Цели урока:
- показать широкие возможности использования равносильных переходов при решении уравнений,
- показать некоторые нестандартные приёмы при решении иррациональных уравнений.
Анализ решения уравнений при проведении ЕГЭ показывает, что с уравнениями обычно складывается странное положение. Эти задачи не считаются обычно трудными, и большинство решающих с ними, по их мнению, справляются. В то же время, многим не засчитываются эти решения из-за грубых ошибок.
Почему же так происходит?
Дело в том, что у многих, окончивших среднюю школу, имеется огромный разрыв между приобретёнными техническими, вычислительными навыками и сознательным пониманием тех теоретических и логических основ, без которых правильно решать уравнения невозможно.
Упростить уравнение с помощью безошибочно проведённых выкладок может большинство, но заметить, как и почему эти выкладки приводят к приобретению или потере решения может далеко не каждый, а очень многие об этом даже и не задумываются.
Или взять вопрос о проверке. Одни считают, что это прихоть учителей, которой нужно волей или неволей подчиняться. Другие проверяют всё подряд. Такие мнения основаны на непонимании того, что такое проверка и какое значение она должна занимать в решении.
Короче говоря, всякий должен владеть тем теоретическим минимумом, который необходим для решения уравнений.
Остановимся на этом минимуме! [1]
1. Прежде всего, что такое ОДЗ – область допустимых значений уравнения?
Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называется множество значений неизвестного, при котором имеют смысл (определены) его левая и правая части.
Рассмотрим уравнения:
Уравнение 1:
ОДЗ 
,
ОДЗ 
.
При решении уравнения ОДЗ изменилась. Но это ли привело к появлению посторонних корней, мы узнаем позже.
Уравнение 2:
ОДЗ 
ОДЗ 
При решении уравнения ОДЗ изменилась. Но это ли привело к появлению посторонних корней, мы узнаем позже.
Прежде ответим на следующие вопросы.
2. Какое уравнение является следствием другого?.
Ответ: Если все корни первого уравнения, являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.
3. Какие уравнения являются равносильными?
Ответ: Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
4. Какие преобразования приводят к нарушению равносильности?
Ответ: Посторонние корни могут получиться:
- при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные,
- при возведении в чётную степень,
- использование различных логарифмических формул, в частности заменяя
на 
, мы расширяем ОДЗ уравнения, - при взаимном уничтожении подобных членов, может произойти снятие ограничений, при которых уничтожаемые слагаемые должны иметь смысл, и тем самым может произойти расширение ОДЗ.
Все эти преобразования приводят к образованию новых корней, которые можно отбросить с помощью проверки или следить, чтобы равносильность не нарушалась.
Также равносильность может нарушиться в другую сторону, т.е. может произойти потеря корней, что потом восстановить будет невозможно. Это может быть в следующих случаях:
- при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное,
- обратная замена логарифма произведения на сумму логарифмов приводит к сужению ОДЗ, и поэтому недопустимо, при переходе к новому основанию логарифма,
- введение универсальной тригонометрической подстановки.
- Какие преобразования приводят к уравнению следствию?
Ответ: Все преобразования, которые ведут к расширению области корней, или оставляют её неизменной, приводят к уравнению следствию.
6. Одинаков ли будет ответ на эти два вопроса (4 и 5)?
Ответ: как видим ответы разные.
Равносильны ли уравнения? Объясните, какое преобразование было выполнено при переходе от первого уравнения ко второму и может ли оно привести к нарушению равносильности?
и 
; (Да)
и 
; (Да)
и 
; (Нет)
и 
; (Да)
и 
. (Нет)
Значит при переходе ко второму уравнению в случаях а), б), г) нужна оговорка (они равносильны в своей ОДЗ), а в случаях в) и д) нужно наложить условие (в случае «в»: 
, в случае «д»: 
).
При каком условии равносильны уравнения:
и 
Ответ: при 
. 
и 
Ответ: при 
.
Вернёмся к уравнениям:
Уравнение 1:
(I)
Решение:
(II)
- посторонний корень.
Ответ: 
.
Вопрос: За счёт чего появился посторонний корень?
Ответ: Т.к. уравнение 
является уравнением следствием не только для уравнения 
, но и для постороннего уравнения 
. Таким образом при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут.
Уравнения (I) и (II) неравносильны, но они равносильны на области 
.
Заменим уравнение (I) на равносильную систему:
Рассмотрим Уравнение 2:
(III)
Решение:
(IV)
- посторонний корень,
Ответ: 
.
Вопрос: За счёт чего появился посторонний корень?
Ответ: За счёт расширения ОДЗ.
Уравнения (III) и (IV) неравносильны, но они неравносильны в ОДЗ первого уравнения, то есть заменим (III) на равносильную систему:
Рассмотрим следующие уравнения:
Уравнение 3: 
[3]
Уравнение 4: 
[3]
Уравнение 5: 
[3]
Все эти уравнения имеют вид 
.
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное уравнение 
. Поэтому
[2]
При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую.
Применяя данный способ, решим каждое из этих уравнений.
Уравнение 3:
Решение:
Ответ: 
Уравнение 4:
Решение:
Ответ: 
Уравнение 5:
Решение:
.
Ответ: корней нет.
Перейдём к логарифмическим уравнениям:
В тетрадях своих учащихся, я встретилась со следующими решениями логарифмических уравнений. Ребята были уверены, что решили всё правильно. Получив тетрадь разочаровывались, увидев оценку ниже, чем рассчитывали. Вам предстоит найти эти ошибки:
Пример 1:
(I)
Решение:
(II)
Ответ: 
.
Пример 2:
(I)
Решение:
(II)
Т.к. 
, то корней нет
Ответ: корней нет.
Ошибки состоят в следующем: в процессе решения в обоих случаях уравнение (I) заменено на уравнение (II), не являющееся его следствием. В этом случае имеется корень уравнения (I), не являющийся корнем уравнения (II). Поэтому произошла потеря корня. В примере 1 
, В примере 2 
.
В примере 1 корень был потерян при переходе к другому основанию логарифма. Перейдя к основанию
, тем самым было исключено из ОДЗ число 
, которое является корнем исходного уравнения.
В примере 2, убрав показатель 4, нужно было перейти к равносильному уравнению вида
.
Подведём итог:
Таким образом, в процессе решения, каждое уравнение заменяется на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть новые корни. Проследить за изменением корней, не допустить потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.
Нестандартные приёмы при решении уравнений.
Кроме того, хочется сказать, что не всегда уравнения решают по алгоритму. Хотя внешний вид уравнений стандартен, но требует нестандартного подхода.
Уравнение 1: 
.
Решение «в лоб» даёт уравнение четвёртой степени, которое решить практически невозможно. Используем для решения метод оценки:
, 
, поэтому сумма
.
Делаем вывод: корней нет.
Уравнение 2: 
Решение: Данное уравнение можно решить стандартным способом, что приводит к «большим» числам в квадратном уравнении.
Однако, его можно решить проще: один корень легко находится подбором, это 
. Левая часть уравнения - сумма возрастающих функций есть функция возрастающая, т.е. монотонная на своей области определения, каждое своё значение принимающая при одном значении аргумента. Т.е. и значение 5 она принимает один раз при 
.
Ответ: 
.
Уравнение 3: 
Решение: заметим, что сумма коэффициентов в каждом подкоренном выражении равна 0. Значит корень уравнения 
.
Возможно предположить, что ОДЗ состоит только из этого числа. Найдя ОДЗ, убеждаемся, что так оно и есть. Значит корень уравнения один 
.
Ответ: 
.
Уравнение 4: 
Решение: т.к. левая часть является суммой двух неотрицательных слагаемых, то от уравнения перейдём к равносильной системе:
Ответ: 
.
Уравнение 5: 
[1]
Это уравнение можно переписать в виде
.
Итак, степени равны, основания равны. Чтобы не потерять корней, посмотрим, может ли основание быть равным 0 или 1. Так как выражение 
не имеет смысла, то число 0 не входит в ОДЗ, а потому 
не является корнем уравнения. Напротив, 
, очевидно, является корнем. Будем теперь искать корни, отличные от 0 и 1. Тогда, применяя указанное правило, получим 
, откуда находим второй корень уравнения 
.
Ответ: 
, 
.
Конечно, невозможно указать все методы решения «нестандартных» задач. Здесь приходится применять и графики, и самые различные свойства функций, и неравенства, и – последнее по счету, но первое по важности – логику.
Вывод: Сегодня на уроке мы постарались охватить тот минимум теоретических знаний, который необходим для решения уравнений. Знание этого минимума позволяет нам решать уравнения не допуская ошибок.
Список литературы:
- Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов «Пособие по математике для поступающих в вузы». Издательство «Наука» 1970.
- С.И. Колесникова «Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена». Издательство «Айрис-пресс» 2006.
- Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс Б) за курс средней школы. 11 класс». Издательство «Дрофа» 2006.