Занятие математического кружка в 6-м классе "Секрет арифметических фокусов"

Ни одно человеческое исследование
не может назваться истинной
наукой, если оно не прошло через
математические доказательства.
Леонардо да Винчи

Цели занятия:

1. Развитие вычислительных навыков, логического мышления, способностей самостоятельного поиска путей решения задач, интереса к изучению математики;
2. Расширение кругозора и повышение интеллектуальной активности учащихся; стимулирование стремления к творчеству.

Оборудование:

• презентация,
• игральные кубики,
• шахматные фигуры,
• счетные палочки,
• кольцо.

План занятия:

1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.

Ход занятия

1. Организационный момент. Постановка цели занятия (слайд 1).

Учитель: сегодня мы проводим первое занятие математического кружка в этом учебном году. Тему занятия мы с вами узнаем чуть позже. А сейчас поработаем устно.

2. Актуализация опорных знаний.

1. Выполните цепочку простейших вычислений (слайд 2).
2. Найдите сумму цифр данных чисел (слайд3).
3. Разложите на разрядные слагаемые числа (слайд3):
4. Ответьте на вопросы (слайд 4):
   Каким числом является сумма двух четных, двух нечетных, четного и начетного чисел?
   Каким числом является произведение двух четных, двух нечетных, четного и начетного чисел?

3. Изучение нового материала (слайд 5).

Учитель: итак, основную часть нашего занятия мы посвятим арифметическим фокусам. Арифметические фокусы – это эксперименты, основанные на свойствах чисел и действий, математических законах. И понять суть того или иного фокуса – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность. Математических фокусов очень много, они появились вместе с возникновением математики, как науки. Их можно найти в различной литературе, а можно придумать и самим. Сегодня на нашем занятии мы не только познакомимся с некоторыми из них, но и попробуем разгадать их секреты.

КОМПЬЮТЕР.

Фокус 1. «Отгадывание суммы очков на открытых гранях» (слайд 6).

Учитель: мне нужен помощник, сложите три игральных кубика столбиком. Введем в компьютер число очков на верхней грани столбика., и компьютер угадает сумму очков на гранях, по которым кубики соприкасаются, и на самой нижней грани (слайд 7).

Секрет фокуса (слайд8). В самом деле, если бы складывались очки, соответствующие всем горизонтальным граням трех кубиков, то есть очки, соответствующие трем парам взаимно противоположных граней кубиков, то такая сумма составляла бы ровно 21 (3 ·7 = 21). Но в сумме, обусловленной зада­чей, не участвует число очков, соответствующих верхней грани. Вы­читая это число из 21, мы получим искомую сумму.

Фокус 2. «Белая пешка» (слайд 9).

Учитель: готовясь к игре в шахматы, партнер тайно от вас зажимает в один кулак белую пешку, а в другой - черную. Вам хочется выбрать белую, и вы, при помощи несложного фокуса беретесь угадать, в каком она кулаке: правом или левом. Вы говорите партнеру: (слайд 10) "Оценим черную пешку числом 1, а белую числом 2. Числовое значение пешки, зажатой в правой руке, умножь на какое хочешь четное число, а числовое значение другой пешки умножь на любое нечетное число. Сложи результаты и объяви последнюю цифру суммы. Теперь я скажу безошибочно, в какой руке белая пешка". А у нас это угадает компьютер (слайд 11).

Секрет фокуса (слайд 12). Если объявленное число четное, то белая пешка в левой руке, а если нечетное, то в правой. Произведение четного числа на нечетное — четно, нечетного на нечетное - нечетно, сумма двух четных чисел - четна, а сумма четного и нечетного - нечетна.

Фокус 3. «Сколько палочек в кулаке?» (слайд 13)

Учитель: для показа этого фокуса возьмем коробочку с 20 палочками. Мне нужен опять один помощник. Вытяните из коробка несколько палочек (не больше 10) и положите в карман. Пересчитайте оставшиеся в коробочке палочки. Допустим, их 14. Это число нужно «выписать палочками» на столе следующим образом: единица изображается одной палочкой, положенной слева, а четверка – четырьмя палочками, положенными несколько правее. Эти пять палочек берутся из числа оставшихся в коробочке. После этого палочки, изображавшие число 14, тоже кладутся в карман. Достаньте из коробка ещё несколько палочек и зажмите их в кулаке. Сейчас я высыплю палочки из коробка на стол, введу одно число в компьютер и компьютер угадает число палочек, зажатых в кулаке (слайд 14).

Секрет фокуса (слайд 15).Количество палочек, спрятанных в карман за два шага всегда равно 11, а оставшееся в коробке - 9. Вычитаем из 9 число палочек, рассыпанных на столе, и получаем ответ.

Фокус 4. «Угадывание возраста и дня рождения» (слайд 16).

Учитель: сейчас мы узнаем совершенно точно, когда каждый из вас родился. Для этого я попрошу сделать ряд вычислений, которые вы должны выполнить аккуратно и правильно (слайд 17). Слушайте внимательно и выполняйте. Порядковый номер месяца вашего рождения умножайте на 100. К полученному произведению прибавьте число месяца. Теперь полученную сумму умножьте на 2 и к новому произведению прибавьте 8. Новую сумму надо умножить на 5 и к полученному произведению прибавить 4. Умножьте опять полученную сумму на 10 и опять прибавьте 4. Затем прибавьте полное число ваших лет. Назовите окончательный результат. Введите полученное число в компьютер. Компьютер угадает дату вашего рождения и ваш возраст (слайд 18).

Секрет фокус (слайд 19). Допустим, это будут числа 101676 и 50964. В уме отнимаем от написанных чисел всегда 444, и остаток разбиваем справа налево на группы по две цифры в каждой (слайд 20):

Последние две цифры показывают полное число лет; вторая группа — число месяца, а первая группа - порядковый номер месяца. Объявляйте первому человеку: "Вам 32 года, вы родились 12 октября". Второму человеку говорите: "Вам полных 20 лет, вы родились 5 мая". Если обозначить порядковый номер месяца буквой а, число месяца - в, а число полных лет - с, то все производимые выше вычисления будут выражены следующей формулой:

(((100а+в)·2+8)·5+4)·10+4+с=10000а+100в+444+с. Если отнять число 444, то получается: 10000а+100в+с.

Фокус 5. «Математические забавы из «Арифметики» Л.Магницкого» (слайд 21)

Учитель: первое упоминание о математических фокусах встречаются в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого с длинным названием “Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена…”, опубликованной в 1703 году и содержащей начала математических знаний того времени.

Одна глава книги была названа автором “Об утешных некиих действах, через арифметику употребляемых”. Эта глава содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Вот один из фокусов…

Я попрошу выйти к доске несколько учениц. Сейчас мы узнаем, кто из них взял перстень, на какой палец надел его и на какой именно сустав пальца. Сначала договоримся о номерах участниц, пальцев и суставов (слайд 22).

Сейчас я попрошу вас выполнить следующие действия: номер, взявшего перстень умножить на 2; к произведению прибавить 5; сумму умножить на 5; к полученному числу прибавить номер пальца, результат умножить на 10; к произведению прибавить номер сустава; введем полученный результат в компьютер, который угадает у кого перстень, на каком пальце и на каком суставе одет (слайд 23).

Секрет фокуса (слайд 24). От полученного в результате арифметических действий числа нужно отнять 250: в остатке первая цифра слева - это номер взявшего кольцо, вторая - номер пальца, третья - номер сустава. Пусть, например, перстень взял 6-й ученик и надел его на 3-й сустав безымянного пальца (то есть 4-го пальца), тогда: ((6·2+5) ·5+4) ·10+3=893

• 893-250=643
• 6·2·5·10=600
• 4·10=40
• 5·5·10=250.

Фокус 6. «Математическая забава М. Ю. Лермонтова» (слайд 25)

Учитель: все вы знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.

Вот отрывок из воспоминаний однополчанина поэта Е. И. Мейделя о забавном случае, связанном с пребыванием Михаила Юрьевича в крепости (в Анапе) «… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: "Задумайте какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру". В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: "Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!" Поэт улыбнулся: "Колдун - не колдун, а математике учился", и раскрыл секрет фокуса…»

Вот один из фокусов М.Ю. Лермонтова: задумать любое число, прибавить к нему 25, прибавить еще 125, отнять 36, вычесть задуманное число, остаток умножить на 5, полученное число разделить на 2. Посмотрите на экран компьютера. Получится 285 (слайд).

Секрет фокуса (слайд 26).(а + 25 + 125 – 36 - а) · 5 : 2 = 114 · 5 : 2 = 285.

Как видно, в процессе выполнения действий задуманное число а исключается, и собеседник выполняет остальные действия только над теми числами, которые дает сам отгадчик. Вместо чисел 25, 125, 36, 5 и 2 можно брать, конечно, и другие числа, но тогда и ответ будет иной.

Фокус 7. «Математический фокус Дэвида Копперфильда» (слайд 27)

Учитель: фокусы знаменитого американского иллюзиониста восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством его воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособлений. Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее Копперфильду удалось найти эффектную подачу одного такого фокуса (слайд 28).

Фокусник размещает на экране пятнадцать предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке - 12, а в хвостике - 3. Можно кружки заменить предметами. Задумайте любое число больше трех и отсчитайте его сверху вниз, начиная с первого кружка, по хвостику и далее по колечку против часовой стрелки. Затем снова посчитайте предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором вы остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка. Удивительно то, что в результате вы все указываете на один и тот же кружок, который угадал и компьютер.

Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбором. Они основаны на том, что, независимо от варианта схемы (количества предметов на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число.

Секрет фокуса. Итак, независимо от того, какое первоначальное число задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки наложить на колечко по часовой стрелке, начиная с предмета, следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке. Все остальные манипуляции фокусника - лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт (слайд 28).

Легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех): только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть на кольцо - основную фигуру для манипуляции. Узнав секрет фокуса, его можно изменить по собственному усмотрению.

Фокус 8. «Удивительные часы» (слайд 29)

Учитель: некоторая вариация описанного фокуса Дэвида Копперфильда - угадывание задуманного числа на циферблате часов.

Задумайте какой-нибудь час (от 1 до 12). Задуманный вами час запомните. Теперь я буду указкой постукивать по часам. Каждый раз, когда постучу, прибавляйте к задуманному вами числу по одному. Когда вы досчитаете до двадцати, остановите меня. В этот момент моя указка укажет на часах задуманное вами время.

Секрет фокуса. Вначале нужно ударять указкой по циферблату по любым делениям до семи ударов. Восьмым ударом показывается число 12, а потом с каждым ударом перемещаемся влево (11, 10, 9 и т.д.) Когда вы скажете: "Довольно", — указка будет стоять на том часе, который вы задумали. Расчет очень простой. Всего будет ударов (20-х). Когда будет сделано восемь ударов, указка покажет число 12. С этого момента мы делаем еще столько ударов, сколько не достает вам до двадцати, так как, двигаясь влево, будут показываться числа, последовательно уменьшенные на единицу.

Следует заметить, что совсем не обязательно просить зрителя прекращать счет именно на двадцати. Фокусник может предложить ему самому выбрать число для окончания счета, нужно лишь, чтобы оно было больше двенадцати. Но есть одно условие: зритель должен предупредить фокусника, на каком числе он собирается остановиться. Тогда, как вы уже догадываетесь, необходимо отнять от этого числа 12, чтобы получить число прикосновений к циферблату, которые можно сделать наугад, прежде чем коснуться числа 12 и начать двигаться последовательно против часовой стрелки.

4. Подведение итогов занятия.

5. Постановка домашнего задания (слайд 30).

Всем учащимся раздается индивидуальное творческое задание:

1. Разобрать фокус с карточки; показать фокус и объяснить его секрет на следующем занятии.

2. Придумать свой фокус.

Фокусы для домашнего задания:

«Лесной» фокус

Узнаете деревья по нарисованным веткам? Правильно: клен, дуб, ива. Теперь замените каждую букву цифрой, но так, чтобы ни одна цифра не повторялась. Сложите образовавшиеся числа и объявите в любом порядке все цифры результата, кроме любой одной. Найдите сумму объявленных цифр и введите ее в компьютер. Компьютер покажет утаенную цифру.

Секрет фокуса. Сумма десяти цифр равна 45 независимо от их расположения в трех слагаемых, следовательно, делится на 9. Сумма чисел, образованных из этих цифр, является числом, кратным 9, следовательно, и сумма его цифр должна делиться на 9. Поэтому, чтобы выявить утаенную цифру, надо сложить объявленные цифры; тогда число, дополняющее эту сумму цифр до ближайшего числа, кратного 9, определит утаенную цифру. (Например, получилось 13, тогда 18-13=5).

«Таинственные квадраты в календаре»

Выделите из календаря на любой месяц квадрат 4Х4, содержащий 16 чисел. Выберите наибольшее из них и введите в компьютер. Компьютер угадает сумму всех шестнадцати чисел выбранного квадрата.

Секрет фокуса. Если р - наибольшее число в указанном квадрате, то всякий такой квадрат имеет вид:

и сумма всех чисел квадрата равна 16р-192=16(р-12).

(Например, пусть наибольшее число – 24, тогда 16(24-12)=192).

 «Мгновенное умножение трехзначного числа на 999»

Можно мгновенно умножить любое трехзначное число на 999. Например, 573·999=572427.

Секрет фокуса. В результате умножения получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности: 573·999= 573·(1000-1)= 573000-573 =572427.

«Число Шахерезады»

Напишите на бумажке (не показывая) трехзначное число, а затем припишите еще раз то же самое число. Полученное шестизначное число разделите сами (или предложите любому другому) разделить, не показывая, без остатка на 7. Результат деления еще раз разделите сами (или передав другому ученику) без остатка на 11, а затем на 13. После троекратного деления должно получиться загаданное число.

Секрет фокуса. Вспомним, что приписать к трехзначному числу его само – значит, умножить его на 1001 – число Шехерезады. Но 1001=7·11·13. а в результате деления последовательно на эти три числа оно должно снова дать полученное число.

 «Число из любимой цифры»

Скажите, у кого какая любимая цифра (например, 5). Выполните умножение числа 15873 на 35 (любимая цифра, умноженная на 7) или числа 12345679 на 45 (любимая цифра, умноженная на 9). Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Секрет фокуса.

1) 15873·7=111111, 11111·5=555555, значит, 15873·35=555555.

2) 12345679·9=111111111,111111111·5=555555555,

значит, 12345679·45=555555555.

«Быстрое суммирование»

Можно удивить своих товарищей искусством суммирования чисел. Сделать это можно так. Напиши на классной доске какое-нибудь многозначное число, например, 450678. Можешь написать любое число, пусть только число единиц вэтом числе будет не меньше 2. Предложи далее кому-нибудь из товарищей подписать под этим числом, как делается при сложении, любое число, имеющее столько же знаков. Вслед за этим сам подпиши третье слагаемое, цифры которого дополняли бы соответствующие цифры второго слагаемого до 9. Пусть затем кто-либо из товарищей подпишет любое четвертое слагаемое (с тем же числом знаков). Пятое слагаемое подпиши также сам, как и третье. Сумму получившихся пяти чисел ты можешь написать моментально. Начни сединиц. Их должно быть на 2 меньше, чем в первом числе. Дальше последовательно перепиши все цифры первого числа и впереди поставь 2. Вот и все. На доске получится, например, такая запись:

• 450678
• 329157
• 670842
• 257934
• 742065
• 2450676

То же самое можно проделать, взяв не пять, а семь слагаемых. Только в этом случае число единиц в сумме будет на 3 меньше числа единиц первого слагаемого и впереди придется писать не 2, а 3.

 «Угадайте задуманное число»

В своей книге "Арифметика" Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа: "Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число".

Секрет фокуса. ((2а+5)·5+10+в)=10а+в+35.

«Угадайте сумму цифр задуманного числа»

Предложите каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Спросите у любого участника: какая сумма получилась? Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного числа. Секрет фокуса. Пусть, например, задумано число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14+15+45+41+51+54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 - сумму цифр задуманного числа.

Литература:

1. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов. М.: Просвещение, 1999
2. Т.Первушкина. Математические фокусы. Математика/ приложение к газете «Первое сентября» №13, 2007
3. Ф.Ф.Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка.. М.: Просвещение, 1988
4. Б.А. Кордемский, А.А.Ахадов. Удивительный мир чисел. М: Просвещение, 1975
5. Е.А. Гик. Занимательные математические игры. М: Знание, 1987.
6. Угринович Н.Д. Информатика: Учебник для 7 класса / Н.Д. Угринович – 5-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 173 с.