Цели занятия:
- Научить решать уравнения с использованием следующих понятий и свойств:
а)при a = b = 0,
б) выделения полного квадрата,
в) области значений выражений:и
.
- Научить решать неравенства с использованием области определения функций у = tgx, y = ctgx
Ход занятия
I. Актуализация ключевых компетенций учащихся по данной теме.
На доске:
Ключевые компетенции:
1) при a = b = 0.
2) D(tgx): x≠, D(ctgx): x≠
3) Области значений выражений:
0≤
≤ 1, -1≤ -
≤ 0, 0≤
≤ 1, -1≤ -
≤ 0, и
≥ 0.
4) -разность квадратов.
- квадрат суммы (разности).
5) Решение квадратных неравенств методом интервалов.
1. Найдите область определения функции (можно при этом пользоваться опорным конспектом по данному элективному курсу)
а) у = tg x.
Запись в тетради: Решив уравнение, найдем значения х, не входящие в область определения данной функции
x =
, │∙3, х =
.
D(y): x ≠.
б) y = ctg 5x.
5x =
, │∙
, x =
.
D(y): x ≠.
в) у = tg x,
x =
, │∙
х = 2 +.
D(y): x ≠ 2 +, (т. е. x ≠…-2; -1;.0, 1; 2; …)
г) у = сtg x,
x =
, │∙
х = 2·.
D(y): x ≠ 2·. (т. е. x ≠…-4; -2; 0, 2; 4; …).
2. Решите неравенство
а) 5х+3>0.
Учитывая, что х≥ 0 при всех x
(
), получим, что 5х
+3>0 при всех x
(
).
б) 1+ tg
x > 0
Решениями неравенства являются все значения х, при которых определен tg x.
Ответ: x ≠ 2 + .
в) 1 + сtg
x > 0
Решениями неравенства являются все значения х, при которых определен сtg x .
Ответ: x ≠ 2·.
3. Решите уравнение (- 4)
= -(х + 2)
.
Запись в тетради:
Используя свойство при a = b = 0, получим
х = -2.
Ответ: -2.
4. Какова область значений функции
а) у = ?
Учитывая, что Е (cost) = и свойство
, получим Е(
) =
б) у = ?
Учитывая, что Е (sint) = и свойство -
, получим Е(
) =
Ответ: а) , б)
.
II. Решение заданий из ЕГЭ (у всех учащихся распечатки заданий В
и В
)
Устная работа:
Выделить полный квадрат из квадратного трехчлена:
а) х-2 х – 1, б) х
-6 х + 11, в) 4х
- 4 х +1, г) 9х
- 12 х +7.
1) Решить уравнение х- 2 х = (1- sin
)(1+ sin
) – 2.
Учитель с помощью учащихся решает и оформляет задание на доске.
Это комбинированное уравнение.
О.Д.З. x(
)
х- 2x = 1
- 2, х
- 2x +1 =
, (x - 1)
=
,
Используя свойство при a = b = 0, получим
x =1.
Первое уравнение системы имеет единственный корень x =1, следовательно, если система имеет решение, то решением системы может быть только x =1, мы проверяем это, подставив х = 1 во второе уравнение системы.
Ответ: 1
2) Решить уравнение 9х- 12 х +7 = (
)(
).
Решение этого уравнения оформляет ученик на доске.
О.Д.З. xR
9х- 12 х + 7 = 3 -
, 9х
- 12 х + 4 = -
, (3x - 2)
= -
,
. Ответ:
.
3).
Решение оформляет учитель.
Это комбинированное уравнение.
Учитывая, что Е() =
, а E(
) =
, получим, что данное уравнение равносильно системе
Корни первого уравнения: х = 2 и х = 3. Если система имеет решения, то ее решениями могут быть только числа 2 или 3, подставив эти числа во второе уравнение системы, получим
(верно),
(верно), следовательно 2 и 3 решения системы.
Ответ: 2 и 3.
4) Сколько целочисленных решений имеет неравенство ?
Решение оформляет учитель.
Найдем область определения сtg x.
x =
, │∙
х = 3·.
О.Д.З. x ≠ 3·. (т. е. x ≠…-6; -3; 0, 3; 6; …).
Заметим, что при всех х из О.Д.З., знаменатель дроби принимает положительные значения, поэтому неравенство равносильно системе
-х
+ 4х -3 ≥ 0, │∙(-1)
х- 4х + 3 ≤ 0, ( х
- 4х + 3 =0 при х = 1 или х =3)
(х - 1)(х – 3) ≤ 0,
Методом интервалов, определим, что x, с учетом, что x ≠ 3·
, решениями системы являются x
, в данный интервал входит всего два целых числа – это 1 и 2.
Ответ: 2
III. Проверочная самостоятельная работа
1 вариант | 2 вариант |
1. Найти область определения функции а) у = tg 2x; б) у = ctg ![]() 2. Решите неравенство а) ![]() б) 4+ ctg ![]() ![]() 3. Решить уравнение: ![]() 4. Сколько целочисленных решений имеет неравенство ![]() 5. Решить уравнение: ![]() |
1. Найти область определения функции а) у = ctg ![]() б) у = tg ![]() 2. Решите неравенство а)1+ ![]() б) 4+ tg ![]() ![]() 3. Решить уравнение: ![]() 4. Сколько целочисленных решений имеет неравенство ![]() 5. Решить уравнение: ![]() |
IV. На дом предлагается решить задания из В
и В
на выбор, но не менее чем по 2 задания из В
и из В
.
ЕГЭ 2009 г. Задание В
- Найдите количество целочисленных решений неравенства х
+7 х – 8 ≤ 0, удовлетворяющих условию ctg
+
> 0.
- Найдите количество целочисленных решений неравенства 16 - х
≥ 0, удовлетворяющих условию 3tg
+
> 0.
- Найдите количество целочисленных решений неравенства х
+4 х – 21< 0, удовлетворяющих условию ctg
+ 13 >0.
- Найдите количество целочисленных решений неравенства 8 – 7x - х
≥ 0, удовлетворяющих условию ctg
+ t g
> 0.
- Сколько целочисленных решений неравенства 15 – 2x - х
≥ 0, удовлетворяющих условию
+ 1 > 0.
- Сколько целочисленных решений имеет неравенство
?
- Сколько целочисленных решений имеет неравенство
?
- Сколько целочисленных решений неравенства x - х
+ 6 > 0, удовлетворяющих условию
?
- Сколько целочисленных решений имеет неравенство
?
- Сколько целочисленных решений имеет неравенство
?
ЕГЭ -2009 г. Задание В
- Решите уравнение х
- 4 х = (2 - соs
)(2 + соs
) – 8.
- Решите уравнение 3 - (
- sin
)(
+ sin
) = 1 - 3х
- Решите уравнение -25х
+ 40 х -23 = (соs
)(соs
)..
- Решите уравнение 16х
- 24x + 12 = (
- sin
)(
+ sin
).
- Решите уравнение х
+2x = (1- sin
)(1+ sin
) – 2.
- Решите уравнение 25х
+ 60 х + 39 = (
- соs
)(
+ соs
).
- Решите уравнение 25х
- 40 х +21 = (
)(
).
- Решите уравнение 25х
+ 80 х +69 = (
)(
).
- Решите уравнение
Если корень не единственный, то укажите сумму корней.
- Решите уравнение