Например, сегодня на уроке алгебры мне предстоит ознакомить ребят со знаменитой теоремой Виета. Проще всего прийти в класс и добросовестно выполнить один из пунктов моего поурочного плана "Объяснение нового материала": красиво и вдохновенно рассказать о взаимозависимости между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Но ученик - " это не сосуд, который надо заполнить, а факел, который надо зажечь".
Устную разминку на этом уроке полезно выстроить так:
№1. Назовите два целых числа,
- произведение которых равно 4; пишем: 2 и 2, или -2 и -2
- произведение которых равно -48; пишем: 6 и -8, или -8 и 6
- произведение которых равно -18; пишем: 9 и -2, или -9 и 2
№2. Для каждого случая назовите сумму этих чисел.
№3. В каком случае сумма двух чисел оказалась положительной (отрицательной)?
И последний вопрос №4. А сможете ли вы найти два таких целых числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6? (2 и 4 )
(Строгий читатель потребует от нас доказательство того факта, что других целых чисел, обладающих эти свойством нет - но позже мы найдём время об этом поговорить с ребятами).
На предыдущих уроках мы научились решать приведённые квадратные уравнения x2 + px + q = 0.
Мои дети пришли на урок после физики, биологии, географии, и их голова калейдоскопически переполнена информацией, а потому вслед за устным счётом нелишним будет решить нам вместе уравнение x2 - 6 x + 8 = 0, так как даже простые, но фундаментальные основы знаний и умений требуют постоянного повторения и закрепления.
x2 - 6 x + 8 = 0
p=-6, q=8
D=p2 - 4q
x1 = (-p - 
) /2 , x2 = (-p + 
) /2
x1 = 2, x2 = 4
А мы ведь в начале урока говорили про эти два числа 2 и 4: сумма их 6, а произведение их 8. x1 + x2 = 2+4 = 6 (заметим, что p=-6 )
x1 *x2 =2* 4 =8 (заметим, что q=8 )
Случайная ли это зависимость? Можно ли из этого единичного наблюдения сделать вывод, что так оно и будет для всех приведённых квадратных уравнений?
На столах у детей карточки, содержание которых отражает предстоящее нам сейчас на уроке математическое исследование. По задумке учителя это исследование должно привести к рождению гипотезы, предшествующей окрытию детьми теоремы о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.
Вот как выглядит карточка с заданием на исследование:
| x2 + 3x - 108 = 0 | Ответы на вопросы |
| Найти корни этого приведённого квадратного уравнения, если они существуют. | x1 = x2 = |
| Найти сумму корней этого уравнения | x1 + x2 = |
| Сравни сумму корней с р - со вторым коэффициентом уравнения | x1 + x2 = :: , р =:. |
| Найди произведение корней | x1 * x2 = |
| Сравни произведение корней с q - со свободным членом уравнения | x1 * x2 =::. , q = :.. |
| Сформулируй гипотезу о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения | Записывать не надо, приготовиться к устному ответу. |
По результатам проведённого исследования проводим фронтальное обсуждение. На экран выводятся все квадратные уравнения и значения сумм и произведений их корней.
| x1 | x2 | x1 + x2 | р | x1 * x2 | q | ||
| 1 | x2 - 6x -7 =0 | 7 | -1 | 6 | -6 | -7 | -7 |
| 2 | x2 - 15x +26 =0 | 13 | 2 | 15 | -15 | 26 | 26 |
| 3 | x2 + 7 x - 44 =0 | -11 | 4 | -7 | 7 | -44 | -44 |
| 4 | x2 + 25x +100 =0 | -20 | -5 | -25 | 25 | 100 | 100 |
| 5 | x2 - 17x +72 =0 | 8 | 9 | 17 | -17 | 72 | 72 |
| 6 | x2 + 3x -108 =0 | -12 | 9 | -3 | 3 | -108 | -108 |
| 7 | x2 - 6x -27 =0 | 9 | -3 | 6 | -6 | -27 | -27 |
Гипотеза сформулирована. Но можно ли, исследовав всего 7 уравнений, даже
7 тысяч уравнений, утверждать, что сумма корней любого приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Нет, конечно. Попробуем либо опровергнуть это предположение, либо строго доказать его. И тут наступает подходящий момент проверить единственное домашнее задание к этому уроку, где требовалось завершить записи:
x1 + x2 = (-p - ) /2 + (-p + ) /2 = :::
x1 * x2 = (-p - ) /2 * (-p + ) /2 = :::
Проверяем домашнее задание и чётко высвечиваем ответы
x1 + x2 = - p , x1 * x2 =q
Так, оказывается дети, ничего не подозревая, ещё дома доказали, что наша гипотеза может быть окончательно сформулирована как утверждение, верное для любого приведённого квадратного уравнения с неотрицательным дискриминантом.
Большего за один урок мы не успеем. На дом попросим найти эту теорему в учебнике и рассказать о ней на следующем уроке; знать формулировку и доказательство. Вы даже не сообщайте пока, что она вошла в математику как теорема Виета. Пусть это для них будет собственное открытие. Можно поручить группе восьмиклассников рассказать об этом замечательном математике на одном из последующих уроков алгебры.
Уроки геометрии тоже предоставляют учителю богатейшую возможность поставить ученика в ситуацию "переоткрытия открытий".
Предлагаю школьникам задачу.
Градусные меры двух углов треугольника 17о и 83о.
Найти третий угол. (мы ещё не знаем и не доказали теорему о сумме внутренних углов треугольника)
Давайте обратимся к моделям треугольников, лежащих на столах учеников.
"Не бойтесь разрушить треугольник, отделите порознь все три угла, и сложите их на своих столах по правилу сложения углов.
Что у вас получилось?". У всех сумма этих углов составила развёрнутый угол в 180о. "Обратите внимание, ребята, все треугольники были с разными углами. Среди треугольников оказались и прямоугольные треугольники (поднимите, покажите их нам), и тупоугольные (показывают), и остроугольные (показывают). А сумма всех внутренних углов каждого оказалась 180о.
Формулируем гипотезу: сумма внутренних углов любого треугольника равна 180о. А дальше работаем по учебнику, где приведено доказательство общности этого утверждения для любого треугольника.
Теперь вернёмся к задаче. "А теперь мы сможем с вами найти величину третьего угла?" Ученики быстро находят:
180о - 17о - 83о = 80о.
На одном из следующих уроков обратимся к листам, лежащим на столах учеников. На них нарисован треугольник и раскрашены внешние его угла, взятые по одному. Отрезаем эти углы и складываем их последовательно по правилу сложения углов.
Все убеждаются, что сумма градусных мер внешних углов треугольника равна 360о. Но это лишь гипотеза. Пробуем поискать доказательство этого утверждения. Увы, в учебнике его нет, там будет ещё рассматриваться теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника, но не скоро.
Доказательство дети найдут с вашей минимизированной помощью: 180о*3 - сумма пар углов при вершинах А, В, и С треугольника АВС (один внутренний, один внешний). Осталось вычесть сумму внутренних углов.
180о*3 - 180о = 360о, что и требовалось доказать.
Верьте в детей, они способны открывать уже открытые кем-то истины; так им учиться интереснее, чем на лекциях, где мы сообщаем готовый набор накопленных человечеством сведений о числах, фигурах, о взаимозависимости величин и т.п.
Надеюсь мой опыт вам пригодится.