Открытый урок в 8-м классе "Теорема Пифагора"

Галинурова Лира Камиловна

Разделы: Математика

Цели урока: уметь формулировать и доказывать теорему Пифагора; решать задачи с применением теоремы Пифагора.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.
II. Объяснение нового материала.

1) Из истории теоремы Пифагора.
2) Доказательство теоремы.

III. Решение задач.
IV. Домашнее задание.
V. Итог урока.

I. Проверка домашнего задания, устный опрос по теме “Площадь”; № 478 – 481.

II. Объяснение нового материала.

1) Об истории теоремы рассказывают ученики класса.

Первый ученик.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель – моралист Плутарх, греческий ученый III века Диоген Лаэрций и многие другие.

Второй ученик.

Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель – романист А. Шамиссо, который в начале XIX века участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле “Рюрик” написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро.
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закление и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.

Третий ученик.

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до нашей эры), но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Четвертый ученик.

2) На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора. Приведем некоторые из них.

Итак, формулировка теоремы:

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов” (формулировка написана на плакате).

Пятый ученик.

Доказательство 1.

(Приложение 1).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с. Докажем, что .

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна и квадрата со стороной с, поэтому

т.о. откуда , что и требовалось доказать.

Шестой ученик.

Доказательство 2.

(Приложение 2).

Одно из древнейших доказательств дано, как полагает Прокл, Евклидом и изложено им в “Началах”. Как формулировка, так и доказательство теоремы Пифагора имеют у Евклида чисто геометрический характер. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ВАС он строит соответствующие квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе равновелик сумме квадратов, построенных на катетах, следующим образом:

значит

Отсюда следует, что треугольники ABD и FBC равны (по двум сторонам и углу, заключенному между ними). Но треугольник АВD равновелик половине прямоугольника BDLJ (ВD – общее основание, LD – общая высота), а треугольник FBC составляет половину квадрата HFBA (FB – общее основание, АВ – общая высота). Значит, квадрат HFBA равновелик прямоугольнику BDLJ. Аналогично доказывается, что прямоугольник GKCA равновелик прямоугольнику CELJ, откуда и следует нужное утверждение.