Работа над ошибками – одна из основных форм преодоления пробелов в знаниях и умениях учащихся. Эта работа приносит пользу только тогда, когда она находится постоянно в центре внимания учителя.
Разбор ошибок полезен ещё потому, что, ознакомившись с какой-нибудь ошибкой и проанализировав её, ученик в какой-то степени застраховывает себя от повторения таких ошибок в будущем. Кроме того, работа над ошибками может служить хорошим средством для достижения точности определений, точности формулировок теорем. Разбирая ошибки, которые появляются в процессе учёбы, ученики учатся шлифовать каждое слово в своём ответе. А это имеет немаловажное значение.
О значении своевременного реагирования на ошибки известный чешский педагог Ян Амос Коменский писал: “Любая ошибка превращается из маленького “снежка” в большой “снежный ком” неуспеваемости, если на эту ошибку сразу же не реагировал учитель при непременном привлечении самого учащегося к её осознанию и последующему труду, направленному на её полное преодоление”.
На каждом уроке учитель сталкивается с различными видами ошибок, с необходимостью их исправления. Учитель поступает правильно, если не торопится сам исправить ошибку, а привлекает для этого учащихся. Нужно дать понять ученику, к чему может привести его ошибка.
Например: Учитель задаёт вопрос: “Почему два данных треугольника равны?”. Ученик отвечает: “Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны”.
Чтобы отвечающий ученик и ученики,
которые не заметили ошибки, лучше осознали
неправильность формулировки, нужно
предложить им построить 
АВС
(где 
С
- тупой), а затем
.
Треугольники АВС и 
удовлетворяют формулировке, которую дал
ученик, но они не равны. После выяснения
ошибки ученик как правило даёт правильный
ответ. Конечно же, такое исправление ошибок
способствует повышению качества знаний
учащихся, активизирует их мышление и служит
целям развивающего обучения.
Целенаправленная работа над ошибками требует их систематизации. При этом главную роль должны сыграть группы ошибок, которые объединены общими причинами их появления, общей методикой работы над ними. Такая систематизация ошибок позволяет наметить пути их исправления и предупреждения этих ошибок в дальнейшем.
Какие же наиболее характерные ошибки допускают учащиеся при работе:
1. Ошибки и недочёты, которые обусловлены невниманием к формированию теоретико-множественных представлений учащихся:
- ошибки, связанные с недостаточно чётким владением понятиями множества, элемента множества, отношения принадлежности, равенства множеств;
- ошибки, которые возникают в результате недостаточно чёткого владения операциями пересечения и объединения множеств.
2. Ошибки, которые связаны с недостаточной логической подготовкой учащихся:
- ошибки, связанные с непониманием структуры теоремы;
- ошибки, которые обусловлены непониманием зависимости между прямой и обратной теоремами;
- ошибки, связанные с непониманием метода доказательства от противного.
3. Ошибки, которые допускают учащиеся из-за отсутствия и неустойчивости самоконтроля.
Рассмотренные ошибки и недочёты типичны на всех ступенях обучения.
Для осуществления целенаправленных мер по исправлению и предупреждению ошибок учителю необходимо систематически изучать ошибки учащихся, выявлять наиболее устойчивые и типичные из них, вести учёт распространённых и индивидуальных ошибок учащихся. Знание учителем типичных ученических ошибок, а также причин их возникновения и форм проявления даёт ему возможность предвидеть и предупреждать их появление. Достичь этого можно путём подбора таких упражнений, которые препятствуют образованию односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.
Ошибки учащихся, которые регистрирует и учитывает учитель, помогают ему установить, что не понимают учащиеся, что ими плохо усвоено; это даёт возможность учителю своевременно ликвидировать пробелы в знаниях учащихся и внести соответствующие коррективы в дальнейшее преподавание с целью предупреждения повторения аналогичных ошибок.
Чтобы определить сущность допускаемых учащимися ошибок, необходимо проследить ход рассуждений, который приводит к такому ошибочному решению, установить этап, на котором зарождаются такие ошибки. Как показывает опыт, часто учащемуся непонятен не весь материал, а лишь какая-то его часть. Выявив, что именно непонятно ученику, можно сосредоточить на этом материале всё внимание, не отвлекаясь на те моменты, которые уже усвоены.
Допускаемые учеником ошибки свидетельствуют не только о недостатках его знаний, но и о потенциальных возможностях. Ошибки служат также показателем проблем, которые могут быть поставлены перед учеником, а иногда они приводят к созданию проблемных ситуаций, которые необходимы в данный момент для развития действий.
Ни в коем случае нельзя снижать оценок ученикам за ошибки в процессе поиска. Очень важно приучить их не бояться допускаемых ошибок. Ошибки, допускаемые учениками, надо исправлять тактично, обоснованно, привлекая к этой работе самих учащихся.
Боязнь допустить ошибку сковывает инициативу ученика. Боясь ошибиться, он не будет сам решать поставленную проблему, а станет ждать помощи от учителя. Он будет решать только лёгкие проблемы. Но без такого самостоятельного решения задач с последовательно нарастающей сложностью не может происходить интеллектуальное развитие. Во многих случаях по этой причине учащиеся проявляют робость и интеллектуальную пассивность, что в дальнейшем приводит к неуспеваемости.
Очень оживлённо воспринимаются учащимися “Задачи на выявление ошибки”. Речь идёт не только о софизмах, но и об ошибках, которые допускают сами школьники. Не нужно специально исправлять каждое ошибочное утверждение школьника. Лучше поставить это утверждение на обсуждение всего класса и добиться осознанного исправления ошибки. Если они и не допускают ошибок, то всё же нередко целесообразно проверить, насколько они “устойчивы” против типичных ошибок.
Например: Найти ошибки:
Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.
Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей: а) умения обнаружить ошибку; в) умения её объяснить и исправить.
В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:
- проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;
- проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;
- оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;
- проверка аналитического решения графическим .
Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочёты типа описок, пропуска цифр.
Например, рассмотрим задачу: “За неделю завод выпустил 130 холодильников, выполнив месячный план на 25%. Сколько холодильников должен выпустить завод за месяц по плану”.
Пусть решение ученика выглядит так: 
.
Ошибка становится очевидной, если перед
решением ученик прикинет в уме: “За неделю
завод выпустил 130 холодильников.
Следовательно, за месяц он выпустит больше.
Значит, ответ должен быть больше, чем 130”.
Такая прикидка в уме полезна при решении
задач с дробными числами и процентами.
В жизненной практике в чертежах, схемах, расчётах, с которыми ребята будут встречаться, могут быть и ошибки. Если не научить их критически относиться к данным, то могут быть и аварии, и брак, и серьёзные упущения в работе. Чтобы этого избежать, необходимо формировать у учащихся умение анализировать данные, способность обнаруживать встречающиеся ошибки и обосновывать ошибочность положения.
Польский математик Г. Штейнгауз, отмечая большое значение работы над математическими ошибками для активизации мыслительной деятельности учащихся, пишет: “Если учащегося заверить, что в предложенном ему доказательстве есть ошибка, то можно быть уверенным даже без специальной проверки, что материал будет изучен полностью и очень тщательно”. Поэтому составление списка математических ошибок и использование его в учебных целях является одним из важных факторов повышения эффективности обучения.
Таким образом, важную роль в предупреждении ошибок играет продуманная организация изучения нового материала. Изучение нового материала надо строить так, чтобы ученик был активным участником этого процесса. Не надо бояться, если при первом изложении материала им будут допускаться ошибки, высказываться необоснованные выводы. Важно, чтобы те или иные ошибки в понимании материала исправлялись в зародыше, чтобы ученики воспринимали материал осознанно.
Такому подходу к изучению нового материала способствует создание проблемной ситуации и решение её учащимися под руководством учителя. На таких уроках ученики проходят через следующие стадии: поиск нового, возможное появление ошибок в процессе поиска нового, обоснованное опровержение этих ошибок, снова поиски, в результате которых приходят к правильной догадке, и, наконец, доказательство составленного в поисках предложения. Всё это способствует развитию математического мышления.