Урок по алгебре и началам анализа по теме "Методы решения показательных неравенств"

Панкратова Надежда Петровна

Разделы: Математика

Класс: 11

Тип урока: Урок формирования знаний

Цели урока:

познакомить обучающихся с новыми для них видами показательных неравенств, формирование знаний об основных методах решения показательных неравенств.
развитие умений сравнивать, выявлять закономерность, обобщать, развитие логики, памяти.
воспитание ответственного отношения к учебному труду

Этапы урока и их содержание

1. Организационный этап.

2. Постановка цели.

На уроке будут рассмотрены новые для обучающихся неравенства - показательные, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.

3. Актуализация знаний.

Теоретический опрос:

а) определение показательной функции;

б) какова область определения показательной функции;

в) какова область значений показательной функции;

г) в каком случае показательная функция является возрастающей, убывающей;

д) как расположен график;

е) каковы основные методы решения показательных уравнений (метод замены, однородное уравнение, разложение левой части уравнения на множители и переход к совокупности, функционально-графический, метод интервалов);

ж) что называется решением неравенства, что значит решить неравенство.

4. Введение знаний.

1) Простейшие показательные неравенства имеют вид

решений не имеет, а неравенство выполняется при всех значениях аргумента, поскольку (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)

При выполняется равенство . Если , то в силу возрастания показательной функции неравенство выполняется при, а неравенство выполняется при . (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)

Если , то в силу убывания показательной функции неравенство выполняется при а неравенство выполняется при . . (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)

Рассмотреть примеры:

Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству

2) Рассмотрим методы решения показательных неравенств, не являющихся простейшими. При их решении используются приёмы преобразования выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства, аналогичные тем, которые использовались и при решении показательных уравнений.

а) Метод замены переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.

Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.

Ответ:

Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем применяя метод интервалов для непрерывных функций.

Ответ:

б) Решение однородных неравенств. При решении однородных неравенств используется свойство показательной функции , производим деление обеих частей неравенства на положительную величину и вводим новую переменную. Однородное неравенство первой степени +n решается делением обеих частей неравенства на , а однородное неравенство второй степени решается делением на

Пример:

Решение:

Так как для любых x, то разделив обе части неравенства на , получим неравенство, равносильное данному:

Ответ: (-

в) Метод интервалов.

Пример:

Решение.

Рассмотрим функцию f(x), областью определения которой является множество неотрицательных чисел. Находим нули функции, решив уравнение . Делим обе части уравнения на , после преобразований получим уравнение

откуда Последнее уравнение не имеет решения, а уравнение имеет единственный корень, равный 4. Нуль функции разбивает область определения на промежутки и, в которых функция (в силу своей непрерывности) сохраняет знак.

f(1)

f(9)

Итак, исходное неравенство выполняется при

Ответ:

г) Функционально-графический метод.

Пример:

Решение. Функции иопределены на всём множестве действительных чисел. Функция возрастающая на R, а функция убывающая на R, значит, уравнение имеет не более одного корня. Не сложно убедиться в том, что 1 является единственным корнем уравнения. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения. Неравенство имеет решение тогда, когда график функции лежит не выше графика функции то есть при