Урок алгебры в 8-м классе "Решение задач с помощью квадратных уравнений"

Цели и задачи урока:

• выработать умение применять квадратные уравнения для решения алгебраических и геометрических задач; продолжить формирование практических и теоретических умений и навыков по теме “Квадратные уравнения”;
• способствовать умению анализировать условие задач, развитию умения рассуждать, развитию познавательного интереса, умению видеть связь между математикой и окружающей жизнью;
• воспитывать внимательность и культуру мышления, самостоятельность и взаимопомощь.

Тип урока: формирование новых умений и знаний.

Комментарий к организации урока: содержание урока демонстрируется с помощью презентации, что экономит время урока. Приложение 1.

Оборудование урока: интерактивная доска, компьютер.

Ход урока.

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2.Устная работа.

1). Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 2х²-х+3=0;
б) 4х+3х²-1=0;
в) -7х+х²-0,5=0;
г) 0,7-0,5х-х²=0;
д) х²+18+3х=0;
е) 5х²=7х+24;
ж) 12х=х²- 4;
з) 6х²+7х=0;
и) х²+5=0;
к) 7,2х²=4;
л) 2х²=0;
м) х(5-х)=0.

2). Укажите среди данных уравнений приведенные квадратные уравнения.

Проверка домашнего задания

Задача. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 552, а их сумма равна 47. Найдите эти числа. Найдите арифметический способ решения.

Решение. (Один из учащихся воспроизводит решение задачи на доске, объясняет) Разделим сумму чисел на два. 47 :2 = 23,5. Поставим точку с этой координатой на числовую прямую.              23    23,5    24                 Это число заключено между целыми натуральными числами 23 и 24. Их сумма равна 47. Проверим, действительно ли произведение их равно 552, 23 * 24 =552. Ответ: 23 и 24.

3. Контроль усвоения материала (письменный опрос с последующей взаимопроверкой).

Вариант 1.

1).Напишите формулу корней квадратного уравнения ах²+вх+с=0.

2).Заполните таблицу:

Вариант 2.

1). Напишите формулу корней квадратного уравнения ах²+2кх+с=0

2) Заполните таблицу:

Творческая работа.

Составьте квадратное уравнение, используя следующие данные:

А) На гербе города Саратова изображена рыба. Посчитайте количество букв в названии и прибавьте к этому числу 1. Полученное число будет первым коэффициентом.
Ответ: Стерлядь, 8+1=9, а=9.

Б) В дате образования поселка Духовницкое сложите цифры и к сумме прибавьте 7. Полученное число будет вторым коэффициентом.
Ответ: 1778 г., 1+7+7+8=23, 23+7, в=30.

В) Наше село стоит на великой русской реке. Посчитайте количество букв в названии и возведите это число в квадрат. Полученное число будет третьим коэффициентом.
Ответ: Волга, 5, 5²=25, с=25.

Г) Все коэффициенты положительные числа. Составьте квадратное уравнение, решите его, найдите сумму и произведение корней этого уравнения. Ответ: 9у²+30у+25=0; D=0, у_1,2= -15/9; у₁ +у₂ = -15/9 + (-15/9)= -30/9= - 10/3; у*у = -15/9 * (-15/9)=225/81 =25/9.

4. Изучение нового материала (основные понятия).

(При рассмотрении решения задач опираюсь на знания учащихся, задаю наводящие вопросы, подвожу учащихся к самостоятельному решению).

Многие задачи алгебры, геометрии, физики, техники приводят к необходимости решения квадратных уравнений.

Мы с вами должны научиться проводить анализ задачи, вводить неизвестные величины, находить зависимость между данными задачи и неизвестными величинами.

Составим схему решения задач

1. Анализ условия
2. Выделение главных ситуаций
3. Введение неизвестных величин
4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами
5. Составление уравнения
6. Решение уравнения
7. Запись ответа

Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения.

Задача1. Произведение двух натуральных чисел равно 84. Одно из чисел на 5 больше другого. Найти эти числа.

Анализируем условие задачи, составляем и решаем уравнение.

Пусть меньшее из данных чисел равно х, тогда большее число равно х+5. По условию произведение этих чисел равно 84. Составим уравнение х(х+5)=84. Получили квадратное уравнение х²+5х-84=0. Решим это уравнение. D=5²-4*1*(-84)=25+336=361=19², х₁=(-5+19):2=7; х₂=(-5-19):2=-12. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 7, а большее число равно 7+5=12.
Ответ: 7 и 12.

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника.

Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см².

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см².

Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см-длина второго катета . Используя формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим уравнение: х²+7х=60 , х²+7х-60=0, D=289, х₁=-12; х₂=5. Так как длина отрезка величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.

Задача3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле h=V₀ t-gt²/2, где V_o(м/с)-начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с². Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t². Получили квадратное уравнение, решим его. 5t²-40t+60=0, t²-8t+12=0, D=16, t₁=2; t₂=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t². Из графика видно, что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Рассмотрим старинную задачу, которая решается с помощью теоремы Пифагора, но полученное при решении уравнение после упрощения оказывается линейным.

Задача 4. (Задача Бхаскары, Индия, XIIв.)

Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Решение. Пусть отрезки АВ и АС изображают лотос в двух положениях. Если АD = х – глубина озера, то ВD = 1/2, АС = х+1/2.

Составим уравнение х² + 2² = (х + 1/2)²,

Решим уравнение х² + 2² = х² +2*1/2х + (1/2)², х² + 4 - х² –х -1/4 =0, х=3 >¾. Ответ: глубина озера 3 3/4 фута.

5. Закрепление материала.

№559. (Один учащийся у доски самостоятельно решает, потом комментирует решение задачи, остальные решают на месте, проверяют решение)

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение.

Составим уравнение х(х+6)=187. Решим его: х²+6х-187=0. D=784, х=11, х=-17. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 11. Второе число равно 11+6=17. Ответ: 11 и 17.

№563. (Самостоятельная работа, с последующей проверкой)

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см². Решение. (х(23-х)):2=60. D=49, х₁=8, х₂=15. Ответ: 8 и 15.

6. Итоги урока. Мы рассмотрели задачи, которые решаются с помощью квадратного уравнения, учились видеть связь между математикой и окружающей жизнью, использовали в решении знания геометрии и физики.

7. Домашнее задание. П.23, № 560, 564,569(старинная задача). Дополнительные задания:№ 576, 557.

Индивидуальное задание: Брат и сестра собирали малину. Когда сестра собрала 2/3 своего двухлитрового бидона, трехлитровый бидон брата был почти полон. Ребята поменялись бидонами и через некоторое время одновременно закончили сбор ягод. Во сколько раз брат работал быстрее сестры?

Решение. Сначала сестра собрала 2/3 * 2 = 4/3л малины. Пусть брат собрал в k раз больше (k>1), то есть 4/3k л. Потом сестра собрала 3 – 4/3k, а брат в k раз больше: 3k – 4/3k², что составило 2 – 4/3 = 2/3 л. Составим уравнение

3k – 4/3k² = 2/3,

Откуда k = 2 (k = ¼ не удовлетворяет условию k >1). То есть брат работает быстрее сестры в 2 раза. Ответ: в 2 раза.

Результативность урока: материал к уроку подбирался с учетом лекций А.В. Шевкина “Текстовые задачи в школьном курсе математики”, использовались его рекомендации. Урок прошел с хорошей результативностью. При изучении нового материала учащиеся практически самостоятельно решали предложенные задачи. Наблюдался хороший темп урока. Задачи, связанные с окружающей жизнью разнообразили стандартные задачи из учебника.