Урок геометрии в 11-м классе на тему "Это "коварное" расстояние, или Вычисление расстояния от точки до плоскости"

Разделы: Математика

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Цели:

  • дидактическая: обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Расстояние от точки до плоскости»; активизировать работу учащихся на уроке за счёт вовлечения их в различные способы решения задач.
  • развивающая: развивать логическое мышление учащихся в области математики, сообразительность, умение быстро ориентироваться в изображениях геометрических фигур, умение строить геометрические фигуры по условию задач, тренировать память.
  • воспитательная: воспитывать внимание; формировать вычислительные навыки, эстетические навыки при оформлении записей и построении чертежей.

Средства наглядности:

  1. Переносной компьютер с проектором для демонстрации.
  2. Раздаточный материал для решения задач на уроке.
  3. Карточки с текстом задания на дом.

Девиз урока: “Слушай внимательно, мысли логически, записывай решения правильно, черти правильно изображения фигур, соответствуя условию задач”.

Доска к началу урока: На доске записаны дата и тема урока: «Это «коварное» расстояние. На обратной стороне доски начерчен чертеж к задаче 4, и записаны ответы на тестовые задания.

Ход урока

1. Организационный этап.

2. Постановка целей.

Сегодня на уроке нам предстоит повторить и обобщить ваши теоретические знания, практические умения и навыки по теме «Это «коварное» расстояние» (или «Вычисление расстояния от точки до плоскости»).

Слово «коварный» в словаре русского языка трактуется как «лукавый, хитрый, замышляющий». И нам с вами предстоит выяснить, какое коварство скрыто при вычислении расстояния от точки до плоскости.

3. Повторение и коррекция опорных теоретических знаний.

Давайте вспомним основные теоретические понятия, которые сегодня нам с вами будут необходимы при решении задач.

Демонстрация презентации. <Приложение>

IV. Применение ЗУНов в стандартных ситуациях.

(Решение задач на готовых чертежах)

Задача 1. <Слайд 9>

Решение <Слайд10>

Дополнительный вопрос: В чем здесь «коварство» расстояния?

Задача 2. <Слайд11>

Решение <Слайд12>

Задача 3. <Слайд13>

Решение <Слайд14>

V. Оперирование ЗУНами в нестандартных ситуациях. (Решение более сложных задач)

Задача 4. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Дано: шар (О,R), R=5см, ∆АВС, АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см.

Найти: ОМ.

Решение:

1. Рассмотрим ∆ АВС со сторонами 13, 14, 15 см. Пусть АВ=а, ВС=b, AC=c. Тогда Simage205= - (формула Герона); где p =; p = = 21(см) Simage210=image212= 84 (смimage213)

2. Simage214АВС = pr , где r – радиус вписанной окружности Simage215= 21r image217 84 = 21r image217 r = 4 см. 3. Пусть ОМ=h, тогда himage218 =Rimage219- rimage220 - (т. Пифагора) image217 h = image222 = 3 (см) image217 ОМ = 3 см.

Ответ: ОМ = 3 см.

Задача 5. В ∆ АВС угол С – прямой, угол А равен α, СВ = a. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем DCCA, DC CB.Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если -яр, проведенный из точки D к прямой АВ, образует с плоскостью АВС угол β.

Дано: ∆АВС, С=900,

A=α , СВ = а,

D(АВС), DСCA,

DСCВ, DMАВ,

(DM, (ABC))=β. Найти: ρ (D,ABC)

Решение:

 

Рассмотрим ∆АВС - прямоугольный. Т. к. А=α image217 В=900-α.

По условию DMАВimage217СМ  АВ (по теореме о трех перпендикулярах) image217∆ СМВ – прямоугольный image217 или  image217 CM = a*cos α. (1)

По условию DСCA, DСCВ image217DC (ABC) – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости image217DCCM. Т. о. ∆ DCM – прямоугольный. Значит DC = =CM*tg β. С учетом (1), получаем DC = a ∙ cos α∙ tg β.

Ответ: DC = a ∙ cos α∙ tg β.

Задача 6. Найдите расстояние SH от точки S(1,6,-7) до плоскости (АВК), заданной точками А(-1,2,-3), В(5,8,-3), К(-1,8,-6).

Дано: S(1,6,-7) , А(-1,2,-3),

В(5,8,-3), К(-1,8,-6).

Найти: HS.

Решение:

Пусть ;

; . Тогда

, (1)

. (2)

Очевидно, .

image217

Уравнения (1) и (2) принимают вид

6(2 - 6n) + 6(4 - 6k) = 0, 6(4 - 6n - 6k) – 3(- 4 + 3k) = 0.

Решив систему этих уравнений, получаем:

k = ; n =  image217  image217 .

Ответ: HS = .

VI. Групповая дифференцированная работа. (резерв)

Сильным учащимся предлагается решить следующую задачу: <Слайд15>

Даны две параллельные плоскости и множество треугольников, таких, что в каждом треугольнике две вершины принадлежат первой из двух данных плоскостей, а третья вершина — второй. Какую фигуру образует множество всех точек пересечения медиан треугольников?

Решение: Чертеж <Слайд16>

Пусть даны две параллельные плоскости α и β . Из данного множества треугольников выберем произвольный треугольник АВС, в котором вершины А и В принадлежат плоскости α, а вершина С - плоскости β. Пусть М — точка пересечения медиан этого треугольника, а СС1 — одна из медиан. Через точку М проведем прямую КЕ, перпендикулярную данным плоскостям, так что К, Е. Можно доказать, что треугольники КМС1 и ЕМС подобны, причем ЕМ:МК=СМ : МС1 = 2:1. Таким образом, каждая точка искомого множества отстоит от плоскости α на одно и то же расстояние, равное  расстояния между плоскостями. Значит, искомое множество есть плоскость, параллельная плоскостям α и β.

Остальные учащиеся работают по карточкам и выполняют небольшие тестовые задания:

 1 вариант 2 вариант
1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют разную длину;

б) расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной плоскости;

в) равные наклонные, проведенные к плоскости из одной точки, имеют разные проекции;

г) проекцией точки на плоскость является точка;

д) углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и неперпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

2. Концы отрезка, пересекающего плоскость, находятся соответственно на расстоянии 3см и 2см от нее. Величина угла между данным отрезком и плоскостью равна 300. Найдите длину отрезка.

а) 2см; б) 4см; в) 6см; г) 8см; д) 10см.

 1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) Перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины;

б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая;

в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин;

г) прямая, проведенная к плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции;

д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

2. Отрезок, длина которого равна 16 см, пересекает плоскость. Его концы находятся соответственно на расстоянии 5 см и 3 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

а) 300; б) 450; в) определить нельзя; г) 600; д) 900.

VII. Подведение итогов урока.

Итак, подведем итог нашего урока. Мы повторили необходимую теорию и рассмотрели различные способы решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости. Что же мы сегодня повторили? В чем же состоит коварство этого расстояния?

VIII. Домашнее задание и его инструктаж.

Домашнее задание учащиеся получают на карточках.

Решите задачи:

  1. Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АВ и АС, длины которых относятся как 5 : 8. Найти расстояние от точки А до плоскости α, если проекции наклонных соответственно равны7 см и 32 см.
  2. Стороны прямоугольника АВСD равны 4 см и 8 см. Через сторону АВ этого прямоугольника проведена плоскость. Ортогональная проекция прямоугольника АВСD на эту плоскость – квадрат. Вычислите расстояние от вершины С до этой плоскости.

Дополнительная задача для сильных учащихся:

Даны две параллельные плоскости α и β и множество треугольников, таких, что одна сторона каждого треугольника лежит в плоскости α, а середина другой – в плоскости β. Какую фигуру образует множество вершин этих треугольников, не принадлежащих плоскости α?

Литература

  1. Василевский А. Б. Задания для внеклассной работы по математике: 9-11 классы. Кн. для учителя. – Мн.: Народная асвета, 1988. – 175 с.: ил.
  2. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.: ил.
  3. Геометрия. 10-11 классы: самостоятельные и контрольные работы к учебнику Л. С. Атанасяна. Разрезные карточки/ сост. М. А. Иченская. – Волгоград: Учитель, 2007.-153 с.
  4. Задачи по геометрии для 7-11 классов/Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. – М.: Просвещение, 1991. – 171 с.: ил. – (Библиотека учителя математики).
  5. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с.: ил.