Конспект интегрированного урока-практикума по теме "Математическое моделирование. Преобразования графиков функций"

Деснева Светлана Александровна, учитель экономики и черчения

Разделы: Математика, Информатика

ЦЕЛИ:

обучающие:

формирование ИКТ – грамотности:

формирование умений адаптировать информацию к конкретным условиям (построение и исследование математических моделей – графиков функций);
формирование умений оценивать и интегрировать информацию (анализ и сравнение графиков функций у=х², у=х²+а, у=(х+а)², у=ах² при различных значениях параметра а, обобщение и применение полученной информации к графикам других функций: показательной, логарифмической, тригонометрической);
формирование умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение арифметических выражений, построение графиков функций);

развивающие:

формирование навыков деятельности, составляющих ИКТ-компетентность:

управление – выделение основных этапов построения графиков функций,
интеграция – построение графиков различных функций,
оценка – сравнение графиков функций, выявление правил преобразования графиков функций,
создание – умение применять данные правила при анализе различных функциональных зависимостей;

развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере;

воспитательные:

формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных;
выработка у учащихся способности использовать компьютер при решении задач из различных предметных областей (математика);
воспитание аккуратности, терпения, усидчивости.

ТИП УРОКА:

по основной дидактической задаче – урок применения знаний и умений;
по способу проведения – урок-практикум;
по основным этапам – урок применения полученных правил на практике;
по форме проведения – интегрированный, исследовательский урок.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

Учащиеся смогут:

определять преобразование графика по виду функциональной зависимости;
применять электронные таблицы для построения графиков семейства функций;
исследовать вид графика разных функциональных зависимостей;
использовать электронные таблицы для анализа функциональных зависимостей по виду их графиков;
автоматизировать работу по построению и анализу графиков функций.

ОБОРУДОВАНИЕ:

компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран или мультимедийная доска;
на компьютере учителя – презентация «Преобразование графиков функций. Математическое моделирование», которая используется при проведении урока (Приложение 1);
для менее подготовленных учащихся - карточки с алгоритмом практической работы (Приложение 2);
на компьютерах учеников - шаблон в электронных таблицах для выполнения практической работы (построения графиков функций) (Приложение 3).

Ход урока

1. Организационный момент (Слайд 1)

Урок посвящён математическому моделированию. Тему урока, объект наших исследований и инструмент, с помощью которого эти исследование будут производиться, я попрошу вас назвать самостоятельно после ответа на следующие вопросы.

2. Актуализация опорных знаний и умений (Слайды 2-4)

Алгебра

Что демонстрирует данный рисунок? Функциональную зависимость.
Дайте ей определение. Две переменные величины х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принимать одна из них, соответствует одно или несколько определённых значений другой.
Как обозначается функция? y=f(x).
Как называется переменная х? Аргумент функции, независимая переменная.
Как называется переменная у? Значение функции, зависимая переменная.
Как можно изобразить функцию? Формулой, графиком, таблицей.
Назовите функции и опишите вид их графиков.

Функция	Название	График
у=х	Прямая пропорциональность	Прямая, проходящая через начало координат под углом 45°, биссектриса первого координатного угла.
у=2х-5	Линейная	Прямая
у=х²	Квадратичная	Парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.
у=3х²+1	Квадратичная	Парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх (а>0).
у=-3х²+2х-6	Квадратичная	Парабола с вершиной в точке , ветви направлены вниз (a<0).
у=3х	Показательная	Проходит через точку (0;1), возрастает, слева неограниченно приближается к оси абсцисс, но не пересекает её.
у=cos x	Тригонометрическая	Синусоида, смещённая по оси х влево на p/2. Имеет период 2p.
	Обратная пропорциональность	Кривая линия, состоящая из двух «ветвей», неограниченно приближающихся к осям координат, но не пересекающих их. Расположены «ветви» в I и III координатных четвертях.
у=log₃x	Логарифмическая	Получается из графика показательной функции у=3х перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла.
у=х³	Степенная	Проходит через начало координат. Имеет две «ветви», симметричные относительно начала координат.

Информатика

Как выполнить автозаполнение диапазона значениями аргумента функции (числами с шагом)? Ввести значения в две рядом стоящие ячейки, выделить их, навести курсор на правый нижний угол (маленький чёрный крестик) и выделить диапазон, который необходимо заполнить.
Какие ссылки могут быть на ячейку при записи формулы? Относительная и абсолютная.
В чём смысл относительной ссылки? При автозаполнении имя ячейки меняется, происходит ссылка на другую ячейку.
Абсолютной? При автозаполнении имя ячейки не меняется, ссылка остаётся на ту же ячейку. При записи имени абсолютной ячейки используется знак $.
Как правильно записать формулу для вычисления значения функции? Формула начинается со знака =, используются знаки математических операций (+, -, *, /, ^) и функции (вставка функций).
Значение параметра а, используемое в формуле, занесено в отдельную ячейку, при вычислении значений функции при различных значениях аргумента оно не должно изменяться. Какую ссылку необходимо применить на данную ячейку. Абсолютную.
Какая должна быть ссылка в формуле на ячейку со значением аргумента? Относительная.
Как рассчитать значения функции для всех значений аргументов? Применить автозаполнение, но выделить только ячейку с формулой.
Алгоритм построения функции? Выделить диапазон, вставка диаграмма, выполнить шаги мастера.

Алгебра

Посмотрите внимательно на функции 1 и 2. Как график функции у=2х-5 можно получить из графика функции у=х? Как график функции у=х² можно получить из графика функции у=3х2+1? Попробуйте сформулировать тему урока, объект наших исследований и инструмент, с помощью которого эти исследования будут производиться.

3. Тема и цели урока (Слайды 5-7)
Тема урока: «Математическое моделирование. Преобразования графиков функций». Цель урока: построить и исследовать математическую модель - график функции; провести сравнение графиков функций при различных значениях параметра а и выявить их преобразования.
Сегодня объектом наших исследований будут графики функций, а инструментом - электронные таблицы MS Exсel.

4. Мотивация учебной деятельности
Построение графиков нескольких функций в одной системе координат позволяет сравнить вид графиков и сделать вывод о том, какие преобразования произошли с графиком при изменении функциональной зависимости. Электронные таблицы помогают выполнить построения графиков быстро и автоматически изменяют вид графиков при введении новых значений параметра а.

5. Ознакомление с инструкцией (Слайды 8-9)
Выполнив построение графиков функций у=х², у=х²+а, у=(х+а)², у=ах² в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку, проведите исследование их преобразований при различных параметрах а, занесите в тетрадь результаты исследований по предложенному ниже плану.

Постановка задачи:
Дано: функция у=х²
Построить модель: графики функций у=х², у=х²+а, у=(х+а)², у=ах²
Исследовать: преобразования графиков при различных значениях параметра а
Выполнение работы и результаты:

График функции у=х²+а по сравнению с графиком функции у=х²

при а>0 -
при a<0 -

График функции у=(х+а)² по сравнению с графиком функции у=х²

при а>0 -
при a<0 -

График функции у=ах² по сравнению с графиком функции у=х²

при |а|<1 -
при |a|>1 -
Убедитесь, что сделанные вами выводы справедливы для любой функции, проведя исследования графиков функций у=2х, у=2х+5, у=2х+1+5; у=log₂x, у=log₂x-3, у=2log₂x. Результаты исследований занесите в тетрадь.
Исследуйте график функции: y=0,5sin(x+p/2), объясните преобразования вида графика функции у=sin x, выводы запишите в тетрадь.

6. Выполнение практической работы

Строим графики функций у=х², у=х²+а в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку. Сначала подставляем значение параметра: а=5, затем – а=-5, а=2, а=-2.Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х².
Строим графики функций у=х², у=(х+а)² в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку. Сначала подставляем значение параметра: а=2, затем – а=-2, а=5, -5. Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х².
Строим графики функций у=х², у=ах² в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку. Сначала подставляем значение параметра: а=2, затем – а=1/2, а=-2. Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х².
Строим графики функций у=2х, у=2х+5, у=2х+1+5 в одной системе координат на отрезке [-3; 3] с шагом 0,5; у=log₂x, у=log₂x-3, у=2log₂x в одной системе координат на отрезке [0,5; 6,5] с шагом 0,5. Делаем вывод о преобразованиях графиков функций у=2х и у=log₂x.
Строим графики функций у=sin x и y=0,5sin(x+p/2) в одной системе координат на отрезке [0; 2p] с шагом p/2. Делаем вывод о преобразованиях графика у=sin x.

7. Обсуждение результатов (Слайды 12-25)

График функции у=х²+а получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=х² на вектор (0;а).
График функции у=(х+а)² получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=х² на вектор (-а;0).
График функции у=ах² получается растяжением (при ?а?>1) или сжатием (при?а?<1) вдоль оси ординат в а раз графика функции у=х².
График функции у=2х+5 получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=2х на вектор (0;5).
График функции у=2х+1+5 получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=2х+5 на вектор (-1;0).
График функции у=log₂x-3 получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=log₂x на вектор (0;-3).
График функции у=2log₂x получается растяжением (2>1) вдоль оси ординат в 2 раза графика функции у=log₂x.
График функции y=0,5sin(x+p/2) получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=sin x на вектор (-p/2;0) и сжатием (1/2<1) вдоль оси ординат в 2 раза графика функции y=sin(x+p/2).

8. Итоги урока (Слайд 26)
Слайд заполняется в ходе обсуждения итогов урока с учащимися.

Алгебра

Исследовали преобразование графиков функций при разных значениях параметра а, входящего в функциональную зависимость.
Попробовали по виду функциональной зависимости определить вид графика.

Информатика

Попробовали применить электронные таблицы для построения графиков семейства функций.
Исследовали вид графика разных функциональных зависимостей.
Убедились: электронные таблицы помогают выполнить построения графиков быстро и автоматически изменяют вид графиков при новых значениях параметра а, что позволяет автоматизировать работу по построению и анализу графиков функций.

Домашнее задание:
Алгебра
Построить графики функций:

у=2cos (х-p/2) путём преобразования графика исходной функции у=cos х
путём преобразования графика исходной функции у=1/х

Информатика
Убедиться в правильности преобразований: построить в электронных таблицах графики функций:

у=cos х, у=cos (х-p/2), у=2cos (х-p/2)
у=1/х, , ,

5.05.2010