I. Введение.
1.1. Все ли мы узнали о четырехугольниках?
Изучая тему "Четырехугольники", мы познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки, научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается, объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма. Решая задачи, мы учились применять полученные знания. Казалось, я знаю все: задачи мне были подвластны, трудностей нет. Однако одна из задач не то, чтобы вызвала у меня затруднения, но очень меня заинтересовала.
№425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян)
Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
1.2 Немного из истории...
Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.
В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.
"ТРАПЕЦИЯ" - слово греческое, означавшее в древности "столик" (по-гречески "трапедзион" означает столик, обеденный столик). В "Началах" термин "трапеция" применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырёхугольник (не параллелограмм). "Трапеция" в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония. Лишь в XVIII веке это слово приобретает современный смысл.
Предположение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе- Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было также известно вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского.
Термин "КВАДРАТ" происходит от латинского "квадратум" ("Квадрате" - сделать четырёхугольным). Первый четырёхугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат.
Вычислением площадей фигур занимались ещё в древности. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. А в древнем Китае мерой площади был прямоугольник.
Древние египтяне пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника и трапеции: для трапеций сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (рис.1)
применялась формула 
, т.е. умножались полусуммы
противоположных сторон. Эта формула верна только
для прямоугольника. С её помощью можно вычислить
приближённо площадь таких четырёхугольников, у
которых углы близки к прямым.
В своих "Началах" Евклид не употреблял слово "площадь", так как он под самим словом "фигура" понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой.
Слово "РОМБ", как и параллелограмм, греческого происхождения, оно означает вращающееся тело. В "Началах" Евклида термин "ромб" встречается только один раз в определениях, свойства ромба вообще не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырёхугольным.
В полученных мною сведениях нигде не встретилось упоминания о биссектрисах параллелограмма.
II. Основная часть
2.1 Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма
Я попыталась подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводила в них биссектрисы, анализировала рисунки и пыталась сделать выводы. Так же я использовала бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы параллелограмма без транспортира.
Свойства биссектрис параллелограмма.
- Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны
- Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.
Доказательства этих свойств я оформила в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация)
Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, я увидела, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство.
А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи.
Формулировки некоторых из этих свойств я встретила позднее в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе.
В книге И.Шарыгина "Математика для поступающих в ВУЗы" я познакомилась еще с одним свойством и его доказательством (стр.176):
Площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами параллелограмма, со сторонами a и b и углом ? , равна 1/2 (a-b)2sin ?.
Так же я встретилась с понятием "биссектриса внешнего угла параллелограмма" и свойства этих биссектрис. Они сформулированы в виде задач и приведены в разделе "Задачи".
III. Практическая часть.
При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много? За разъяснениями я обратилась к учителю математики Никитиной Г.И.
Введение в школьный курс новой формы экзамена, в форме ЕГЭ, приводит к тому , что у учащихся должно формироваться целостное представление о математике. Применить свои знания учащимся необходимо по двум предметам: алгебре и началам анализа и геометрии. Однако при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии и стереометрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной и старшей школы. Решение задач требует комплексного применения 2 - 3 геометрических фактов , свойств из разных разделов курса.
Кроме того задания, которые используются и на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, состоят из задач в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Проанализировав решение задач ЕГЭ, можно сказать, что в школе очень многое изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или теорему. Анализ решений задач привел к необходимости анализа школьных учебников и по такому аспекту, как построение теоретического материала. Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.
Так в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна приведена задача на выявление 1 свойства: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
Аналогичная задача приведена в учебнике под редакцией А.В. Погорелова.
На формулировку 2 свойства в учебнике под ред. Л.С. Атанасяна приведена задача на доказательство: в параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
В учебнике под редакцией А.В. Погорелова не приводятся задачи на применение этого свойства.
Аналогичная ситуация складывается и при подготовке к экзамену по геометрии в новой форме в 9 классе. Задачи на применение свойств биссектрисы параллелограмма в основном предлагаются во второй части работы.
Учитывая эти слова, я сделала следующее:
- составила ряд несложных заданий для устного решения, которые предложила своим одноклассникам;
- самостоятельно составила тестовую работу по теме "Биссектрисы параллелограмма";
- сделала подборку задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий;
- решила самостоятельно те задачи, которые смогла, а более трудные попросила решить учеников 11 класса: им это тоже необходимо при подготовке к ЕГЭ.
Далее я провела эксперимент. Предложила ряд задач ученикам 9 класса. В основном они затруднились в решении их, так как не владели данными знаниями, а пытались каждый раз сначала доказать очевидные для меня теперь свойства. Я познакомила их с содержанием теоретической части моей работы и
- несколько задач мы решили вместе. Затем я предложила им выполнить тестовую работу, которую составила сама. Результаты ее выполнения следующие:
- выполнили полностью правильно - 7 чел. (63%)
- сделали 8 заданий из 11 правильно - 3 чел. (27%)
- сделали 5 заданий правильно - 1 чел. (9%).
Проделанная работа убедила меня в необходимости изучения данного вопроса более глубоко, чем это предложено в учебнике.
IV. Заключение.
Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидела необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сама сформулировала, доказала свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим мне при подготовке к экзамену по геометрии. Буду рада, если другие ребята воспользуются им.
Список литературы:
- Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 Учебник для общеобразоват.учреждений М..2002.
- Безрукова Г.К. Геометрия. Тематические тренировочные задания ГИА 2009 М.,2009.
- Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1983.
- Денищева Л.О. ЕГЭ Универсальные материалы для подготовки учащихся М.2009.
- Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ - 2009 Изд-во "Легион" 2009.
- Свечников А. Путешествие в историю математики М., 1995.
- Шарыгин И. Математика для поступающих в ВУЗы 1995.
- Сборники олимпиадных заданий.