Метод размерностей при обучении физике

В физике... нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. Э. Ферми

Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.

При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.

Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.

Вот некоторые достоинства и приложения метода размерностей:

• быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;
• получение качественных и функциональных зависимостей;
• восстановление забытых формул на экзаменах;
• выполнение некоторых заданий ЕГЭ;
• осуществление проверки правильности решения задач.

Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).

• Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:

Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r_v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.

Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м²). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м² является kT/² ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:

где k – постоянная Больцмана.

Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.

• Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.

Рисунок 1

Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.

Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: . Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.

Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.

(1)

Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.

Левая и правая части соотношения (1) имеют одинаковые размерности. Размерности величин v, F, m и s таковы: [v] = м/c = мc^-1, [F] = H = кгмс^-2, [m] = кг, [s] = м. (Символ [A] обозначает размерность величины A.) Запишем равенство размерностей в левой и правой частях соотношения (1):

м c^-1 = кг^x м^x c^-2x кг^y м^Z = кг^x+y м^x+zc^-2x.

В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.

Это значит, что

x+y = 0

Справа метры входят в степени x+z, а слева - в степени 1, поэтому

x+z = 1

Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует

-2x = -1

Из полученных уравнений находим числа x, y, z:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

Окончательная формула имеет вид

Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что

Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.

Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение v²/s прямо пропорционально отношению F/m. Например, два тела с разными массами m₁ и m₂; будем действовать на них разными силами F₁ и F₂ , но таким образом, что отношения F₁ / m₁ и F₂ / m₂ будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начнут двигаться. Если начальные скорости равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины s, будут равны. Это и есть закон подобия, к которому мы пришли с помощью идеи о равенстве размерностей правой и левой частей формулы, описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.

Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.

В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.

• Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.

Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.

Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:

F^XM^Y1^Z (2)

Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.

Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:

[] = c^-1 , [F] = кгм с^-2, [M] = кг, [1] = м.

Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство

с^-1 = кг^x  м^x c^-2x кг^yм^z= кг ^{x + y} м ^{x + z} c^-2x

В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Решая эту систему, находим:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Следовательно,

~F^1/2M^-1/21^-1/2

Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз (² = 2F/(M1)).

Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.

• При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.

Ответ ищем в виде:

u= C^xp^y     (1)

где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.

м/c = (кг/м³)^x Па^y ,

м/с = (кг/м³)^x(кг м/(с²м²))^y_,

м¹с^-1 = кг^xм^-3xкг^yм^yc^-2yм^-2y,

м¹с^-1 = кг^x+yм^{-3x + y-2y}c^-2y,

м¹с^-1 = кг^x+yм^-3x-yc^-2y.

Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Таким образом, скорость звука в газе

(2)

Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.

Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.

Повторяя данный материал в 11-м классе, внимание учащихся обращается на то, что результат (2) можно получить для модели изотермического процесса распространения звука с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона и понятия плотности:

RT (3)

RT (4)

– скорость распространения звука.

(5)

• Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.

Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .

Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:

,

,

,

,

Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:

Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:

- отсюда следует

Ранее было сказано, что С – безразмерный множитель, числовое значение которого из метода размерности определить нельзя.

• Рассмотрим другое применение метода размерности. Если в ответах к заданиям встречаются одни и те же физические величины в различных выражениях, расположенные произвольно, то ответ можно выбрать путем проверки единиц измерений. Приведем подобные примеры.

1. Электрон с зарядом влетел в магнитное поле со скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля и стал двигаться по окружности радиуса R. Какое выражение соответствует модулю вектора магнитной индукции магнитного поля?

А)   Б)   В)   Г)

А) - не подходит; (формулы автором не представлены!!!)

Б) - не подходит;

В) .

Ответ: В

2. Спутник планеты массой М движется по круговой орбите радиуса R. Какова скорость движения спутника?

А) , Б) , В) , Г), Д)

Спутник движется по окружности —>, а .

Проверим единицы измерения в В):

.

Ответ: В

• В отдельных случаях единицы измерения в ответах соответствуют единицам измерения искомой величины, однако, ответ в задании верный лишь один. Тогда следует обратиться к иным способам отыскивания этой величины.

Рассмотрим тестовое решение нижеизложенной задачи.

3. Шарик массой , подвешенный на нити, длинной , вращается по окружности радиусом , в горизонтальной плоскости с угловой скоростью . Какова сила натяжения нити?

Рисунок 2. Cхема движения маятника

А) ;

Б) ;

В)

Г)

Анализ условия: ответ Г – быть не может, т.к. , а не сила. По единицам измерения ответы А и Б возможны, однако, направлены не по силе натяжения нити:

Из заштрихованного треугольника видно, что

Ответ: В).

Это мы воспользовались методом размерности.

Метод размерностей кроме осуществления традиционной проверки правильности решения задач, выполнения некоторых заданий ЕГЭ, помогает находить функциональные зависимости между различными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Таких зависимостей в природе много, и метод размерностей - хороший помощник при решении подобных задач.

Авторский вариант (Приложение)