Открытое элективное занятие по теме "Решение уравнений и неравенств с использованием области определения функций и области значения функций"

Разделы: Математика

Цели занятия:

  1. Научить решать уравнения с использованием следующих понятий и свойств:
    а) при a = b = 0,
    б) выделения полного квадрата,
    в) области значений выражений:   и .
  2. Научить решать неравенства с использованием области определения функций у = tgx, y = ctgx

Ход занятия

I. Актуализация ключевых компетенций учащихся по данной теме.

На доске:

Ключевые компетенции:

1)  при a = b = 0.

2) D(tgx): x≠, D(ctgx): x≠

3) Области значений выражений:

0≤ ≤ 1, -1≤ -≤ 0, 0≤ ≤ 1, -1≤ -≤ 0, и  ≥ 0.

4)  -разность квадратов.

 - квадрат суммы (разности).

5) Решение квадратных неравенств методом интервалов.

1. Найдите область определения функции (можно при этом пользоваться опорным конспектом по данному элективному курсу)

а) у = tg x.

Запись в тетради: Решив уравнение, найдем значения х, не входящие в область определения данной функции

x = , │∙3, х =.
D(y): x ≠.

б) y = ctg 5x.

5x =, │∙, x = .
D(y): x ≠.

в) у = tg x,

 x = , │∙
х = 2 + .
D(y): x ≠ 2 + , (т. е. x ≠…-2; -1;.0, 1; 2; …)

г) у = сtg x,

 x = , │∙
х = 2·.
D(y): x ≠ 2·. (т. е. x ≠…-4; -2; 0, 2; 4; …).

2. Решите неравенство

а) 5х+3>0.

Учитывая, что х≥ 0 при всех x(), получим, что 5х+3>0 при всех x().

б) 1+ tg x > 0

Решениями неравенства являются все значения х, при которых определен tg x.

Ответ: x ≠ 2 + .

в) 1 + сtg x > 0

Решениями неравенства являются все значения х, при которых определен сtg x .

Ответ: x ≠ 2·.

3. Решите уравнение (- 4) = -(х + 2) .

Запись в тетради:

Используя свойство  при a = b = 0, получим  х = -2.

Ответ: -2.

4. Какова область значений функции

а) у = ?

Учитывая, что Е (cost) =  и свойство , получим Е() =

б) у = ?

Учитывая, что Е (sint) =  и свойство -, получим Е() =

Ответ: а) , б) .

II. Решение заданий из ЕГЭ (у всех учащихся распечатки заданий В и В)

Устная работа:

Выделить полный квадрат из квадратного трехчлена:

а) х-2 х – 1, б) х-6 х + 11, в) 4х- 4 х +1, г) 9х- 12 х +7.

1) Решить уравнение х- 2 х = (1- sin)(1+ sin) – 2.

Учитель с помощью учащихся решает и оформляет задание на доске.

Это комбинированное уравнение.

О.Д.З. x()

х- 2x = 1 - 2, х- 2x +1 = , (x - 1)  = ,

Используя свойство  при a = b = 0, получим   

x =1.

Первое уравнение системы имеет единственный корень x =1, следовательно, если система имеет решение, то решением системы может быть только x =1, мы проверяем это, подставив х = 1 во второе уравнение системы.

Ответ: 1

2) Решить уравнение 9х- 12 х +7 = ()().

Решение этого уравнения оформляет ученик на доске.

О.Д.З. xR

9х- 12 х + 7 = 3 - , 9х- 12 х + 4 = - , (3x - 2) = -,

   . Ответ: .

3).

Решение оформляет учитель.

Это комбинированное уравнение.

Учитывая, что Е() = , а E() = , получим, что данное уравнение равносильно системе

Корни первого уравнения: х = 2 и х = 3. Если система имеет решения, то ее решениями могут быть только числа 2 или 3, подставив эти числа во второе уравнение системы, получим

 (верно),  (верно), следовательно 2 и 3 решения системы.

Ответ: 2 и 3.

4) Сколько целочисленных решений имеет неравенство ?

Решение оформляет учитель.

Найдем область определения сtg x.

 x = , │∙
х = 3·.
О.Д.З. x ≠ 3·. (т. е. x ≠…-6; -3; 0, 3; 6; …).

Заметим, что при всех х из О.Д.З., знаменатель дроби принимает положительные значения, поэтому неравенство равносильно системе

-х+ 4х -3 ≥ 0, │∙(-1)
х- 4х + 3 ≤ 0, ( х- 4х + 3 =0 при х = 1 или х =3)
(х - 1)(х – 3) ≤ 0,

Методом интервалов, определим, что x, с учетом, что x ≠ 3·, решениями системы являются x, в данный интервал входит всего два целых числа – это 1 и 2.

Ответ: 2

III. Проверочная самостоятельная работа 

1 вариант 2 вариант
1. Найти область определения функции
а) у = tg 2x;
б) у = ctg .
2. Решите неравенство
а);
б) 4+ ctg  >0
3. Решить уравнение:

4. Сколько целочисленных решений имеет неравенство
.
5. Решить уравнение:
 1. Найти область определения функции
а) у = ctg ;
б) у = tg.
2. Решите неравенство
а)1+;
б) 4+ tg >0.
3. Решить уравнение:

4. Сколько целочисленных решений имеет неравенство
.
5. Решить уравнение:

IV. На дом предлагается решить задания из В и В на выбор, но не менее чем по 2 задания из В и из В.

ЕГЭ 2009 г. Задание В

  1. Найдите количество целочисленных решений неравенства х+7 х – 8 ≤ 0, удовлетворяющих условию ctg+ > 0.
  2. Найдите количество целочисленных решений неравенства 16 - х≥ 0, удовлетворяющих условию 3tg+ > 0.
  3. Найдите количество целочисленных решений неравенства х+4 х – 21< 0, удовлетворяющих условию ctg+ 13 >0.
  4. Найдите количество целочисленных решений неравенства 8 – 7x - х≥ 0, удовлетворяющих условию ctg + t g > 0.
  5. Сколько целочисленных решений неравенства 15 – 2x - х≥ 0, удовлетворяющих условию  + 1 > 0.
  6. Сколько целочисленных решений имеет неравенство  ?
  7. Сколько целочисленных решений имеет неравенство  ?
  8. Сколько целочисленных решений неравенства x - х + 6 > 0, удовлетворяющих условию ?
  9. Сколько целочисленных решений имеет неравенство  ?
  10. Сколько целочисленных решений имеет неравенство  ?

ЕГЭ -2009 г. Задание В

  1. Решите уравнение х- 4 х = (2 - соs)(2 + соs) – 8.
  2. Решите уравнение 3 - ( - sin)( + sin) = 1 - 3х
  3. Решите уравнение -25х+ 40 х -23 = (соs)(соs)..
  4. Решите уравнение 16х- 24x + 12 = ( - sin)( + sin).
  5. Решите уравнение х+2x = (1- sin)(1+ sin) – 2.
  6. Решите уравнение 25х+ 60 х + 39 = ( - соs)( + соs).
  7. Решите уравнение 25х- 40 х +21 = ()().
  8. Решите уравнение 25х+ 80 х +69 = ()().
  9. Решите уравнение  Если корень не единственный, то укажите сумму корней.
  10. Решите уравнение

Опорный конспект.