Объяснительная записка
Появление спецкурса “Геометрия окружностей и сфер” вызвано желанием представить в связном изложении и с некоторой полнотой интересные и особенно увлекательные методы и теории решения геометрических задач на построение.
Задачи на построение представляют прекрасное средство для развития логического и ассоциативного мышления, изобретательности, инициативы, конструктивных способностей.
Изложение материала начинается с геометрии окружностей. Геометрия окружностей занимает видное место в курсе элементарной геометрии. Когда говорят о “геометрии окружностей”, то имеют в виду не теоремы об окружностях вообще, а определенную группу теорем о свойствах семейств окружностей и преобразованиях, связанных с окружностями. Затем аналогично излагается геометрия сфер. Вся теория геометрии окружностей и сфер применяется к решению задач на построение.
Учебно-воспитательный процесс должен строиться с учетом возрастных возможностей и потребностей учащихся.
Учащиеся должны усвоить, прежде всего, что хорошо заученные знания еще не знания, их необходимо самостоятельно продумать, осмыслить, сделать орудием дальнейшего познания. В спецкурсе должны быть установлены связи со школьным курсом математики. При этом лекции и практические занятия должны быть построены так, чтобы они опирались на уже имеющиеся у учащихся знания и в то же время расширяли и углубляли их. Этим самым учащиеся приучаются как бы сверху смотреть на материал школьного курса и лучше разбираться в его содержании.
Спецкурс должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Именно поэтому целесообразно изложить геометрию сфер аналогично геометрии окружностей после изучения последней. Это даст возможность проводить глубокие сравнения, широкие обобщения, выдвигать гипотезы и предложения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее родственный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже, и его знания становятся более прочными и осмысленными.
Содержание обучения
Геометрия окружностей
Окружность. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.
Пучки окружностей. Эллиптический пучок окружностей. Параболический пучок окружностей. Гиперболический пучок окружностей. Применение пучков окружностей к задачам на построение.
Нулевые окружности и ортогональные траектории.
Связки окружностей. Эллиптические связки окружностей. Параболические связки окружностей. Гиперболические связки окружностей. Применение связок окружностей к задачам на построение.
Пучок окружностей, диаметрально пересекающих две данные окружности.
Преобразование подобия. Гомотетия. Три попарно гомотетичные фигуры. Ось подобия. Центры и оси подобия окружностей. Применение гомотетии к задачам на построение.
Окружности, касающиеся двух данных окружностей. Антигомотетические точки двух окружностей. Общая степень двух окружностей. Применение свойств окружностей, касающихся двух данных окружностей, к решению задач.
Задача Аполлония.
Инверсия. Свойства инверсии. Применение инверсии к задачам на построение.
Геометрия сфер
Сфера. Степень точки относительно сферы.
Радикальная плоскость двух сфер. Свойства радикальной плоскости. Радикальная ось трех сфер. Радикальный центр четырех сфер.
Пучки сфер. Применение пучков сфер к задачам на построение.
Гомотетия. Свойства гомотетии. Ось подобия. Плоскость подобия. Центры и оси подобия сфер. Применение гомотетии к задачам на построение.
Сферы, касающиеся данных сфер. Антигомотетические точки двух сфер. Общая степень двух сфер. Применение свойств сфер, касающихся двух данных, к решению задач.
Задача Ферма.
Инверсия. Свойства инверсии. Применение инверсии к задачам на построение.
В результате изучения спецкурса учащиеся должны уметь:
- доказывать изученные в курсе теоремы;
- проводить полные обоснования при решении задач, используя для этого изученные теоретические сведения;
- владеть основными приемами и методами решения геометрических задач на построение.
Литература
- Адамар Ж. Элементарная геометрия: Пособие для учителей средней школы. Часть 1, 2, - М.: Учпедгиз, 1958.
- Адлер А. Теория геометрических построений. - Л.: Учпедгиз, 1940.
- Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии: Учебное пособие для студентов пед. университетов и институтов и учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Часть 1, 2, – М.: Сантакс-Пресс, 1997.
- Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. – 1995. – № 6. – с. 16–21.
- Методика факультативных занятий в 9–10 классах: Избранные вопросы математики. Пособие для учителей / И.Н Антипов, В.Н. Березин, А.А. Егоров и др.; Сост.: И.Л. Никольская, В.В. Фирсов. – М.: Просвещение, 1983. – 176 с.
- Моденов П.С., Пархоменко А.С.. Геометрические преобразования. – Издательство Московского университета, 1961.
- Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Геометрия на плоскости: Учебник для педагогических институтов. Часть 1. – М. – Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1948.
- Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Геометрия в пространстве: Учебник для педагогических институтов. Часть 2. – М. – Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1949.
- Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе.– М. – Л.:1947.
- Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений. - 2-е изд. - М.: Учпедгиз, 1952.