Урок обобщающего повторения по теме "Степень с рациональным показателем и ее свойства"

Разделы: Математика

“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”.
(М.В. Ломоносов)

Цели урока:

  • обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень”;
  • проконтролировать уровень усвоения материала;
  • ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;
  • формировать навыки самоконтроля учащихся;
  • создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;
  • воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Задачи урока:

  • обучающие: проверка знаний учащимися основных понятий, правил, законов на определение степени с рациональным показателем, умений самостоятельно применять знания в стандартных условиях, в измененных и нестандартных условиях;
  • развивающие: логическое мышление и творческие способности;
  • воспитывающие: расширение кругозора учащихся в историческом аспекте, пополнение лексического запаса новыми терминами, знаний о их этимологическом происхождении, получение дополнительной информации об окружающем мире.

Тип урока: урок-повторение.

Форма проведения урока: проверка и коррекция знаний и умений.

Оборудование: оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, кроссвордами для каждого учащегося, оборудование для мультимедийной презентации,

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Учитель. Мы закончили изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач. На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока вы выставите средний балл за урок

Приложение 1

II. Актуализация знаний учащихся.

Учитель. Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.…Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.

1. Повторить необходимые теоретические сведения я предлагаю вам в ходе разгадывания кроссворда. Приложение 2

По горизонтали:

    1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).
    2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).
    3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).
    4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).

По вертикали:

    1. Число всех одинаковых множителей (показатель).
    2. Степень с нулевым показателем (единица).
    3. Повторяющийся множитель (основание).
    4. Значение 105:(23•55) (четыре).
    5. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).

Слайд 2

II. Проверка знаний учащихся основных понятий и правил, умений объяснять их сущность, аргументировать свои суждения.

Ученикам предлагается на индивидуальных листах заполнить таблицу и записать свойства степени с рациональным показателем. Потом проверяют свои записи с ответами на слайде3, выставляют себе отметки в оценочном листе.

Предлагается таблица (Приложение 1, пункт 2)

Ответ учащихся:

III. Проверка правильного понимания определения и свойств, и их применение. Слайд 3

На доску проецируются задания. Учащиеся выполняют их в тетради.

1. Имеет ли смысл выражение? (Приложение 1, пункт 3.1)

2. Указать допустимые значения переменной (Приложение 1, пункт 3.2)

Затем происходит проверка данных заданий с помощью проектора Слайд 4. Качество своего выполнения учащиеся определяют сами, выставляя себе отметку в оценочный лист..

4. Учитель. Повторив определение степени с рациональным показателем и его свойства, выполним следующие задания, получая и исторические справки, связанные с понятием степени.

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов.

Задание. Решив уравнения и составив слово, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который положил начало буквенных записей степени. Слайд 5

Л Т Н Р Ш О Ь И Е Ф К А Д Ю
9/4 9 5 11 -2 4/9 20 5/3 1/3 1 3 8 64 2
  1. Х1/3=4
  2. у-1=3/5
  3. а1/2= 2/3
  4. х-0,5 х1,5 = 1
  5. у1/3 =2
  6. а2/7а12/7 = 25
  7. а1/2 : а = 1/3

Слово: 1234567 (Диофант)

Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).

А) Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона. В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком Δ с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д. Слайд 6.

Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).

Б) Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”- Algorismus proportionum (Вычисление пропорций), в котором он впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. Николай Оре́м, или Николай Орезмский (Nicolas Oresme, Nicholas Oresme, Nicole Oresme) (до 1330 г., Нормандия — 11 июля 1382 г. Лизье, Франция) — католический богослов, епископ, один из наиболее известных французских философов и учёных XIV в. Слайд 7.

Равенство, а0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а1/n корень .

V. Гимнастика ума.

Отдохнем, и вспомним, что прошли ранее. Слайд 8.

VI. Учитель. Отдохнули –

теперь продолжим нашу историческую экскурсию. В Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля появился термин «показатель степени».

Предлагаю, вычислить и составить слово, используя дешифратор. Слайд 9.

Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин – “показатель степени”.

  1. -81/3
  2. 811/2
  3. (3/5)-1
  4. (5/7)0
  5. 27-1/3
  6. (2/3)-2
  7. 161/2 * 1251/3

Слово: 1234567 (Штифель)

Л Т Н Р Ш О Ь И Е Ф К А Д Ю
9/4 9 5 11 -2 4/9 20 5/3 1/3 1 3 8 64 2

Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).

В) Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при a ≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степе. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» (лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста (коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553). Слайд 9-10.

Г) В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Слайд 11.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).

Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.

VII. Учитель. Вычислить и составить слово, используя дешифратор.

Слайд 12-13

Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию этого математика, который ввел современную запись степени.

  1. Х1/3=4
  2. у-1= 3
  3. (х+6)1/2 = 3
  4. у1/3 =2
  5. (у-3)1/3=2
  6. а1/2 : а = 1/3

Cлово: 123456 (Декарт)

VIII. Лабиринт.

Учитель. А теперь, ребята, получаем игровое задание “Лабиринт”(достаточно 2 варианта, 2 ученика работают у отдвижной доски и другие – на местах в парах). Задания разрезаны на полоски, начиная с числа, ответ одного задания является началом другого, но его надо найти в беспорядочном разложении на столе у каждого ученика. Проверка очень проста, ответы также на полосках лежат на столе, если решил правильно – ответ найдешь на полоске. Здесь основной контроль лежит на учителе., потом проверка по Слайду 14.

Приложение 3

IX. Домашнее задание.

Тест № 14 из ЕГЭ по вариантам 1 и 2 .

X. Подведение итогов урока.

Вы сами оценивали свои знания. А ребятам, которые готовили исторические справки, делали задания «лабиринта» получают оценки. Высказываем свои мнения по уроку (если останется время).

XI. Рефлексия.

Слайд 15. А в конце нашего урока определим ваше отношение к нему. Выберите нужную вам фигуру, которая соответствует вашему восприятию нашего урока. Поставьте ее в оценочные листы. Сдаем оценочные листы. Всем спасибо за урок! Слайд 16.