Цели:
- Изучить основные понятия и правила темы "Системы счисления. Единицы информации".
- Научиться кодировать числа в различных системах счисления, производить арифметические операции с двоичными числами.
Классификация систем счисления
Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Позиционные системы характеризуются определенным алфавитом цифр и основанием. Основание равно количеству цифр в алфавите.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции цифры в числе.
Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа. Разряд числа возрастает от младших разрядов к старшим справа налево. Например, десятичное число 2005 является четырехразрядным.
Разряды нумеруются справа налево и каждому разряду соответствует степень основания: единицам - 0, десяткам- 1, сотням -2, тысячам -3 и т.д.
В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в числе:
Например: ХХХ (30).
Величина числа в этом случае определяется как сумма или разность цифр в числе: если меньшая цифра располагается слева от большей, то из большей вычитается меньшая цифра, если меньшая цифра располагается справа от большей, то к большей прибавляется меньшая.
Пример. IХ=10-1=910, ХIII = 10+1+1+1=1310, ХХV= 10+10+5=2510,
МСМХСVIII = 1000+ (1000-100) + (100-10) + 1 +1+1 = 1998
Наиболее распространены позиционные системы: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
| Система счисления | Основание | Алфавит цифр |
| Позиционные системы счисления | ||
| Десятичная | 10 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
| Двоичная | 2 | 0,1 |
| Восьмеричная | 8 | 0,1,2,3,4,5,6,7 |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Е,F |
| Непозиционная система счисления | ||
| Римская | I (1), V (5), Х (10), L (50), | |
| С(100), D (500), М (1000) | ||
Пример. Сокращенная форма записи десятичного числа: 243810.
Полная запись десятичного числа: 243810=2000+400+30+8 = 2438
Задание для самопроверки
Представить полную запись десятичных чисел 24710, 3710.
(Ответ: 247=2*102+4*101+7*100=200+40+7, 37=3*101+7*100=30+7)
Кодирование - представление букв (символов) одного алфавита символами другого.
Запись числа 2710 в двоичной системе счисления: 2710=110112 1*24+1*23+0*22+1*21+1*20
Перевод десятичных чисел в двоичную форму
Правило. Для перевода десятичного числа в двоичную форму необходимо данное число разделить на 2. Записать целую часть и остаток (в скобках: 0 или 1). Получившуюся целую часть снова разделить на 2 и записать результат в виде целой части и остатка. Производить деление до тех пор, пока целая часть не станет равной 0. Двоичное число записать в обратном порядке из остатков от деления (снизу вверх).
Пример: представить десятичное число 1810 в двоичном виде (в двоичной системе счисления):
18 : 2 = 9 (0)
9 : 2 = 4 (1)
4 : 2 = 2 (0)
2 : 2 = 1 (0)
1 : 2 = 0 (1)
Проверка:
| 1 | 0 | 0 | 1 | 02 | = 1*24+0*23+0*22+1*21+0*20=16+0+0+2+0=1810 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | - показатель степени (разряды цифр), в которую возводится основание двоичной системы счисления |
Задание для самопроверки
Перевести числа 27 и 38 из десятичной в двоичную систему счисления. Выполнить проверку.
Ответ:
| Десятичная запись числа | Двоичная запись числа | Проверка |
| 2710 | 110112 | 1*24+1*23+0*22+1*21+1*20=2710 |
| 3810 | 1001102 | 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20=3710 |
Четность двоичных чисел
Правило. Если в записи числа последний бит 1, то это число - нечетное (101011), если 0 - то четное (10110).
Максимальное число, которое можно представить одним байтом 11111111 - 255.
1+2+4+8+16+32+64+128 =255
Использование двоичного кодирования
Цифры являются различными состояниями, которые должен уметь записать, хранить и распознать пользователь системы счисления. Людям удобно использовать 10 цифр. Чем меньше основание, тем быстрее растет разрядность числа. Человеку трудно воспринимать многоразрядные числа, для ЭВМ это не имеет большого значения, т.к. за один такт работы процессор обрабатывает до 64 двоичных разрядов.
Для представления в ЭВМ, преимущественное распространение получила двоичная система счисления: кодирование с помощью сигналов 2-х видов: намагничено или не намагничено; включено или выключено; высокое или низкое напряжение и т.д. Одно состояние обозначают символом (цифрой) -1, а другое - 0 (двоичный алфавит из двух символов). Таким образом, используется двоичное кодирование с помощью величины, способной принимать лишь 2 различных значения 1 или 0 - бит (от английского слова bit - binary digit - двоичная цифра).
При двоичном кодировании текстовой информации каждому символу сопоставляется последовательность фиксированного числа 0 и 1. В большинстве, современных ЭВМ каждому символу соответствует последовательность из восьми 0 и 1, называемая байтом.
1 байт может принимать 28=256 различных значений.
Для представления больших чисел используют двух-, четырех- и более - байтную конструкцию.
В памяти машины любое число должно быть представлен целым числом байт.
Преимущества и недостатки двоичной системы счисления
Электронные элементы могут находиться только в двух хорошо устойчивых состояниях, что позволяет легко реализовать с помощью электронных схем.
Для представления информации вне ЭВМ применять двоичную систему с ее громоздкой записью неудобно. Часто используется восьмеричная и шестнадцатеричная система.
Кодирование графической информации
Фотографии 10х10см состоят из 60 тыс. точек. Если точки черные и белые, то каждую можно закодировать одним битом, а всю фотографию - последовательностью из 60 тыс. битов. Два бита кодируют 4 оттенка: 00 - белый цвет , 01- светло-серый, 10 - темно-серый, 11 - черный. Три бита - восемь (23) оттенков и т.д.
Единицы измерения информации
При "объемном" или "техническом" способе измерения количества информации подсчитывается количество битов (или байт) в сообщении.
Например, в сообщении Десятичная система счисления 28 символов, включая пробелы, т.е. 28 байт. 1 байт = 8 бит, следовательно, 28*8= 224 бит.
Например. Информационный объем заполненной текстом страницы учебника составляет 50 строк по 60 знаков (60 байт) = 3000 байт (3 Кбайт), всего учебника - 0,5 Мбайта текста. Информационный объем Большой Советской Энциклопедии равен 120 Мбайт.
Задание для самопроверки
Подсчитать информационный объем в сообщении: Ученье - свет.
(Ответ: в сообщении 13 символов, включая пробелы и точку. 13 байт*8 = 104 бит)
Рассмотреть таблицу единиц измерения информации.
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
1 Кбит (один килобит)= 210 бит = 1024 бит (примерно 1000 бит)
1 Мбит (один мегабит)= 220 бит = 1048576 бит (1 млн. бит)
1 Гбит (один гигабит)= 230 бит = 109 бит
1 Кбайт (один килобайт)= 210 байт = 1024 байт (примерно 1000 байт)
1 Мбайт (один мегабайт)= 220 байт = 1048576 байт (1 млн. байт)
1 Гбайт (один гигабайт)= 230 байт = 109 байт (1 млрд. байт)
Восьмеричные и шестнадцатеричные числа
Перевод числа из восьмеричной системы в десятичную:
6758 = 6 * 82 + 7 * 81 + 5 * 80 = 6 * 64 + 7 * 8 + 5 * 1 = 44510
Перевод числа из шестнадцатеричной системы в десятичную:
19F16 = 1 * 162 + 9 *161 + F * 160 = 256 + 144 + 15 = 41510
(Примечание: F16=1510)
Представление чисел в различных системах счисления
| Десятичное число | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Восьмеричное | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| Двоичное | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| Шестнадцатеричное | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Задание для самопроверки
а) Перевести число 3768 из восьмеричной системы счисления в десятичную.
(Ответ: 3768 = 25410)
б) Перевести число 37616 из шестнадцатеричной системы в десятичную.
(Ответ: 37616=88610)
в) Выполнить перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную 6810, 2910 с проверкой.
(Ответ: 6810=10001002, 2910=111012)
Перевод дробной части десятичного числа в двоичную систему счисления
Правило. Для перевода дробной части (или числа, у которого "0" целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной.
Целая часть двоичного числа переводится в десятичную форму отдельно.
Записать целую часть, отделить запятой, записать целую часть от произведения сверху вниз.
Например:
0,73 * 2= 1,46 (целая часть 1),
0,46 * 2 = 0,92 (целая часть 0),
0,92 * 2 = 1,84 (целая часть 1),
0,84* 2= 1,68 (целая часть 1) и т.д.
В итоге получится 0,7310 = 0,1011...2
Задание для самопроверки
Перевести в двоичную систему счисления числа: 1) 0,2610; 2) 35,7510; 3) 127,9110
| Ответ: | 0,2610=0,01000012 | 35,7510=100011,112 | 127,9110=1111111,111012 |
Арифметические операции над двоичными числами
Правила:
| Сложение | Вычитание | Произведение | Деление |
| 0+0=0 | 0-0=0 | 0*0=0 | При делении используются правила вычитания |
| 0+1=1 | 1-0=1 | 0*1=0 | |
| 1+0=1 | 10-1=1 | 1*0=0 | |
| 1+1=10 | 1*1=1 |
Примеры арифметических операций:
Сложение Вычитание
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | ||||
| + | 1 | 1 | 1 | - | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Сложение | Вычитание | Произведение | Деление | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||||||
| + | 1 | 0 | 1 | 1 | - | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | * | 1 | 0 | 1 | - | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | + | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |||||||||||||
| + | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание для самопроверки
| Выполнить действия над числами в двоичной системе счисления с проверкой | |||
| 1101+101 | 1001+111 | 11100+111 | 110110+110 |
| 10100:101 | 1001:11 | 11100:111 | 110110:110 |
| Ответ (проверку выполнить самостоятельно) | |||
| 10010 | 10000 | 100011 | 111100 |
| 100 | 11 | 100 | 1001 |
Самостоятельная работа (по вариантам)
| I | II | III | IV |
| Задание 1. Выполнить перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления | |||
| 0,561 | 0,91 | 0,28 | 0,475 |
| 25,45 | 37,25 | 59,195 | 19,55 |
| Задание 2. Выполнить действия над числами в двоичной системе счисления с проверкой | |||
| 11001-111 | 110001-1010 | 111000-10001 | 110110- 10011 |
| 11001: 101 | 110001:111 | 111000: 1000 | 110110: 1001 |
Домашнее задание:
Выполнить арифметические операции в двоичной системе счисления:
6410: 810;
2910+4210;
4210-2910.