Четные, нечетные и периодические функции

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Образовательная:

  • Повторить с учащимися понятия четной, нечетной и периодической функций, свойства графиков указанных функций. Закрепить эти знания в ходе выполнения упражнений, в том числе заданий ЕГЭ.

2. Развивающая:

  • Развивать познавательный интерес, мышление, память.
  • Развивать навыки самостоятельного применения знаний при решении задач по данной теме.

3. Воспитательная:

  • Воспитывать адекватную самооценку, добросовестное отношение к учебному труду, терпимость и уважение.

Тип урока: урок закрепления ранее изученного.

Оборудование: классная доска, мел, раздаточный материал, плакаты, компьютер, мультимедиа проектор.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (2 мин.)

а) Позитивный настрой учащихся.

б) Сообщение цели и задач урока.

Сегодня мы с вами повторим определения и свойства четных, нечетных и периодических функций. Данная тема очень важна, так как полученные знания помогут вам в дальнейшем при построении графиков различных функций, изучении свойств этих функций и выполнении заданий ЕГЭ.

II. Актуализация знаний (10 мин.)

а) 3 ученика (сильные учащийся) выполняют задания на доске.

Задание 1. Дан фрагмент графика четной функции f(х), которая определена на [-7; 7]. Достройте график функции f(х) и ответьте на следующий вопрос: Каким свойством обладает график четной функции?

Задание 2. Дан фрагмент графика нечетной функции f(х), которая определена на [-7; 7]. Достройте график функции f(х) и ответьте на следующий вопрос: Каким свойством обладает график нечетной функции?

Задание 3. На рисунке изображена часть графика периодической функции, имеющий период 3. Постройте график этой функции на отрезке [-6;6] и ответьте на вопрос: Каким свойством обладает график периодической функции?

Ученики, выполнив задания, садятся на свои места.

б) В это время фронтальная работа с классом. Слабые учащиеся могут в это время пользоваться папками консультаций.

Дайте определение области определения функции.

Дайте определение четной функции.

Дайте определение нечетной функции.

Назовите тригонометрические функции, которые являются четными; нечетными.

У доски первый ученик объясняет решение задания 1.

Учащиеся класса делают вывод о свойстве графика четной функции.

Каким свойством обладает график четной функции? (График четной функции симметричен относительно оси ОУ).

У доски второй ученик объясняет решение задания 2.

Учащиеся класса делают вывод о свойстве графика нечетной функции.

Каким свойством обладает график нечетной функции? (График нечетной функции симметричен относительно точки начала координат (0; 0)).

Учащиеся делают вывод, что при построении графиков четных функций используется осевая симметрия относительно оси ординат, а при построении графиков нечетных функций - центральная симметрия относительно точки начала координат (0;0); проговаривают алгоритм построения графиков четных и нечетных функций. Особое внимание учащихся обратить на то, что область определения четных и нечетных функций всегда симметрична относительно х = 0.

Работа по карточке №1.

  • назовите номер графика четной функции;
  • назовите номер графика нечетной функции;
  • назовите номер графика функции, которая не является четной и не является нечетной;

Учитель:

Очень многие процессы и явления, с которыми мы встречаемся на практике, имеют повторяющийся характер. Так, взаимное расположение Солнца и Земли повторяется через год.

Положение маятника в моменты времени, отличающиеся на период колебания маятника, одинаковы.

У доски третий ученик объясняет решение задания 3, проговаривает определение периодической функции.

Каким свойством обладает график периодической функции? (График периодической функции состоит из повторяющихся одинаковых фрагментов).

III. Закрепление материала (19 мин.).

Учащиеся получают карточку №2 с заданиями. Задания разноуровневые и их сложность увеличивается.

Карточка №2.

Задание № 1: Проверьте, является ли четной или нечетной функция, заданная формулой:

1) g(х) = (Sinх)2 + 5х6

2) f(х) = 2х3 + 8x 

3) k(х) =  5х2 + 3х + 5

Задание № 2: Дан фрагмент графика функции g(х), которая определена на [-10; 10]. Достройте график, если функция g(х):

- четная;

- нечетная.

Задание № 3. Периодическая функция y=f(x) с периодом, равным 3, определена на множестве всех действительных чисел. Известно, что f(2)=5, f(0)=-2. Найдите значение выражения 3f(8)-5f(-3).

В это время у доски работают учащиеся, проговаривая ход решения заданий.

Слабые учащиеся при выполнении задания № 1 получают карточку инструкцию.

КАРТОЧКА-ИНСТРУКЦИЯ К РЕШЕНИЮ ПРИМЕРОВ НА ПРОВЕРКУ ЧЕТНОСТИ И НЕЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ

Рассмотрим числовую функцию f(x)=3x2-5x4. Для того чтобы выяснить четная или нечетная функция необходимо:

- найти область определения функции D(f) (значения для x) и показать, что эта область симметрична относительно 0.

- найти f(-x) и если: f(-x)= f(x), то функция четная, а если f(-x)=-f(x), то функция нечетная.

РЕШЕНИЕ.

Так как в функцию f(x) в качества x можно подставить любое число, то D(f)=R и данное множество симметрично относительно 0.

Найдем f(-x), т.е. вместо x подставляем -x: f(-x)=3(-x)2-5(-x)4=3x2-5x4= f(x).

Таким образом, функция f(x)=3x2-5x4 является четной.

Сильные учащиеся, выполнившие задания карточки, получают дополнительную карточку.

Карточка №3.

Задание 1. Выяснить является ли функция четной или нечетной.

1) f(x)=x3+2Sinx+ctgx 2) f(x)=-3x2+2Cosx+3xSinx

Задание 2. Найдите значение функции y(x)=(3f(x)-f(-x))/(2g(x)-g(-x)) в точке x0, если известно, что функция y=f(x) - четная, функция y=g(x) - нечетная, f(x0)=-3, g(x0)=2.

Задание 3. Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 8. На отрезке [0;4] функция y=f(x) задана равенством f(x)=-x2+4x-1. Определите количество нулей функции y=f(x)на отрезке [-6;4].

IV. Проверка знаний учащихся (9 мин.).

Математический диктант.

  1. Если область определения функции f(х) симметрична относительно 0 и f(-х)= -f(х), то f (х) является :.
  2. Если график функции f симметричен относительно оси Оу и D(f)=[-18;18], то функция f является :.
  3. Верно ли что, если в область определения функции f(x) входят только положительные числа, то функция f(x) является четной?
  4. Верно ли что, если в область определения функции f(x) входят только отрицательные числа, то функция f(x) является нечетной?
  5. Верно ли, что функция f(x)= -(x+2)2, если x<0, f(x)= 4, если x=0, f(x)= (x+2)2, если x>0 является нечетной?

V. Итог урока (3 мин.)

Рефлексия деятельности учащихся.

Самооценка учащимися собственной деятельности.

Выставление оценок и комментирование их.

VI. Домашнее задание (2 мин.).

Учащимся предлагается выполнить задания карточки №4 или подготовить сообщение по теме урока.

Карточка №4.

Задание № 1: Проверьте, является ли четной или нечетной функция, заданная формулой:

1) g(х) = Cos(3x) 2) f(х) = 2Sin2 х   3) k(х) = 0,5х3 + 3х5

Задание № 2: Периодическая функция y=f(x) с периодом, равным 4, определена на множестве всех действительных чисел. Известно, что f(3)=4. Найдите значение выражения f(-5) - 3f(11).

Задание № 3. Функция y=f(x) определена на множестве всех действительных чисел и является периодической с периодом 9. Найдите значение выражения

f(-23) + f(7) - 14f(-11), если f(-2)=4,5 и f(4)=-8.

Задание № 4. (задание из второй части ЕГЭ 2009 года). Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x)=8,5+(f(x-9,5)/x-9,5) вычислите сумму g(9)+ g(10).