Задачи, решаемые с помощю интегралов

1. Закрепить и углубить знания по теме « Определённый интеграл».
2. Совершенствовать навыки и технику интегрирования.
3. Развивать интерес к науке «математика».

План урока – семинара (на доске):

1. Немного теории.
2. Решение задач (типовые задачи).
3. Тест для всех…
4. «Устно!»
5. За страницами нашего учебника. «Группы! Вперед!..»
6. Проверь себя.
7. Итог урока.

Начинается урок с двух задач, при решении которых необходимо вспомнить уже известную ранее теорию: определение и свойства определенного интеграла.

Условия задач (заранее записаны на доске):

1. Вычислить
   Ответ: 9
2. Вычислить
   Ответ:√3/2

Пока учащиеся решают задачи на доске, остальным несколько вопросов по теории:

• Сформулируйте определение определённого интеграла.
• Перечислите свойства определённого интеграла (вспоминаем по цепочке).
• Возвращаемся к решению задач.

Вопросы отвечающим:

• Какие свойства определенного интеграла использовались при решении первой задачи?
• Второй способ решения задачи №2 (использовать геометрический смысл интеграла).

После того как мы немного вспомнили с вами теорию, обратимся к основным типам задач, связанных с приложениями интеграла. Одной из основных задач является вычисление площадей фигур.

Класс выполняет задание тренировочного теста (Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский «Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10-11 классов» -М.:Новая школа,1996.(пример18,с.48)). (см. Приложение 1)

После сдачи ответов учителю, тест проверяется фронтальным опросом.

Вместе с заданиями теста учащиеся получили вопросы «Устно!». (см. Приложение 2)

Вспомним еще немного теорию (вопросы 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Мы повторили сейчас, как вычисляются площади плоских фигур, используя определение и свойства определенного интеграла. А сейчас давайте немного расширим круг задач о площадях фигур.

(Класс ранее был разбит на две группы, каждая группа должна подготовить сообщение по известной ей теме.)

Группа 1. Применение геометрических преобразований для вычисления

площади фигуры с помощью интеграла. (Математика в школе,1981г.,№4)

Группа 2. Применение обратных функций при вычислении площадей фигур.

(Математика в школе,1980,№5)

Расширив наше представление о применении интегралов к вычислению площадей фигур, и представление о том, как решение при этом упрощается, обратимся к следующей группе задач, решаемых с помощью определенного интеграла.

В курсе геометрии мы решали задачи на вычисление длин отрезков прямой, длины окружности и вычисления дуг окружностей. В прикладной математике часто требуется найти длину дуги плоской кривой и площадь поверхности вращения.

Группа 3. Вычисление длин дуг произвольных кривых и площадей поверхности,

образованной вращением дуги графика функции. (А.Г.Мордкович,

А.С.Солодовников «Математический анализ». М. «Высшая школа» 1990, с.213)

Еще одним типом задач, решаемых с помощью интеграла, является задачи на вычисление объемов тел.

Группа 4. Объемы тел (объем шарового слоя). («Геометрия» под ред.Г.Н.Яковлева)

Группа 5. Интегралы рядом с нами (задача «о каше»). (Математика в школе,1989г.№3)

Вычисление объемов тел, оказывается, тесно связано с жизнью. Ведь многие из вас уже сталкивались с задачей «о каше» у себя на кухне, а сейчас увидели ее математическое решение.

Заканчивается семинар проверочной работой (см. Приложение 3)

В заключение еще раз перечисляются те виды задач, для решения которых применяются интегралы, подводятся итоги, оценивается работа класса.

-Найти площадь поверхности шара.

-Определить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=arcsinx, осью абсцисс и прямыми х=1\2, х=1.