Межпредметные связи как средство мотивации обучения

Введение 

Но есть одна наука, без которой
невозможна никакая другая.
Это – математика.
Ее понятия, представления и
символы служат тем языком,
на котором говорят, пишут
и думают другие науки…
С.Л. Соболев

Большое значение для повышения эффективности обучения физике имеет умение школьников применять математические знания. В этом обучающиеся часто испытывают трудности. Одной из причин является отсутствие связи рассматриваемых в курсе математики зависимостей, закономерностей, графиков от реальных процессов и явлений.

Поэтому в курсе математики необходима система задач, которые позволят обучающимся достичь более высокого уровня обобщения их знаний, сформируют понятия о практическом применении знаний и умений, полученных при изучении математики. Целью использования задач является формирование умений получать информацию о физическом процессе, исходя из его математической модели (формулы, графики).

Математика является основой теоретической физики. Это означает, что математическими методами можно моделировать физические процессы, решать физические задачи.

На занятиях по вариативной части учебного плана для расширения представлений обучающихся о значении математики для естественных наук, ее прикладного характера используются дифференциальные уравнения.

Понятие обучающимися роли математики для естественных и технических наук способствует осознанному усвоению знаний, повышает познавательный интерес к предмету.

I. Функции вида у = kх (k ≠ 0) и у = (х ≠ 0)

1. Записать формулой:

а) переменная S пропорциональна переменной t;
б) переменная z пропорциональна переменной p;
в) переменная Е обратно пропорциональна переменной R;
г) переменная z обратно пропорциональна переменной t.

Рассмотрите случаи, когда коэффициент пропорциональности (или обратной пропорциональности) равен: 2, ; .

2. По данной формуле определите вид зависимости между переменными величинами и коэффициент пропорциональности (или обратной пропорциональности):

а = , если m – const; m = ρV, если ρ – const; I = , если U– const; k = , если k – const.

3. В сосуд наливают жидкость. В какой зависимости находится масса налитой жидкости от ее объема?

Р е ш е н и е. Масса тела (m) по его плотности (ρ) и объему (V) вычисляется по формуле m = ρV; (1)

так как в данном случае ρ — const, то переменная m пропорциональна переменной V с коэффициентом ρ.

4. В металлический баллон нагнетают газ. В какой зависимости находится масса газа в баллоне от его плотности?

Решение. Здесь надо считать, что в формуле (1) V — const, поэтому переменная m пропорциональна переменной ρ .

5. Газ сжимается в сосуде поршнем. В какой зависимости находятся плотность и объем газа?

Решение. В данной ситуации m — const, поэтому, пользуясь формулой (1), заключаем, что переменная ρ обратно пропорциональна переменной V с коэффициентом m.

6. Связь между массой и величиной силы тяжести тела выражается формулой F=9,8 m. Как изменится сила тяжести, если масса увеличится в 4 раза?

Решение. Поскольку величины F и m неотрицательны, то с увеличением массы m в 4 раза сила тяжести F увеличится во столько же раз.

7. Давление р определяется по формуле p = где F - величина силы, действующей на пластину площади S перпендикулярно к ней. Как изменится давление, если площадь пластины уменьшится в 3 раза, а величина действующей на нее силы не изменится?

Решение. Если F — const, то ρ обратно пропорционально S. Учитывая, что р,

F и S — положительные величины, можем утверждать, что с уменьшением площади S в 3 раза давление р увеличится в 3 раза.

8. Несколько тел одной и той же массы сделаны из различных материалов.

Определите, будет ли возрастать (убывать) последовательность объемов тел, если тела расположить в порядке убывания их плотностей?

Решение. Воспользуемся формулой (1). В данной ситуации m — const.

Поэтому с уменьшением плотности тел последовательность их объемов возрастает.

9. Две переменные величины I и U связаны соотношением R =, где R — постоянное положительное число. Значения величин I и U показывают соответственно приборы А а Б. В какую сторону поворачивается стрелка прибора Б, если стрелка прибора А поворачивается вправо?

Решение. Из формулы ясно, что с увеличением значений переменной U значения переменной I также увеличиваются. Поэтому стрелки обоих приборов поворачиваются в одну и ту же сторону (см. рис. 1).

(рис. 1).

10. В баллоне объемом 2 м³ содержится 4 кг кислорода. Начертите график зависимости плотности кислорода от его массы в процессе расходования содержимого баллона. (Считать, что кислород расходуется полностью.)

Р е ш е н и е. В данном случае объем V — постоянная величина. Из соотношения (1) ясно, что переменная ρ пропорциональна переменной m. Графиком зависимости ρ от m служит отрезок с концами в точках с координатами (4; 2) и (0; 0), так как m принимает значения из промежутка [0; 4].

11. По графику (см. рис. 2) функции у =  (рис. 2) определите значение параметра

(рис. 2).

II. Уравнение показательного роста 

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

у'(x) = ky(x),(1)

где k - постоянная, а у(х) - искомая функция.

Уравнение (1) называется уравнением показательного роста. Оно имеет следующий смысл: для каждого значения аргумента скорость изменения функции пропорциональна значению этой функции.

Чтобы найти решения уравнения (1), можно поступить следующим образом.

Пусть у(х) — некоторое решение, т. е. y'(x) - ky(x)= 0 истинно. Умножив обе части равенства на отличный от нуля множитель е -kх, получим верное равенство

е^-kху'(х) – e^-kxky(x) = 0. (2)

Так как (е^-kху(х))' = е^-kху'(х) — ke^-kху(х), то равенство (2) можно записать так

(е -kх у (х))′ = 0,

откуда е -kх у (х) = С, или

у(х) = Сеkх, (3)

где С — произвольная постоянная.

Итак, только функции вида (3) могут быть решениями уравнения показательного роста (1). Непосредственная подстановка в уравнение (1) показывает, что при любой постоянной С функция (3) является решением уравнения (1). Таким образом, формула (3) определяет множество решений уравнения (1).

Чтобы из найденного множества решений (3) выделить определенное, нужно знать константу С. Для этого требуются дополнительные условия — так называемые начальные условия; в данном случае достаточно знать значение искомой функции при некотором значении аргумента:

у(х₀) = у₀ (4)

В самом деле, подставив начальное условие (4) в решение (3), найдем у₀ = Се^-kх,откуда С = у₀е -k. Подставив это значение С в формулу (3), получим решение уравнения показательного роста, удовлетворяющее заданному начальному условию (4):

y(x) = y₀е^k(x-x0). (5)

Мы видим, что постоянная Спо начальному условию (4) определяется однозначно; поэтому решение (5), удовлетворяющее заданному начальному условию, будет единственным.

Пример. Решить уравнение у'(х)=3у(х), если у(0) =2.

Здесь k=3, х₀ = 0, у₀ = 2; решение можно записать по формуле (5): у(х)=2е^3ж. Это будет его единственное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.

Рассмотрим некоторые приложения уравнения (1). При решении задач надо сначала составить дифференциальное уравнение, указать (исходя из условий задачи) начальное условие, а затем решить уравнение. При составлении уравнения обычно используют известные учащимся из курсов физики и химии законы.

1. Скорость прямолинейного движения.

По второму закону Ньютона,

m, (6)

где  - ускорение движения материальной точки массы m,  - результирующая всех сил, действующих на материальную точку.

Скорость движения (t) и ускорение (t) являются функциями времени t, причем, как известно,  (t) ='(t). Заметим, что действия над векторами, направленными вдоль одной прямой, на которой выбрано положительное направление, можно заменить действиями над их проекциями на эту прямую, т. е. скалярами. Таким образом, в случае движения материальной точки вдоль оси Ох равенство (6) может быть заменено равенством

mv' (t) = F, (7)

где через v'(t) и F обозначены соответственно проекции векторов '(t) и  на эту ось. Уравнение (7) описывает также и поступательное движение тела.

Такое движение можно рассматривать как движение материальной точки, находящейся в центре масс тела, под действием сил, приложенных к центру масс.

Задача. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5 м/с. На полно, ходу ее мотор был выключен; через 4 с ее скорость стала равной 1 м/с. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки, определить, через сколько секунд после выключения мотора скорость уменьшится до 4 см/с?

Р е ш е н и е. Будем считать, что лодка движется прямолинейно. Направим ось Ох вдоль движения лодки. Обозначим через v(t) скорость движения лодки в момент времени t после выключения мотора. В момент выключения мотора (t=0) скорость, по условию, равна 5 м/с, т. е.

v(0) = 5. (8)

Это — начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. Пусть масса лодки равна m. По условию, на движущуюся лодку действует сила F = - k1v(t), где k1 > 0 (знак минус указывает на то, что сила сопротивления воды направлена против скорости движения лодки). Подставив это значение F в уравнение (7) и положив =k, получим дифференциальное уравнение

v' (t) = - kv (t), k > 0,

аналогичное уравнению (1). По формуле (5) найдем его решение при начальном условии (8):

v (t) = 5е-kt = 5e

Это — начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. Пусть масса лодки равна m. По условию, на движущуюся лодку действует сила F = - k1v(t), где k1 > 0 (знак минус указывает на то, что сила сопротивления воды направлена против скорости движения лодки). Подставив это значение F в

уравнение (7) и положив =k, получим дифференциальное уравнение

v' (t) = - kv (t), k > 0,

аналогичное уравнению (1). По формуле (5) найдем его решение при начальном условии (8):

v (t) = 5е^-kt = 5e  .

Используя дополнительное условие v (4) = 1 м/с, найдем

e- k =

поэтому v (t) = 5· - это закон изменения скорости движения лодки после остановки мотора. Для ответа на вопрос задачи нужно решить уравнение v (t) = 0,04 относительно t. Решив его, получим t = 12 с.

2. Радиоактивный распад 

Из физики известно, что количество атомов радиоактивного вещества, распадающихся в единицу времени, составляет постоянную часть от количества нераспавшихся атомов.

Для каждого вида радиоактивного вещества эта постоянная часть своя, она называется постоянной распада и обозначается через λ. Другими словами: скорость распада атомов радиоактивного вещества пропорциональна наличному количеству нераспавшихся атомов, т. е.

M'(t) = -λM(t), λ > 0, (9).

где M(t)—число нераспавшихся радиоактивных атомов вещества в момент времени t, М'(t) — скорость их распада. Так как с течением времени количество нераспавшихся атомов уменьшается, то производная M'(t) отрицательна. Уравнение (9) является дифференциальным уравнением, аналогичным дифференциальному уравнению показательного роста (1). Учитывая связь между числом ядер и массой радиоактивного вещества, будем говорить просто о распаде радиоактивного вещества.

З а д а ч а. Имеется М₀ радиоактивного вещества. Если за 30 лет распадается 50% его, то через сколько времени останется 25% первоначального количества?

Р е ш е н и е. Обозначим через M(t) количество радиоактивного вещества в момент времени t. Тогда

М(0) = М₀. (10)

Это — начальное условие задачи. Решив уравнение (9) при начальном условии (10) по формуле (5), получим

M(t) = M₀e^-λt . (11)

Приняв во внимание, что М (30) = , из формулы (11) найдем e- λ =

С помощью элементарных вычислений получаем ответ на вопрос задачи: 60 лет.

3. Поглощение света

При прохождении света через воду (или стекло) некоторая его часть поглощается. Пусть на поверхность воды перпендикулярно к ней падает свет с интенсивностью А₀, интенсивность света на глубине х обозначим через А(х). Производная А'(х)—скорость поглощения света на глубине х. Из оптики известно, что для таких сред, как вода или стекло, скорость поглощения света на глубине х пропорциональна интенсивности света на этой глубине, т. е.

A'(x) = - kA(x), k > 0. (12)

Так как интенсивность света А(х) с увеличением глубины х уменьшается, то производная А'(х) отрицательна. Уравнение (12) является дифференциальным уравнением типа (1) относительно функции А(х).

Задача. Десятиметровый слой воды поглощает 40% падающего на ее поверхность света. На какой глубине дневной свет будет по яркости таким же, как лунный свет на поверхности воды, если яркость лунного света составляет ·10^-5 яркости дневного света?

Решение. Начальное условие задачи имеет вид

А(0) = А₀. (13)

Записав решение уравнения (12) при начальном условии (13) по формуле (5), получим А(х) = А0e -kx; откуда, используя дополнительное условие А (10) = 0,6A0, найдем

e^-k =

Закон поглощения света примет вид

А(х)=А₀ 

Для определения указанной в задаче глубины х получим уравнение

откуда х ≈ 247 м.

4. Концентрация раствора 

Задача. Имеется сосуд емкостью а л, наполненный водным раствором соли. В сосуд вливается вода со скоростью b л в минуту, перемешивается, и получающийся раствор однородной концентрации вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет содержаться в растворе в момент времени t, если в начальный момент (t = 0) ее было в растворе А₀ кг? Вычислить ответ, если а = 100 л, A₀=10 кг, b = 3 л в мин, t= 1 ч.

Решение. Обозначим через A(t) количество соли в растворе в момент времени t. Концентрация раствора в этот момент времени будет равна A(t)/a.

Изменение количества соли в растворе в единицу времени равно разности между количествами соли, поступающей в сосуд и выходящей из него. Но соль в сосуд не поступает, а выходит из него в единицу времени bA(t)/a. Поэтому скорость A'(t) изменения количества соли в растворе равна

A′(t)= - A(t). (14)

Знак минус указывает на уменьшение количества соли в растворе. Имеем дифференциальное уравнение типа (1) с начальным условием

А(0) = А₀. (15)

Записав решение уравнения (14) при начальном условии (15) по формуле (5), получим A(t)= А₀е . Учитывая числовые данные задачи, найдем А(60)≈1,654 кг.

Полностью текст работы приведен в приложении.