Цели и задачи: |
|
обучающие: |
показать возможности использования
дифференциального исчисления для решения задач
прикладного характера; систематизировать и обобщить знания учащихся по теме; проконтролировать умения и навыки решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, задач на оптимизацию, |
развивающие: |
сформировать представления о методе математического моделирования как об одном из методов познания, |
воспитательные: |
научить учащихся работать в группах, выражать собственное мнение, принимать решения, оценивать себя и давать оценку товарищам, тем самым формировать ключевые компетенции учащихся. |
Оборудование: |
самодельные таблицы: а) алгоритм решения задачи с помощью уравнения, б) алгоритм составления математической модели; в) эпиграф (записан на доске); г) план урока на доске; д) карточки; е) словари, учебные пособия. |
Ход урока
Организационный момент - 1-2 минуты.
I этап урока.
Цели:
- повторить и закрепить правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
- разрешить коллизию, возникшую при нахождении наибольшего или наименьшего значений функции на интервале или луче.
Время, отведенное на I этап - 25 минут.
Формы работы:
а) Самостоятельная работа, по трехуровневым вариантам:
I вариант - общеобразовательный, базовый уровень, обязательный;
II вариант - средний уровень, т.е. выше базового;
III вариант - повышенный уровень.
Все варианты решают задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений функций:
| I вариант
|
II вариант
|
III вариант
|
Итоги самостоятельной работы (на следующем уроке выставляется оценка в журнал).
б) Разрешение коллизии, возникшей при нахождении наибольшего и наименьшего значений функций в III варианте, те. на интервале (0;3).
Учитель: "Как же быть, если интервал для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции открытый или луч?"
От учащихся поступают предложения:
- Используя непрерывность функции, перейти к отрезку.
- Использовать теорему о единственной критической точке на интервале.
- Использовать сравнение значений функций в критической точке и в бесконечно малой окрестности этой точки.
Учитель: "Проблема нахождения наибольшего или наименьшего значений функции на интервале или луче решена. Возникает другая проблема: каким способом пользоваться лучше. Попробуйте дома найти решение этой проблемы, обосновать свой выбор".
Итогом I этапа служит решение поставленной проблемы.
II этап урока
Новый материал: Метод математического моделирования как метод познания.
Цель этапа заключена в эпиграфе (учитель читает вслух): "Особенную важность имеют не методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды". П.Л.Чебышев, XIX век.
План изучения темы (кратко на доске):
Методы познания (не более 5 минут) Можно предложить учащимся подготовить сообщение, можно самому учителю.
Учитель, пользуясь Философским словарем и справочником школьника по философии, напоминает учащимся, что понимают в философии под методом познания.
Цель: среди известных методов познания найти метод моделирования.
Метод математического моделирования как частный метод моделирования и познания (не более 5 минут).
Учитель рассказывает о математических моделях и их свойствах.
Затем делаются выводы и дальнейшие рассуждения: известные математические модели: геометрические, словесные, графические, алгебраические.
Вопрос к классу: "Где уже встречался метод математического моделирования?"
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9 класс в теме "Решение задач с помощью уравнений".
Учитель обращается сразу к двум таблицам и проводит между ними аналогию:
| I таблица. Алгоритм решения задачи с помощью уравнения |
II таблица. Алгоритм составления математической модели. |
| Ввести переменную, выразить все данные задачи через нее, т.е. перевести на язык математики. Составить уравнение. | Составление модели |
| Решить уравнение | Работа с моделью |
| Вернуться к тексту задачи. Истолковать ответ, используя полученное решение. | Ответить на вопрос задачи |
Учитель ставит еще одну проблему и предлагает решить ее дома - составить и решить с помощью уравнения любую задачу. Проверить решение в соответствии с этапами моделирования.
Оценка за домашнюю работу выставляется в журнал на следующем уроке.
Задачи "на оптимизацию". Применение методов дифференциального исчисления для решения задач на оптимизацию (15 минут).
а) Понятие "оптимизация" (от латинского "optimum" - наилучший)
б) Виды задач на оптимизацию:
1-й вид - улучшение достигается за счет коренных качественных изменений, например, выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления.
2-й вид - качественная сторона остается неизменной, но меняется количественные показатели.
Будут рассмотрены задачи 2-го вида. В таких задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значения функций.
в) Вопросы учителя к классу:
- Какие специалисты используют знания для оптимизации процессов производства?
(ответ: учителя, военные, инженеры, экономисты и т.д.)
- Как же связана тема нахождения наибольшего или наименьшего значений функции с решением задач на оптимизацию и методом математического моделирования?
Для ответа на поставленный вопрос учитель обращается к заранее заготовленным на доске задачам:
№1 Дано: ABCD - прямоугольник
PABCD=56см.
SABCD-наибольшая
Найти: стороны AB и AD.
Решение:
Пусть AB=x, AD=y. Тогда PABCD=2х+2у.
Известно, что PABCD=56см.
Выразим у через х: у=28-х.
SABCD=х-у.
Значение ее наибольшее.
Выразим SABCD как функцию от х: S(x)=x(28-x)=28x-x2, 0<x<28.
Найдем, при каком х S(x) принимает наибольшее значение на (0;28).
а) S'(x)=28-2x,
б) 28-2х=0, х=14.
в) 14I (0;28) и является единственной критической точкой на (0;28).
Значит, в этой точке функция S(x) принимает свое наибольшее или наименьшее значения: S(14)=196.
Выберем х=13 (13I (0;28)) и сравним S(13) и S(14):
S (13) =195,
195<196, значит, S(13)<S(14)/
Итак, при х=14, у=14, площадь прямоугольника ABCDнаибольшая.
Ответ: AB=AD=14.
Ученик комментирует решение, отвечая на вопрос учителя, показывает этапы математического моделирования.
№2. Разбирается задача из учебника Колмогорова. Подчеркивается переход от интеграла к отрезку на основе непрерывности функции (п.25 стр.156-157).
Домашнее задание предлагается из тренировочных материалов к ЕГЭ-2005, ЕГЭ-2006 по этой теме (любого автора).
Итогом II этапа служит осознание учащимися связи метода математического моделирования и методов познания, а также применение его для решения задач на оптимизацию.
III этап урока.
Цель: подвести итоги новой темы (3 минуты)
а) термины (на доске),
б) алгоритмы и формулы (на доске),
в) обратная связь (учитель предлагает карточки, где отношение к уроку выражено символами J или K , или L .
IV этап урока.
Цель: формирование практических и коммуникативных компетенций учащихся (30-40 минут)
Работа в группах (рекомендуется оставить I - базовый уровень, II - средний, III - выше среднего.)
Решить, обсудить, вынести на бумажных носителях для обсуждения.
Поставить оценку в группе как КПД - коэффициент полезного действия (т.е. участие каждого члена группы).
V этап урока.
Заключительный
Цель: подведение итогов всего занятия, выставление оценок.
Список литературы.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. - М.: Просвещение, 1992 год.
- Возняк Г.М., Гусев В.А. Прикладные задачи на экстремумы. - М.: Просвещение, 1985г.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10-11. - М.: Просвещение, 2000-2006 год.
- Научно-педагогический журнал "Математика в школе" 2002-2007гг. (задачи ЕГЭ на экстремумы).
- Хургин Я.И. Ну и что? (Разговоры математика с биологами и радистами, врачами и технологами:о математике и ее связях с другими науками). - М.: Молодая гвардия, 1967г.