбрать раздел «Степень с рациональным показателем» и выбрать темы «Уравнения с двумя и больше знаками корня», «Уравнения вида «корень равен функции», «Уравнения вида «корень равен числу». Учащиеся самостоятельно выбирают уровень сложности «0», «В», «С» или «Д».

V. Подведение итогов урока. Выставление оценок за проверочную работу.

Используемая литература.

1. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики». Педагогический университет «Первое сентября», 2006 г.
2. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл, 2008 г.