Тип урока: урок – семинар
Цель урока: расширение практического инструментария использования свойств обратных тригонометрических функций.
Ход урока
I. Организационный момент:
Учитель знакомит с целью и планом урока.
II. Подведение к содержанию урока:
В начале урока проводится блиц-опрос по основным теоретическим аспектам темы. К доске выходят 2 желающих ученика, которые записывают свои ответы на доске. В это же время остальные учащиеся работают в тетрадях.
Вопросы блиц-опроса:
1 вариант
- Укажите D(arcsin).
- Имеет ли смысл выражение 3 arccosπ?
- Запишите формулу тангенса суммы двух аргументов.
- Укажите E(arctg).
- Закончите формулу arcctg(-a)=…
- У функции y=-3 arccos(
-1) укажите D(y), E(y)
2 вариант
- Укажите E(arсcos)
- Имеет ли смысл выражение 2arcsin(e)?
- Запишите формулу синуса суммы двух аргументов
- Укажите E(arcctg)
- Закончите формулу arcсos(-a)=…
- У функции y=4arcsin(
-1) укажите D(y), E(y)
Ответы проверяются фронтально на обратной стороне доски.
III. Практикум решения:
Таким образом, данный минимум знаний теории позволит сегодня на уроке успешно справиться с тренировочными заданиями. Обратные тригонометрические функции широко используются в различных видах заданий, а именно, упрощение и нахождение значений выражений:
№1.
Найти α+β, если tgα и tgβ являются корнями уравнения 6
-5x+1=0.
Данное задание выполняется учеником на доске с сопровождением учителя.
Решение.
а) Найдем корни уравнения 6
-5х+1=0.
; 
то по условию составим совокупность уравнений
, следовательно α=arctg
, β=arctg
.
б) α+β = arctg1/2+arctg1/3. Используя формулу тангенса суммы двух аргументов, составим и упростим выражение:
tg(α+β)=tg(arctg1/2+arctg1/3)=
=1,
то α+β=π/4+πk, k 
Z.
Ответ. π/4+πk.
№2
Вычислить sin(arcsin3/5+arccos1/3). Округлить результат до целых.
Решение проводится учениками самостоятельно с комментарием одного ученика с места.
Учащиеся приводят 2 способа решения, аналитический и геометрический подходы.
Ответ. 
; 1.
№ 3
Вычислить arctg(tg12).
Ход выполнения задания показывает на доске учитель.
Решение.
Учитывая, что D(arсctg)=(0;π), и D(arctg)=(-π/2;π/2), а также периодичность функции y=tgx, запишем (12-3π)
(0;π). Получим,
tg12=tg(12-3π)=ctg(π/2-(12-3π))=ctg(7π/2-12),
то arcctg(tg12)=arcctg(ctg(7π/2-12))=7π/2-12.
Ответ. 7π/2-12.
№4
Вычислить sin(arcctg( -
) - 
).
Используем свойство arcctg(-a)=π-arcctga то,
Sin(arcctg( - 
) - 
)=sin(π-arcctg(
)- 
)=sin(
- arcctg
)=cos(arcctg
)=
.
Ответ. 
.
При решении уравнений:
№5
sin(5arcctgx)=1.
Ученик на доске воспроизводит решение, опираясь на частный случай уравнения sint=1;
умение производить отбор корней на заданном промежутке.
Решение. 5 arcctgx= 
+ 2πn,
arcctgx= 
+ 
n,
так как, arcctgx
(0;π), то
- 
n
, n 
Z, значит, n=
, то 
,
Ответ. 0; ctg
; ctg
.
№6
arctg(2+cosx)-arctg(1+cosx)=π/4
Решим данное уравнение методом введения новой переменной :
Пусть y=1+cosx, то
arctg(1+y)=π/4+arctgy
1+y=tg(π/4+arctgy)
Y*(1+y)/(1-y)=0
Учитывая область значений функции y=cosx, получаем х=π+2πn.
Ответ. π+2πn, nЄ Z.
№7
arcsinx=arcсtgx
При решении уравнения учитывается, что х
;π/2
получаем,
x=sin(arcctgx)
x=
x=
, т.к. x Є ( 0; π/2], то
x
Ответ. 
.
IV. Подведение итогов урока, выставление оценок, баллов.
V. Домашнее задание:
Решить уравнения
- 2arcsinx+arcos(1-x)=0
- Sin(3arccosx)=1/2
+
=5
/36
Вычислить
- Cos(arcsin2/7-arccos1/3)
- Arctg(ctg6)
- Arcsin(cos10)
Построить график функции (творческая часть домашнего задания)
- Y=cos(arcsinx)
- Y=arcsin(sinx)
- Y=sin(2arctgx)