Часть I. Что такое «алгебра»
Сценка
Встречаются два одноклассника:
1-й ученик: Ты что делаешь?
2-й ученик: Да вот, читаю «Дон-Кихота» Сервантеса. Послушай, здесь написано, что когда Дон-Кихот был ранен в одном из поединков, то верный оруженосец Санчо Панса привел из соседнего городка алгебраиста.
1-й ученик: Почему позвали алгебраиста, ведь нужен был врач, а не математик?
2-й ученик: Да потому, что в испанском и португальском языках слово «алгебра» означает хирургию, а алгебраист – это костоправ.
1-й ученик: Тогда почему же часть математики назвали алгеброй? Ничего не понимаю. Ведь, например, все ясно с биологией: «биос» – жизнь, «логос» – учение, получилось «учение о жизни», с географией тоже ясно: «гео» – земля, «графо» – пишу, «землеописание», геометрия – «землемерие».
А что такое алгебра?
2-й ученик: Этот термин пришел к нам из Средней Азии, Хорезма.
Мухаммед бен Муса аль Хорезми (Мухаммед сын Мусы из Хорезма), член «Дома Мудрости», около 820 года нашей эры написал книгу, название которой «Краткая книга об исчислении аль-джебры и аль-мукабалы».
Это исчисление о решении уравнений оказало большое влияние на развитие математики, а само слово «аль-джебр» стало названием науки – алгебра. На русский язык слово «аль-джебр» перевели как восстановление члена уравнения в другой части, но с противоположным знаком.
1-й ученик: А, теперь, понятно, костоправ тоже восстанавливает орган.
2-й ученик: Аль-мукабала означает приведение подобных слагаемых. Слово «алгоритм» произошло благодаря искажению слов Аль-Хорезми при передаче их в латинской транскрипции.
Как мы решаем уравнение? Например, 5х – 3 = х + 7
1-й ученик: Чтобы решить это уравнение, мы сначала переносим члены из одной части в другую, меняя при этом знаки, потом приводим подобные слагаемые.
2-й ученик: В стихотворной форме это звучит так:
Аль-джебр
При решеньи уравненья,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член вычитаемый,
Мы к обеим частям,
С этим членом сличив,
Равный член придадим,
Только с знаком другим,
И найдем результат нам желательный.
Аль-мукабала
Дальше смотрим в уравненье,
Можно ль сделать приведенье.
Если члены есть подобны,
Соединить их удобно.
1-й ученик: Спасибо, теперь я знаю, что слово “алгебра” означает восстановление, пришло к нам из названия книги о решении уравнений “Китаб аль-джебр валь-Мукабала”, которую написал Мухамед из Хорезма в начале IX века нашей эры.
Часть II. Зачем буквы в алгебре?
Разговаривают двое учащихся:
1-й ученик: Тебе какой предмет больше нравится: алгебра или геометрия?
2-й ученик: Конечно, геометрия. Там хоть рисунков много, а в алгебре всё больше буквы, да ещё и латинские. С числами как всё было просто. И зачем только этими буквами нам мозги забивают!
1-й ученик: А ты запиши в виде равенства переместительный закон умножения?
2-й ученик: Пожалуйста, 2 * 3 = 3 * 2
1-й ученик: Разве этот закон действует только для двух чисел 2 и 3?
2-й ученик: Почему, 4 * 5 = 5 * 4
1-й ученик: Значит, только для этих четырёх чисел?
2-й ученик: Вот привязался! Ну ладно, ab = ba, где a и b – любые числа.
1-й ученик: Ну вот видишь, вместо бесконечного числа числовых равенств можно записать с помощью букв только одно.
А если бы не было букв, как бы записали формулы: S = vt, S = ab?
А ещё буквы облегчают нам решение многих задач. Давай посмотрим сценку по рассказу А.П. Чехова “Репетитор”.
Антон Павлович написал о том, как гимназист Егор Зиберов занимается с ленивым и бестолковым мальчиком Петей Удодовым.
Вы попробуйте решить задачу тоже (аршин – 71,12 см)
Учитель берет задачник и диктует:
Зиберов: “Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное – 3 рубля.”
Повторите задачу:
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова ни говоря, начинает делить 540 на 138.
Зиберов: Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем так...продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получается 3 с остатком и бысто стирает.
“Странно,” – думает он, ероша волосы и краснея. Как же она решается? Гм... Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая...
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
“Гм!...Странно...Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8! Так, чтоли? Нет, не то...”
Решайте же! – говорит о Пете.
Ну, что думаешь?
Отец: Задача-то пустяковая! – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
Зиберов: Это задача, собственно говоря, алгебраическая – говорит он. – Ее с иксом и игрэком решить можно. Впрочем можно и так решить.
Я вот разделил... понимаете? Теперь надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу к завтраму... Подумайте...
Петя ехидно улыбается, Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик 7 класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
Отец: И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
Вот-с...по-нашему, по-неученому.
Учителю становится нестерпимо жутко.
Чтобы вам тоже не было нестерпимо жутко, как Егору Зиберову, составьте систему
С системой уравнений решить проще. Значит, буквы облегчают нам решение многих задач.
Решение задачи из рассказа А.П. Чехова “Репетитор”
Первый способ
- Предположим, что цена всего сукна 3 рубля, тогда 138 аршин будут стоить 414 рублей. А заплатили 540 рублей, т.к. было сукно и по 5 рублей
- 540 – 414 = 126 рублей – разница в стоимости
- 5 – 3 = 2 рубля – разница в цене
- 126 : 2 = 63 аршина – по 5 рублей
- 138 – 63 = 75 аршин по 3 рубля
Второй способ
- Пусть было х аршин по 5 рублей, тогда 138 – х аршин по 3 рубля, 5х рублей – стоимость сукна по 5 рублей, 3(138 – х) рублей – стоимость сукна по 3 рубля. Всего 540 рублей
5х + 3(138 – х) = 540,
5х + 414 – 3х = 540,
2х = 126
х = 63 - 138 – 63 = 75
Третий способ
Пусть было х аршин по 5 рублей и у аршин по 3 рубля. Всего 138 аршин стоимостью 540 рублей.
Ответ: 63 аршин по 5 рублей, 75 аршин по 3 рубля.
Русский писатель XVIII века Кантемир, очень образованный человек для своего времени, писал: “Алгебра есть часть математики весьма трудная, но и преполезная, понеже служит в решении труднейших задач всея математики”.
Часть III. Новеллы об ученых
1. Заслуги Диофанта
В древности учёные-математики решали уравнения, все записывая только словами, что было очень громоздко и неудобно.
И вот в III веке нашей эры замечательный александрийский учёный Диофант впервые стал обозначать неизвестную величину буквой, он же придумал знак для вычитания. Но, конечно, основная заслуга его была в том, что он дал решения многих неопределённых уравнений.
О жизни Диофанта ничего не известно. По преданию на его надгробии была надпись в стихах. В переводе это звучит так:
Путник! Здесь прах погребён Диофанта,
И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло счастливое детство,
Двенадцатая часть протекла ещё жизни –
Пухом покрылся тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.
Прошло пятилетие.
Он был осчастливлен рождением премилого первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажите мне,
Сколько лет жизнь Диофанта длилась в этом мире прекрасном.
Прожил он 84 года
2. Омар Хайям – учёный и поэт.
Лучше мыкать нужду и невзгоды с орлом,
Чем с презренным сидеть за обильным столом.
Лучше чёрствую корку глотать в одиночку,
Чем халвой угощаться с вельможным ослом.
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.
Эти полезные правила годятся и нам с вами. А ведь эти замечательные стихи были написаны более VIII веков назад. Их автор Омар Хайям – персидский и таджикский математик, астроном, философ и талантливый поэт.
Он изучал уравнения третьей степени. Лишь через 400 лет после смерти Хайяма европейские ученые продвинулись в теории таких уравнений дальше него.
Как настоящий ученый, Хайям был скромен, он сознавал, что лишь очень небольшая часть всех тайн Вселенной известна ему, и поэтому он пишет:
Меня философом враги мои зовут,
Однако, – видит бог, – ошибочен их суд.
Ничтожней много я: ведь мне ничто не ясно,
Не ясно даже то, зачем и кто я тут.
3. Франсуа Виет – “отец алгебры”
Франсуа Виет – французский математик XVI века. Его называют “отцом алгебры” за его весомый вклад в развитие этой науки.
Он ввел буквенное обозначение коэффициентов при неизвестных.
Помните, ax² + bx + c = 0
Он установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений не только второй степени.
- x1 + x2 = - b/a
x1 * x2 = c/a
По праву в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова,
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе b, в знаменателе а.
Теорему Виета теперь знают все школьники. Какая высокая честь для ученого! Какая по-настоящему вечная память и слава!
4. Победа Николо Тартальи
Сегодня ученый, сделав какое-либо открытие, стремится рассказать о нем на научной конференции, опубликовать статью в научном журнале. Совсем не так было в XVI веке. Сделав открытие, средневековый мыслитель обычно скрывал его как можно дольше.
Первым решил уравнение x³ + px = q итальянский математик Даль Ферро (XV-XVI в). Один из его учеников Антонио Фиор знал об этом открытии, и он решил этим воспользоваться.
В эти годы были распространены поединки между математиками. Фиор рассчитывал на победу. Его соперником стал небогатый учитель математики Николо Тарталья, т.е. заика. Соперники обменялись тридцатью задачами, на которые отводилось 50 дней. Тарталья справился со всеми задачами за 2 часа, а Фиор не смог решить ни одной из задач, предложенных его противником.
Победа простлавила Н. Тарталью на всю Италию.
Часть IV. Странное уравнение (софизм)
Сценка
1-й ученик: Ты что изучаешь сейчас на уроках алгебры?
2-й ученик: Разложение многочлена на множители.
1-й ученик: А как это сделать?
2-й ученик: Ну, например, можно вынести общий множитель за скобки. Хочешь покажу?
Предположим, имеем уравнение. 3х – 6 = 2х – 4.
В обеих частях вынесем общий множитель за скобку. Получим 3(х – 2) = 2(х – 2)
Обе части равенства можно поделить на одно и то же число.
Разделим на (х – 2), получим 3 = 2.
Ой, что это у меня получилось!
1-й ученик: А почему так получилось? Давай решим уравнение по-другому.
3х – 2х = 6 – 4
х = 2
2-й ученик: Значит в первом случае мы разделили левую и правую части уравнения на 0, поэтому получили, что 3 = 2. На нуль делить нельзя! В следующий раз надо быть поосторожнее.
Заключение.
Значение современной алгебры выходит далеко за пределы учения об уравнениях. Алгебра широко применяется в любом разделе математики, в естествознании и технике. Она продолжает бурно развиваться и в настоящее время.
Используемая литература:
- А.П. Подашов “Вопросы внеклассной работы по математике в школе” – Москва, 1962.
- Г.И. Глейзер “История математики в школе” – М.: ”Просвещение”, 1982.
- Л.Ф. Пичурин “За страницами учебника алгебры” – М.: “Просвещение”, 1990.
- И. Депман “ Рассказы о старой и новой алгебре” – Ленинград, 1967.