Когда-то Лобачевский думал,
Кутаясь в пальто,
Как мир прямолинеен,
Видно, что-то здесь не то.
Но он вгляделся пристальней
В безоблачную высь,
А там все параллельные его пересеклись.
Николай Иванович Лобачевский является примером яркого математического дарования. Это дарование было обнаружено его учителями. Как часто бывает, сам Лобачевский и не подозревал о своём могучем таланте математика. Будучи студентом первого курса Казанского университета, он изучал медицину.
Деятельность Лобачевского неразрывно связана с историей Казанского университета, который был открыт в 1805 году. В 1827 году Николай Иванович становится ректором Казанского университета, находился он в этой должности непрерывно в течение 19 лет.
Казанский университет
Деятельность Лобачевского вызывает изумление. Наряду с большой административной и педагогической работой он, не покладая рук, занимался и наукой. Лобачевскому было всего 34 года, когда он решил «многовековую» проблему V постулата из «Начал» Евклида и построил свою, неевклидову геометрию.
Имя Лобачевского известно всему миру. Он вошёл в историю математики как революционер в науке и «Коперник геометрии». Николай Лобачевский решил проблему, над которой человечество бесплодно билось более двух тысяч лет. Анализируя попытки доказать V постулат, Лобачевский сделал чрезвычайно смелый вывод о его недоказуемости. Раз V постулат недоказуем как теорема, то принципиально возможна другая геометрия, отличная от евклидовой,- неевклидова геометрия, отправной точкой которой является отрицание V постулата.
«Геометрия Лобачевского», как её теперь называют, является крупнейшим завоеванием науки и составляет целую эпоху в развитии математики и смежных ей наук.
Лобачевский, получив в геометрии необычные результаты, натолкнулся на косность и рутину. Ученого высмеяли как человека, сумасбродного в науке, который написал сатиру на геометрию, пытаясь доказать, что белое - это чёрное, круглое – четырёхугольное, что сумма всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых и ряд других нелепостей.
Приходится удивляться мужеству Лобачевского, который без моральной поддержки со стороны, окружённый непроницаемой стеной равнодушия, не пал духом и пронес свои убеждения через всю многотрудную жизнь.
Лобачевский остался верен науке даже тогда, когда на него обрушилось сразу несколько невзгод (смерть старшего сына, ухудшение материального положения, насильственное отстранение от университета). За год до смерти, будучи совершенно слепым, Лобачевский диктует своим ученикам новое сочинение, названное им «Пангеометрией», где показывает, что евклидова геометрия есть частный случай неевклидовой геометрии. Эту последнюю свою работу он с любовью посвящает Казанскому университету, где прошла вся его творческая жизнь.
24 февраля 1856 года Лобачевского не стало. Какого-нибудь десятка лет не дожил он до всеобщего признания своих людей.
Развитию и распространению идей Лобачевского содействовали своими трудами такие замечательные учёные, как
Что касается Карла Гаусса, то он также вошёл в историю создания неевклидовой геометрии Лобачевского как один из её пионеров, который вполне сознательно развивал её, но, к сожалению, не напечатал по этому поводу ни единой строчки. В письмах к своим друзьям скупой на похвалы Гаусс высоко оценивал открытие Лобачевского. Однако боязнь быть не понятым и осмеянным со стороны невежественных людей помешала Гауссу обработать свои идеи по неевклидовой геометрии и опубликовать их.
Итак, Лобачевский боролся против темноты и невежества, за организацию народного образования и просвещения в стране. Учёный требовал от каждого молодого человека, чтобы он был гражданином, «который высокими познаниями своими составляет честь и славу своего отечества». Рассматривая историческое прошлое и настоящее своего отечества, Лобачевский верил в его светлое будущее и поучал университетскую молодёжь, что «счастливейшие дни России ещё впереди».
Профессор В.Ф.Коган говорил: "Я беру на себя смелость утверждать, что было легче остановить солнце, что легче было двинуть землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение!"
Социологический опрос.
Ученикам 8-го класса было задано 3 вопроса:
- Что вы знаете о геометрии Лобачевского?
- Что вы знаете о геометрии Евклида?
- Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
Из опроса можно сделать вывод: ученики не знают, что изучают. Не знают, чьи «Начала» составили целую эпоху в развитии элементарной геометрии, кто дал возможность людям выйти в космос, и как формулируется аксиома параллельных прямых (через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна).
Доказательство V постулата.
История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии. Пятый постулат – последнее и самое сложное из предложений, включённых Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку пятого постулата: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от неё сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются.
Например, если на рисунке 1 угол α - прямой, а угол β чуть меньше прямого, то прямые c и d пересекаются, причём справа от прямой m. Многие теоремы Евклида (например, « в равнобедренном треугольнике углы при основании равны ») выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат. К тому же проверить на эксперименте пятый постулат довольно сложно. Достаточно сказать, что если на рисунке 1 расстояние |AB| считать равным 1 м, а угол b отличается от прямого угла на одну угловую секунду, то можно подсчитать, что прямые c и d пересекаются на расстоянии свыше 200 км от прямой m.
Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (пятый постулат) – лишняя, т.е. эта аксиома может быть доказана, как теорема на основании остальных аксиом. Так в V веке математик Прокл (первый комментатор трудов Евклида) предпринял такую попытку. Однако в своём доказательстве Прокл незаметно для себя использовал следующее утверждение: два перпендикуляра к одной прямой на всём своём протяжение находятся на ограниченном расстоянии друг от друга (т.е. две прямые, перпендикулярные третьей, не могут неограниченно удаляться друг от друга, как линии на рисунке 2).
Но при всей кажущейся наглядной «очевидности» это утверждение при строгом аксиоматическом изложении геометрии требует обоснования. В действительности использованное Проклом утверждение является эквивалентом пятого постулата; иначе говоря, если его добавить к остальным аксиомам Евклида в качестве ещё одной аксиомы, то пятый постулат можно доказать (что и сделал Прокл), а если принять пятый постулат, то можно доказать сформулированное Проклом утверждение. Критический анализ дальнейших попыток доказать пятый постулат выявил большое число аналогичных «очевидных» утверждений, которыми можно заменить пятый постулат в аксиоматике Евклида. Вот несколько примеров таких эквивалентов пятого постулата:
1) Через точку внутри угла, меньшего, чем развёрнутый можно провести прямую, пересекающую его стороны, т.е. прямые линии на плоскости не могут располагаться так, как показано на рисунке 3.
2) Существуют два подобных треугольника, не равных между собой.
3) Три точки, расположенные по одну сторону от прямой l на равном расстоянии от неё (рисунок 4), лежат на одной прямой.
4) Для всякого треугольника существует описанная окружность.
Постепенно доказательства становятся всё изощрённее, в них всё глубже прячутся малозаметные эквиваленты пятого постулата. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не случалось. А может быть, мы вообще никогда не придём на таком пути к противоречию? Не может ли быть так, что, заменив пятый
постулат Евклида его отрицанием, мы придём к новой, неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими представлениями, но, тем не менее, не содержит никаких логических противоречий? Это простую, о очень дерзкую мысль математики не могли выстрадать в течение двух тысячелетий после появления «Начал» Евклида. Первым, кто допустил возможность существования неевклидовой геометрии, в которой есть отрицание, был К.Ф.Гаусс. В XIX веке он принёс решение загадки пятого постулата. К этому открытию независимо от Гаусса пришёл и наш соотечественник – Н.И.Лобачевский. Как и его предшественники, Лобачевский вначале пытался выводить различные следствия из отрицания пятого постулата, надеясь, что рано или поздно он придёт к противоречию. Однако он доказал много десятков теорем, не обнаруживания логических противоречий. И тогда Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости геометрии, в которой пятый постулат заменён его отрицанием. Лобачевский назвал эту геометрию воображаемой. Свои исследования Лобачевский изложил в ряде сочинений, начиная с 1829 года. Но математический мир не принял идеи Лобачевского. Учёные не были подготовлены к мысли о том, что может существовать геометрия, отличная от евклидовой. И лишь Гаусс выразил своё отношение к научному подвигу учёного: он добился избрания в 1842 году Н.И.Лобачевского членом – корреспондентом Геттингенского научного общества. Эта единственная научная почесть, выпавшая на долю учёного при жизни. Он умер, так и не добившись признания своих идей. Рассказывая о геометрии Лобачевского, нельзя не отметить другого учёного, который вместе с Гауссом и Лобачевским делит заслугу открытия неевклидовой геометрии. Им был венгерский математик Я. Больяй (1802-1860). В геометрии Лобачевского (или геометрии Лобачевского – Больяй) сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без пятого постулата. Например, вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр; сохраняются также признаки равенства треугольников и др. Однако теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, видоизменяются. Теорема о сумме углов треугольника – первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности. Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов меньше 180°. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то равны и третьи углы. В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников. Более того, в этой геометрии существует четвёртый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна; она называется дефектом этого треугольника. Оказывается, что в этой геометрии площадь треугольника связана с его дефектом: S ΔABC= k· D ΔABC, где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов. Пусть теперь AOB – острый угол (рисунок 5). В геометрии Лобачевского можно выбрать такую точку M на стороне OB, что перпендикуляр MQ к OB не пересекается с другой стороной угла. Этот факт подтверждает, что не выполняется пятый постулат: сумма α и β меньше развёрнутого угла, но OA и MQ не пересекаются. Если начать приближать точку M к O, то найдётся такая «критическая» точка C, что перпендикуляр CD к стороне OB всё ещё не пересекается со стороной OA, но для любой точки E, лежащей между O и C соответствующий перпендикуляр EF пересекается с OA. Прямые OA и CD всё более приближаются к друг другу, но общих точек не имеют.
На рисунке 6 эти прямые изображены отдельно; именно такие неограниченно приближающиеся друг к другу прямые Лобачевский называет в своей геометрии параллельными. А два перпендикуляра к одной прямой называет расходящимися прямыми. Этим ограничиваются все возможности расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: в одной точке либо параллельны (рисунок 6), либо являются расходящимися.
На рисунке 7 перпендикуляр MQ к стороне OB угла AOB не пересекается со стороной OA, а прямые OC,EF симметричны прямым OB,MQ относительно (OA). |OM|=|MB|, так что (MQ) - перпендикуляр к отрезку OB в его середине и (EF) – перпендикуляр к OC в его середине. Эти перпендикуляры не пересекаются, и потому не существует точки, одинаково удалённой от O,B,С, т.е. треугольник OBC не имеет описанной окружности.
На рисунке 8 изображён интересный вариант расположения трёх прямых на плоскости Лобачевского: каждые две из них параллельны.
А на рисунке 9 все прямые параллельны друг другу в одном направлении. Красная линия на рисунке 9 «перпендикулярна» всем проведенным прямым. Эта линия называется окружностью предельной или орициклом. Прямые рассмотренного пучка являются как бы её «радиусами», а «центр» предельной окружности лежит в бесконечности, поскольку «радиусы» параллельны. В то же время орицикл не является прямой линией, она «искривлена».
И другие свойства, которыми в евклидовой геометрии обладает прямая, в геометрии Лобачевского оказываются присущими другим линиям. Например, множество точек, находящихся по одну сторону от данной прямой на данном расстоянии от неё, в геометрии Лобачевского представляет собой кривую линию. В 1868 году итальянский математик Э.Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой (рисунок 10) и доказал, что на такой поверхности действует геометрия Лобачевского. Если на этой поверхности нарисовать кратчайшие линии и измерять по этим линиям расстояния, составлять из дуг этих линий треугольники, и т.д., то оказывается, что в точности реализуются все формулы геометрии Лобачевского. Правда, на псевдосфере реализуется не вся плоскость Лобачевского, а лишь её ограниченный кусок, но всё же этим была пробита первая брешь в глухой стене непризнания учёного.
А через 2 года математик Клейн предлагает другую модель плоскости Лобачевского.
Клейн берёт некоторый круг K и рассматривает такие проективные преобразования плоскости, которые отображают круг K на себя. «Плоскостью» Клейн называет внутренность круга K,а указанные проективные преобразования считает «движениями» этой «плоскости». Далее каждую хорду круга K Клейн считает «прямой». Поскольку «движения» представляют собой проективные преобразования, «прямые» переходят при этих «движениях» в «прямые». Теперь в этой «плоскости» можно рассматривать отрезки, треугольники и т.д. Две фигуры называются «равными», если одна из них может быть переведена в другую некоторыми движениями. Тем самым введены все понятия, упоминаемые в аксиомах геометрии и можно производить проверку выполнения аксиом в этой модели. Например, очевидно, что через любые две точки A,B проходит единственная «прямая» (рисунок 11). Можно проследить также, что через точку A, не принадлежащую прямой a, проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих a. Дальнейшая проверка показывает, что в модели Клейна выполняются и все остальные аксиомы геометрии Лобачевского. В частности для любой прямой l (т.е. хорды круга K) и любой точки A этой «прямой» существует «движение», переводящее её в другую заданную прямую m c отмеченной на ней точкой C.
Это и позволяет проверить выполнение всех аксиом геометрии Лобачевского. Ещё одна модель геометрии Лобачевского была предложена французским математиком А.Пуанкаре (1854-1912). Он также рассматривает внутренность круга K; «прямыми он считает дуги окружностей, которые в точках пересечения с границей круга K касаются радиусов (рисунок 12).
На рисунке 13 показано, что в этой модели евклидова аксиома параллельности места не имеет. Интересно, что в этой модели окружность (евклидова), расположенная внутри круга K, оказывается «окружностью» и в смысле геометрии Лобачевского; окружность, касающаяся границы Г круга К изображает орицики, а дуга окружности, пересекающая Г (но не пересекающая радиусов),- эквидистанту. Заметим ещё, что в геометрии Лобачевского правильный n-угольник может иметь любой угол при вершине, меньший 180° (1-2/n) (т.е. меньший аналогичного угла в евклидовой геометрии). Поэтому для любого n существует «паркет», представляющий собой замощение плоскости Лобачевского правильными n-угольниками (без пропусков и перекрытий).
На рисунке 14 приведён такой «паркет», изображённый в модели Пуанкаре (замощение плоскости Лобачевского правильными восьмиугольниками). Пуанкаре придумал фантастический мир, «жители» которого должны были бы принять геометрию Лобачевского из физических экспериментов. Для этого Пуанкаре предположил, что круг К представляет собой неоднородную оптическую среду, в которой скорость света в точке A Є К равна расстоянию точки А от границы круга К. Тогда свет будет распространяться как раз по «прямым» рассмотренной модели. Свет не может за конченое время дойти до границы, и поэтому этот мир будет восприниматься его «жителями» бесконечным, причём по своим свойствам, совпадающим с плоскостью Лобачевского.
Впоследствии были предложены и другие модели Лобачевского. Этими моделями была окончательно установлена непротиворечивость геометрии Лобачевского. Тем самым было доказано, что геометрия Евклида не является единственно возможной. Это оказало большое прогрессивное воздействие на всё дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.
А в XX веке было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики, как одна из возможностей геометрий, но и посредственно связана с приложениями математики к физике. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая в работах Х.Лоренца, А.Пуанкаре, А.Эйнштейна, Г.Минковского и описываемая в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчётах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
Задачи.
1. Сможет ли самолёт оказаться в той же точке, если пролетит 1 км. на юг, 1 км. на восток и 1 км. на север?
Ответ: сможет, если он вылетит с севера.
2. В сферической геометрии окружность максимального радиуса называется «прямой» линией.
Дано:
сфера(R;О),
две прямые на сфереДоказать:
любые прямые пересекаются
Доказательство:
Вторая «прямая» полностью лежит в одной из полусфер, потому что первая «прямая» делит сферу на две половины.
Поэтому её радиус (r) < R сферы, т.е. это не «прямая», а окружность => вторая «прямая» не является прямой => любые две «прямые» пересекаются на сфере, что и требовалось доказать.
Задача 3.
Дано
сфера(R;О),
угол α =45°
ΔABCНайти:
Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью.
Решение:
AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF ( как меридианы) => угол β и угол α = 90° =>
ΔABC = угол α + угол β + угол 1 = (90°·2) + 45°= 225°.
Ответ:225о
Ниже приведены иллюстрации к задачам:
Задача 4.
Дано:
сфера(R;О),
сфера разбита на 8 частей (равных) тремя ортогональными прямыми; каждая часть является сферическим треугольником.Найти:
Сумму углов ABC.
Решение:
Так как стороны треугольника ортогональны, углы треугольника по 90° => сумма углов ΔABC = 90°· 3 = 270°.
Ответ: 270°.
