Урок по теме "Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения векторов"

Шевченко Тамара Николаевна

Цели урока:

Проверить и закрепить знания, полученные по темам «Правило Крамера» и «Метод Гаусса» для решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными;
Повторить необходимый материал из геометрии для усвоения нового типа систем и метода их решения;
Провести исследовательскую работу на этапе обобщения темы.

Ход урока

1. Организационный момент.

«Не мыслям учить надо, а мыслить» (Кант).

«Кто мало думает, много ошибается» (Леонардо да Винчи).

Последуем этим полезным советам: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро вам пригодятся.

Перед нами стоит задача: повторить методы и способы решения линейных систем уравнений с двумя и тремя переменными и усвоить новый тип систем с тремя переменными.

2. Устный опрос.

Проводится в форме фронтальной работы с классом. Проверяются теоретические знания. Умение их применять будет проверено на следующем этапе урока.

Перечень вопросов:

а) какие системы называются совместными?

б) что называется решением системы с двумя переменными?

в) геометрическая интерпретация решения системы с двумя переменными;

г) перечислить известные методы решения линейных систем с двумя переменными;

д) сформулировать правило Крамера;

е) как составляются определители ∆, ∆х, ∆у?

ж) перечислить условия, при которых система:

имеет единственное решение,
не имеет решения,
имеет бесконечное множество решений;

з) приведение системы к треугольному виду с помощью метода Гаусса.

3. Решение систем.

На доске записать две системы:

С обратной стороны доски эти же системы записаны для учеников, которые вызываются учителем. По окончании решения они должны прокомментировать основные этапы решения.

Так как скорость выполнения заданий различна, то записывается на доске еще одно задание:

Найти значения параметра m, при которых система имеет решение, удовлетворяющее х > 1 и у < 1.

Первые два задания проверяются учащимися с помощью решения, записанного на обратной стороне доски. Третье проверяется учителем, так как его успевает выполнить только часть класса.

4. Повторение.

(В домашнее задание были включены теоретические вопросы, связанные со скалярным произведением двух ненулевых векторов).

Слово учителя. Алгебра обычно оказывает помощь физике, биологии, химии, геометрии и почти всем другим школьным дисциплинам. А сегодня на уроке алгебры нашей помощницей будет геометрия. Сделаем краткую запись ответов на следующие вопросы.

Тетрадный лист делится на две части, в левой части появляются записи, сформулированные самими же учащимися.

Приложение 1

1) Пример 2 (Первичное закрепление). У доски работает ученик.

Решение системы проходит с комментариями. Рабочими уравнениями будут (1) и (2), так как их достаточно, чтобы решить систему предыдущим способом:

уравнение – скалярное произведение и
уравнение выражает квадрат длины .

Итак, пусть {3х ;3у ;3z}; {1; 1; 1}.

= ; ; = 9; (см. (1))

=> => х = у = z,

подставляя в (1) получаем: ; х = 1, т.о. х = 1; у = 1;z = 1.

Проверим является ли тройка (1;1;1) решением системы?

Для этого осуществляем подстановку в (3) уравнение и убеждаемся, что (1;1;1) - решение системы.

Ответ: (1;1;1).

2) Работа с учебником (Виленкин,11).

Найти задание № 3 стр. 148

Задание учащимся: разобраться, почему система, которую можно решить, используя скалярное произведение, вместо единственного решения имеет бесконечное множество решений.

Поиск пошел по пути определения и , как в примере 1 и 2, т.е. учащиеся ввели:

{x; y; z}, {1; 1; 1}

; = ; , т.е. < система имеет бесконечное множество решений.

3) А раз есть случаи единственного и бесконечного множества решений, должен существовать и случай, когда система несовместна.

Как вы думаете, когда?

Ответ учащихся: «Если окажется, что >, чего не может быть по определению скалярного произведения».

4) Таким образом можно сформулировать алгоритм решения систем с помощью скалярного произведения (формулируют учащиеся).

5. Самостоятельная работа (с самопроверкой в классе).

Показать, что система несовместна.

Решение.

Пусть {5x6; 4y4; 3z2},

;

т.к. = ; = < , то > и система несовместна.

Для самопроверки на обратной доске сделаны записи координат векторов и , что является наиболее сложным в этом примере, а также проведено сравнение величины с .