При изучении основ теории делимости натуральных чисел на уроках математики в 6 классе учащиеся, пожалуй, впервые сталкиваются с такой непростой задачей, как необходимостью обосновать и даже доказать своё утверждение, построить контрпример. Этот вид деятельности вызывает большие трудности и не всем он под силу сразу, тем не менее, его развивающее значение трудно переоценить. Поэтому всегда хочется предложить учащимся как можно больше интересных, необычных по формулировке, различных по способу решения и форме ответа заданий.
Разумеется, число задач, предложенных учебником или дидактическими материалами, их разнообразие, уровень сложности не всегда устраивают учителя. Но если в других разделах учебного материала самостоятельное «генерирование» необходимых задач является чаще всего процессом весьма трудоёмким, то придумывать задачи на делимость – одно удовольствие!
Одной из форм проверки качества усвоения материала является, как известно, «математический диктант». Ребятам нравится этот вид контроля, им всегда интересно поработать «переводчиками» с русского языка на «математический». Например, при проверке знаний по теме «Признаки делимости» можно использовать такого типа задания.
Учитель: «Я описываю число словами, вы записываете его математическими символами – цифрами».
- Наименьшее двузначное число, кратное 2 (кратное 3, 5, 9);
- Наименьшее трехзначное число, кратное 3 (кратное 2, 4, 5, 9);
- Наибольшее двузначное число, кратное 5 (кратное 3);
- Наибольшее трехзначное число, кратное 2 (кратное 3, 4, 5, 10, 25).
Разумеется, задания меняются местами, чередуются от простого к сложному. На следующем этапе предлагаются аналогичные задания, но уже использующие признаки делимости на произведение двух взаимно простых чисел – на 6, 12, 15, 30 и т.п.
- Наименьшее число, записанное только с помощью 1, кратное 3;
- Наименьшее число, записанное только с помощью 2, кратное 9;
- Наибольшее трехзначное число, записанное различными цифрами, кратное 2 (кратное 3, 4, 5, 10).
Последнее задание уже требует от учащихся не только твердых представлений о числе, цифре, наибольшем и наименьшем, хорошего знания соответствующих признаков делимости, но и глубоких размышлений, перебора вариантов, оценки их истинности. Здесь важно после проверки ответов обязательно дать слово ученику, записавшему правильный ответ, для обоснования своего решения.
- Трехзначное число, записанное с помощью только 1 и 2 , кратное 2;
- Трёхзначное число, записанное с помощью только 3 и 6 , кратное 4;
- Трёхзначное число, записанное с помощью только 2 и 5, кратное 25.
В такого типа заданиях возникает ситуация многозначного ответа, которая является непривычной, но чрезвычайно полезной. Если же в заданиях увеличивать число цифр в записи чисел, то они начинают требовать от учащихся и комбинаторного мышления. Поэтому можно на более высоком уровне формулировать их так: «Сколько чётных четырехзначных чисел можно записать только с помощью 1, 2, и 3?». Важно также обратить внимание на союз «и» в постановке задачи – он означает, что должны быть использованы все указанные цифры, а это значит, мы снова обращаемся к логическому мышлению, формируя начальные представления о логических операциях.
Закреплённые на математических диктантах знания и умения можно затем использовать и при проведении устного счёта, объединяя аналогичные задания математическими действиями, например:
- Найти сумму наибольшего трехзначного числа, кратного 3, и наименьшего трехзначного, кратного 5;
- Найти произведение наибольшего и наименьшего двузначных чётных чисел;
- Удвоить наибольшее двузначное число, кратное 5;
- Утроить наименьшее трёхзначное число, кратное 4;
- Уменьшить на 120 наибольшее трёхзначное число, кратное 9 и т.п.
Ещё одной формой работы, использованной мной при проверке знаний учащихся, был экспресс-опрос: учитель формулирует утверждение, учащиеся либо соглашаются с ним, либо нет. Своё решение они отмечают соответственно знаками «+» и «–». Эта форма работы привлекательна своей простотой, быстротой проверки и занимательностью, что весьма немаловажно на уроках в 6 классе. Составить такие утверждения, отражающие основные факты теории делимости, не составит никакого труда любому учителю, например:
- Если каждое слагаемое делится на некоторое натуральное число, то и сумма делится на это число;
- Любое натуральное число делится на единицу;
- Если сумма делится на некоторое натуральное число, то каждое слагаемое делится на это число;
- Если один множитель делится на некоторое натуральное число, то и всё произведение делится на это число;
- Если произведение делится на некоторое натуральное число, то хотя бы один множитель делится на это число;
- Если квадрат натурального числа делится на некоторое натуральное число, то и само натуральное число, делится на это число;
- Если натуральное число делится на некоторое натуральное число, то и квадрат этого натурального числа делится на это число;
- Любое натуральное число делится само на себя;
- Любое простое число – нечётно;
- Любое нечётное число – простое.
Эти и другие, подобные им утверждения, можно зашифровать буквами так, чтобы из верно выделенных утверждений можно было составить слово, тогда это проверочное задание превращается в увлекательную игру для учащихся, учитель же имеет возможность мгновенно проверять результат работы каждого по названному им слову.
Стоит также обратить внимание на такую формулировку вопросов для устного опроса, которая предполагает ответ в виде «да» и «нет», поскольку в этом случае учащимся придётся в случае утвердительного ответа привести пример числа и доказать, что оно удовлетворяет предъявленным требованиям, или доказать, что такого числа не существует. Такие вопросы можно легко составить, например:
- Можно ли с помощью только 1 записать чётное число (число, кратное 3, 4, 5, 9)?
- Можно ли с помощью только 2 записать число, кратное 3 (кратное 4,6,9)?
- Можно ли с помощью только 3 записать число, кратное 6,9?
- Можно ли с помощью только 4 записать число, кратное 3,6? и т.п.
Таким образом, учебный материал раздела, посвященного основам теории делимости, представляет собой широкое поле деятельности не только для формирования и развития различных умений и навыков учащихся, воспитания у них логического мышления, культуры математической речи, но и для творчества учителя. Двигаясь от простого к сложному, учитывая индивидуальные особенности учеников, ежедневно корректируя подбор заданий и легко создавая новые по форме и содержанию задачи, учитель добивается главного – развивает мышление учащихся и открывает для них радость познания, при этом делает это творчески, с удовольствием!