Цели урока:
- изучить основные виды логарифмических уравнений, научить методам решения простейших логарифмических уравнений и способам сведения логарифмических уравнений к простейшим;
- развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы;
- воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность, культуру умственного труда.
Оборудование и материалы.
- Мультимедийный проектор, компьютеры.
- Слайд “Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения”.
- Презентация “Методы решения логарифмических уравнений”.
- Тест для первичного закрепления.
- Раздаточный материал.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Подготовка к изучению нового материала.
Устная работа.
Вопрос 1:
Назовите основные виды уравнений.
Ответ:
Линейные, квадратные, биквадратные и другие целые уравнения; дробно-рациональные уравнения; тригонометрические уравнения; иррациональные уравнения; показательные уравнения.
Вопрос 2:
Назовите основные способы решений, являющиеся общими для уравнений различных типов.
Ответ:
Преобразование уравнения по формулам; разложение на множители; замена переменной.
Вопрос 3:
Назовите основные способы решения показательных уравнений.
Ответ:
Решение простейших показательных уравнений; приведение степеней к одному основанию; применение формул; разложение на множители; замена переменной.
Сегодня мы изучим ещё один вид уравнений: логарифмические уравнения.
III. Изучение нового материала.
Объяснение нового материала (проводится учителем у доски).
Используется мультимедийный проектор и слайд с видами простейших логарифмических уравнений. Решение примеров записывается на доске. Объяснение проводится в форме беседы.
Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.
Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения.
(Вопросы ученикам:
Сколько корней будет иметь это уравнение? Каким свойством обладает логарифмическая функция? Что называется логарифмом и как в данном случае найти число x?
Итог рассуждений: Так как логарифмическая функция монотонна, по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. По определению логарифма x = ab.
Вопросы: Каким условием определяется ОДЗ уравнения? Нужно ли тут накладывать условие x>0?
Пример (на доске).
Решение.
Ответ: 25.
(
Получается в результате аналогичных рассуждений.
Пример (на доске).
Решение.
Ответ: 1;-5.
(Вопрос:
Чем определяется ОДЗ этого уравнения?
Ответ:
Вопрос: Равны логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию. В каком случае это возможно?
Ответ: Так как логарифмическая функция монотонна, то логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.
Комментарий учителя: следовательно, для решения уравнения log a f (x)=log a g(x) нужно решить уравнение f(x)=g(x) и отобрать корни, входящие в ОДЗ исходного уравнения. Тогда исходное уравнение можно заменить равносильной ему системой двумя способами.
Первый способ:
Второй способ:
Вопрос: Почему отбрасывается одно из условий ОДЗ?
Ответ: Потому что оно будет выполняться автоматически при выполнении условий, записанных в системе.
Замечание:
Предпочтение отдают той системе, которая после будет решаться легче. Если они равноценны по сложности, то всё равно какую записывать.
Пример (на доске).
Решение.
Но x = –2 не удовлетворяет условию x > –1, следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
(приложение 1)
Вопрос: Какими условиями будет определяться ОДЗ уравнения?
Ответ:
Комментарий учителя: По определению логарифма f (x) = g (x)b, следовательно, условие
f (x) > 0 при выполнении условия g (x) > 0 будет выполняться автоматически. Тогда
Пример (на доске).
Решение.
Решим квадратное уравнение:
,
,
Но 1 не удовлетворяет второму условию системы, следовательно, не является корнем исходного уравнения.
Ответ: 2.
Изучение нового материала с помощью презентации (изучение методов решения уравнений, не являющихся простейшими).
Самостоятельная работа учеников за компьютерами. На компьютерных столах лежит раздаточный материал с вопросами
(приложение 2) , на которые ученики должны ответить после рассмотрения решений уравнений, приведенных в презентации.- К какому виду нужно привести логарифмическое уравнение, не являющееся простейшим?
- Какие из рассматриваемых в презентации методов решения вам были уже известны по применению к уравнениям других типов?
- В чём заключается особенность их применения к решению логарифмических уравнений?
- С каким новым методом решения уравнений
вы сегодня познакомились?
а). Для каких уравнений используется этот метод?
б). В чём заключается суть данного метода?
(Учитель консультирует в случае необходимости.)
Методы решения логарифмических уравнений. Логарифмирование уравнений.
1. Преобразования уравнений по формулам.
Пример.
Решение.
Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то x – 2 > 0 и x > 0. Преобразуем левую часть уравнения по формуле: log a xy = log a x+ log a y. Получим:
Решим квадратное уравнение
.
Условию x > 2 удовлетворяет только один из корней: 4. Следовательно, 4 является корнем исходного уравнения.
Ответ: 4.
2
. Приведение к одному основанию (Применение формулы перехода к новому основанию).Пример.
Решение.
ОДЗ уравнения - промежуток x > 0.
Применим формулу 
и выразим все логарифмы через логарифм по основанию 2. Получим:
Умножим уравнение на 4. Получим:
.
Число 16 входит в ОДЗ.
Ответ: x = 16.
3. Замена переменной.
Пример.
Решение.
В данном уравнении повторяется выражение: log 3 x. Значит можно выполнить замену переменной.
.
Решим квадратное уравнение.
Возвратимся к исходной переменной. Остается решить простейшие логарифмические уравнения:
4. Логарифмирование уравнений.
а) Применение логарифмов к решению показательных уравнений.
Пример.
Решение.
Данное показательное уравнение
невозможно решить обычным приведением
степеней к одному основанию. Так как числа 3
x+1
и 5 x -1
положительны и равны, то логарифмы этих
чисел по одному и тому же основанию будут
также равны. Возьмём логарифмы по основанию
10. Получим: 
.
(Пояснения к решению: преобразовали левую и правую часть уравнения по формуле “логарифм степени” log a xp =p log a x; раскрыли скобки; решили линейное уравнение; свернули получившееся выражение по формулам “логарифм произведения” и “логарифм частного”; применили формулу перехода от одного основания к другому.)
Используемый здесь метод называется почленным логарифмированием уравнений.
б) метод логарифмирования также используется при решении уравнений содержащих переменную одновременно и в основании и в показателе степени.
IV. Первичное закрепление нового материала.
Проводится обсуждение ответов на вопросы (приложение 2) и после этого ученики выполняют компьютерный тест (в Excel). (Время на выполнение теста – 7 мин)
(приложение 4)Какое из заданных чисел является корнем уравнения? (Тип теста: выбор единственно правильного ответа)
|
Уравнения |
Варианты ответов |
Правильный ответ |
|
|
а) 64; б) 81; в)16; г) 4/3 |
81 |
|
|
а) 8; б) 9; в) 1/8; г) -8 |
1/8 |
|
|
а) 4; б) 2; в) 1/2; г) -2 |
2 |
Решите уравнения (Тип теста: ввод ответа вручную с клавиатуры)
|
Уравнения |
Ответы |
|
|
32 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
13 |
Укажите способ, которым следует решать уравнение (Тип теста: выбор единственно правильного ответа)
Способы:
- Преобразование уравнения по формулам.
- Приведение к одному основанию.
- 3. Замена переменной.
- 4. Логарифмирование.
V. Итог урока. Домашнее задание.
Мы изучили основные виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения; методы приведения логарифмических уравнений к простейшим. А также познакомились с применением логарифмов к решению уравнений: методом почленного логарифмирования уравнений.
Оценки за урок выставляются с учетом результатов тестирования и устных ответов.
Дома оформить в тетради решение уравнений, рассмотренных в презентации.
Литература
- А. Н. Колмогоров и др. “Алгебра и начала анализа 10-11”, М.: Просвещение
- П. В. Чулков “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”, М.: Педагогический университет “Первое сентября”
- Вавилов В. В. и др. “Задачи по математике. Уравнения и неравенства”, М.: Наука.