Элективное занятие в 9-м классе по теме "Решение квадратных уравнений с параметрами"

Разделы: Математика

Цель: повышение математической культуры учащихся в рамках школьной программы.

Задачи:
  1. повторение теоретических вопросов по решению квадратных уравнений;
  2. сочетание геометрической модели и аналитической (системы неравенств) при решении квадратных уравнений с параметрами.

Приложение: рисунки к занятию.

Ход занятия

I. Организационный момент: цели и задачи занятия, исходная мотивация.

II. Актуализация знаний учащихся:

1.

– возьмём два равных числа: а=b

– умножим обе части равенства на а: а2=аb

- вычтем из обеих частей b2:

a2-b2=ab-b2

(a-b)(a+b)=b(a-b)

a+b=b

a+a=b

2a=b

a=b/2,

т.е. любое число равно его половине.

Где допущена ошибка?

III. Актуализация ранее изученного материала (решение линейных уравнений с параметрами):

а2х-а=х+1

а2х-х=а+1

х(а2-1)=а+1

  1. а2-1≠0
    а≠±1


  2. а=1 х*0=2
    0=2 – неверное равенство,решений нет

  3. а=-1 х*0=0
    0=0 – верно при х є R.

Ответ: при а≠±1 - единственное решение ; при а=1 - уравнение не имеет решений; при а=-1 - уравнение имеет бесконечно много решений.

IV. Практика под руководством учителя (работа с перфокартами):

I в II в

  1. Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет:
    2х2+5х-7=0
    4х2+4х+1=0

    1. один корень

    2. нет корней

    3. два корня

    4. бесконечно много корней

  2. Решить квадратное уравнение:
    х2-6х+8=0
    х2+6х+8=0

    1. 2 и 4

    2. -2 и 4

    3. 2 и -4

    4. -2 и -4

  3. Найти сумму и произведение корней уравнения:
    х2-2х-35=0
    х2-4х+3=0

    1. -2 и -35

    2. 2 и -35

    3. -4 и 3

    4. 4 и 3

  4. При каком значении k уравнение:
    х2+kx-24=0
    х2+kx+15=0
    будет иметь корень, равный 3
    будет иметь корень, равный 5

    1. -5

    2. 8

    3. 5

    4. -8

V. Знакомство с новым материалом:

1. Дано уравнение (k-2)x2+2(k-1)x+k-3=0. При каких значениях k уравнение имеет:

  1. два равных корня?

  2. не имеет корней?

Решение:

  1. k-2=0
    k=2
    0x2+2x-1=0
    2x=1
    x=1/2 – один корень

  2. k≠2 , квадратное уравнение


    - два равных корня,
    - не имеет корней.

Ответ: - два равных корня; - не имеет корней.

2. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а+1)х+а2+а-6=0 имеет:

  1. корни разных знаков?

  2. два положительных корня?

Решение:

х1+х2=2а+1,
х1х2=а2+а-6

  1. х1<0, х2>0,
    то а2+а-6<0
    а2+а-6=0
    а1=-3 а2=2
    -3<а<2


  2.  

Ответ: при -3<а<2 - корни разных знаков, при а>2 - два положительных корня.

3. Решите уравнение х2-bx+4=0

Решение:

D=b2-16=(b-4)(b+4)

  1. D>0

  2. D=0

  3. D<0
    -4<b<4
    уравнение корней не имеет

Ответ: при b<-4 или b>4 – два корня: , , при b=-4 или b=4 – единственный корень: , при -4<b<4 – уравнение корней не имеет.

VI. Презентация нового материала (составление сводной таблицы для решения уравнений с параметром):

(оба корня отрицательные)

(оба корня меньше числа с)

 

(оба корня положительные)

 

(оба корня больше числа с)

(число с между корнямиуравнения)

VII. Закрепление изученного материала:

1. При каких значениях а оба корня уравнения 4х2-2х+а=0 принадлежат промежутку (1;3)?

Решение:

Если два корня принадлежат промежутку (1;3), то должны выполняться условия:

 

Такого числа а не существует.

2. При каких значениях а уравнение х2-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два положительных корня?

Решение:

 

Ответ: .

3. При каких значениях а уравнение х2-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два отрицательных корня?

Решение:

Ответ: .

4. При каких значениях а уравнение х2-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два корня, каждый из которых больше 1?

Решение:

 

Ответ: .

VIII. Групповая работа:

1 группа:

  1. При каких значениях а уравнение х2-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два положительных корня?

2 группа:

  1. При каких значениях а уравнение х2-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два корня, каждый из которых больше 1?

3 группа:

  1. При каких значениях а уравнение х2-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два отрицательных корня?

для слабых учащихся:

( разным буквам соответствуют разные цифры )

IX. Домашнее задание:

1. При каких значениях а оба корня уравнения х2-ах-1=0 меньше 3?

Ответ: при .

2. При каких значениях а уравнение ах2-(а2+3)х+2=0 имеет корни разных знаков?

Ответ: .

3. Определить а так, чтобы один из корней был квадратом другого.

Ответ: .