Теоретическое и методологическое обеспечение преподавания геометрии в 8-м классе по теме "Вписанный угол"

Описанная технология не может применяться при изучении каждого определения – все зависит от уровня развития мышления школьников, их обученности. Подготовка к уроку начинается с логического и дидактического анализа формулировки определения, теоремы и способа доказательства (случай изучения теоремы).

а) Определение дано через род и видовые отличия

б) Родовое понятие: угол

Видовые отличия:

1) Вершина лежит на окружности

2) Каждая сторона пересекает окружность

в) Содержание: конъюнктивная структура

• вершина которого лежит на окружности, стороны пересекают окружность;
• вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается;
• вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
• вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Объем понятия: множество всех углов вписанных во все (в каждую) окружности.

1.1 Чтобы доказать, что угол является вписанным в окружность, необходимо доказать, что вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

1.2 Чтобы доказать, что вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, необходимо доказать, что угол является вписанным в окружность.

Выведение следствий:

2.1 Если угол является вписанным в окружность, то вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

2.2 Если вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, то угол является вписанным в окружность.

Угол не является вписанным в окружность, если вершина угла не лежит на окружности или стороны угла не пересекают окружность.

Опорный материал:

• угол
• окружность
• вершина угла
• луч пересекает окружность

1. Острый вписанный угол
2. Тупой вписанный угол
3. Прямой вписанный угол

Учитель	Ученик
I. Мотивационно-ориентировочная часть Актуализация
На прошлом уроке геометрии мы изучили такое геометрическое понятие, как центральный угол, повторили понятия окружности, дуги окружности. Давайте вспомним, что такое центральный угол?	Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность называется центральным углом.
Так, а теперь начертим три окружности с произвольным радиусом и внутри этих окружностей построим углы, причем все они должны быть расположены по-разному.
Давайте рассмотрим и проанализируем эти три угла: угол 1 – центральный, а угол 2 и угол 3 – что вы можете сказать о них. Где находится вершина угла 2?, угла 3?	Вершина угла 2 находится внутри окружности, а вершина угла 3 лежит на окружности.
А что можно сказать о расположении сторон угла 2 и 3?	Стороны угла 2 и 3 будут пересекать данную окружность
Тогда где же будет находиться угол?	Внутри
А теперь давайте, конкретизируем ваши ответы, то есть возьмем угол 3 и рассмотрим частные характеристики этого угла. Что можно сказать?	– вершина угла 3 лежит на окружности; – стороны пересекают окружность; – угол 3 находится внутри окружности.
Хорошо, а можем ли мы сказать, что угол 3 вписан в окружность?	Да
Как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока?	Угол, вписанный в окружность
Да, но конкретнее сказать “Вписанный угол”. Какая же учебная задача стоит сегодня перед нами?	Дать определение вписанного угла и установить его свойства.
Подумайте и ответьте самостоятельно на вопрос, что же такое вписанный угол?	Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Да, верно. Начнем с темы “Вписанный угол” и учебная задача – сформулировать определение вписанного угла.

II. Операционно-познавательная (содержательная) часть.
Учитель: Давайте построим еще три окружности с произвольными радиусами. Теперь поставим произвольные точки, так чтобы они были расположены в различных местах на окружности – они будут являться вершинами углов, из этих точек выпустим по два луча, пересекающие окружность в двух точках.

Давайте проанализируем эти окружности и запишем результаты по рисункам. Что можно сказать по рис.№1?
Ученики: Дана окружность и угол ABC:
а) вершина угла ABC точка B лежит на окружности;
б) стороны угла ABC пересекают окружность в точках A и C соответственно;
в) угол ABC опирается на дугу AC,
отсюда можно сделать вывод, что на этом рис.№1 угол ABC – вписанный угол. Углы с рисунков №2 и №3 также являются вписанными, потому что названные выше аспекты подходят к этим углам.
Учитель: Какой же общий итог можно подвести по всем трем рисункам?

Ученики: На всех трех рисунках изображены вписанные углы, в независимости от их расположения.
Учитель: Хорошо, а теперь давайте вместе, обобщив полученные данные, сформулируем определение вписанного угла.

Ученики: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Учитель: Так, а теперь я хотела бы вам немного усложнить задачу. Что изображено на данном рисунке?

Ученики: Дана окружность, два вписанных угла, которые опираются на одну и ту же дугу.
Учитель: А как вы определили, что эти углы вписанные?

Ученики: Так как вершины углов лежат на окружности, а стороны углов пересекают окружность и оба они опираются на одну и ту же дугу.
Учитель: Хорошо, а теперь давайте возьмем транспортир и измерим оба этих угла и скажите полученный результат

Ученики: Угол 1 равен 50^о и угол 2 равен 50^о, отсюда следует, что угол 1 равен углу 2.
Учитель: Так значит, какой мы можем сделать вывод, анализируя вышесказанное.

Ученики: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
Учитель: Хорошо, с этой задачей вы справились успешно, но теперь я бы хотела предложить вам еще одну задачу:

Что вы видите на этом рисунке?
Ученики: Дана окружность, в окружность вписан угол MNR, он опирается на дугу MR – она является полуокружностью.
Учитель: Теперь измерьте данный угол MNR.

Ученики: Угол MNR равен 90 ^о, он прямой.
Учитель: Какой вывод вы можете сделать?

Ученики: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Учитель: Итак, посмотрите, оказывается, сколько частных эвристик вписанного угла мы с вами сегодня открыли. А теперь давайте запишем понятия, которые мы с вами определили:
1. Определение вписанного угла;
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
3. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

III. Рефлексивно – оценочная часть
Учитель: Какая учебная задача стояла перед нами? Достигли ли мы ее?

Ученики: Да, мы сформулировали определение вписанного угла.
Учитель: Чтобы легче запомнить определение выделим его существенные части: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность
Учитель: Какой новый изученный термин появился?

Ученики: Вписанный угол
Учитель: В каком случае говорят, что угол является вписанным?

Ученики: Если вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Учитель: Так, а теперь договоримся обозначать вписанные углы также как и обычные, то есть угол ABC или угол B (по вершине угла)
После этого можно предложить учащимся упражнения на распознавание вписанных углов (подведение под понятие)
Выберите вписанные углы. Ответ обоснуйте.

Углы ABC(№1), MNK(№3),DRQ(№6) – вписанные, так как вершины этих углов лежат на окружности, а стороны пересекают окружность;
Угол AOC(№2) – не вписанный, так как его вершина не лежит на окружности, угол AOC – центральный (по определению);
Угол RPC(№4) – не вписанный, так как его вершина (так же как на рис.№2) не лежит на окружности;
Угол MRK (№5) – не вписанный, так как его стороны не пересекают окружность.
Учитель: Так, а теперь давайте подведем итоги нашего урока и сделаем выводы.

Ученики: Мы узнали, что такое вписанный угол и по каким признакам можно выделить этот угол среди остальных углов, то есть угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, кроме того мы рассмотрели частные случаи вписанного угла:
1. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны;
2. вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой

Технология изучения теоремы

Пусть угол АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем что, АВС = ½ дуги АС. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис.1). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС = дуге АС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, АОС = 1 + 2 = 2* 1
   Отсюда следует, что
   2* 1 = дуга АС или АВС = 1 = ½ дуги АС
2. Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 2). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: АD и DС. По доказанному в пункте 1) АВD = ½ дуги АD, DВС = ½ дуги DС. Складывая эти равенства попарно, получаем:
   АВD + DВС = ½ дуги АD + ½ дуги DС или АВС = ½ дуги АС
3. Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (рис. 3).
   В этом случае дуга АС = дуга АD – дуга СD
   АВС = АВD – СВD = ½ дуги АD – ½ дуги СD = ½(АD – СD) = ½ дуги АС,
   т.е. АВС = ½ дуги АС

Формулировка теоремы носит условную форму, она записана в словесной форме.

– Условие: Вписанный угол

– Заключение: Измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Теорема простая, так как ее условие состоит из 1-ой части и заключения.

Теорема выражает свойство вписанного угла, которое позволяет, с одой стороны измерять вписанный угол, с другой стороны измерять дугу, на которую он опирается.

Сформулировать однозначно обратное утверждение нельзя. В частном случае:

1. Если угол, вершина которого лежит на окружности, измеряется половиной дуги на которую он опирается, то такой угол вписанный
2. Если угол вписанный, то он измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
3. Если угол не равен половине дуги, на которую он опирается, то он не вписанный.

Общая идея доказательства сводится к доказательству равенства углов треугольника. Доказательство методом полной индукции. Теоретический базис доказательства состоит из определения вписанного угла, равенства углов треугольника.

В доказательстве теоремы приведены 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС, но сводящееся в теореме к равенству АВС = ½ дуги АС.

Три частных случая расположения луча ВО:

1. Луч ВО совпадает с одной из сторон АВС
2. Луч ВО делит АВС на два угла
3. Луч ВО не делит АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла

Рассматриваемая теорема “порождает” следствия:

Теорема применяется для нахождения градусной меры вписанного угла, на комбинации окружности и многоугольника (вписанного в окружность), а это в свою очередь находит применение при решении задач.

Фрагмент урока

Учитель	Ученики
I. Мотивационно – ориентировочная часть Актуализация
Вспомним, что же такое вписанный угол?	Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. В данном случае: угол ABC, вершина угла ABC – точка B лежит на окружности, а его стороны BA и BC пересекают окружность в точках A и C соответственно; угол ABC опирается на дугу AC.
Хорошо, а теперь давайте вспомним с какими же еще свойствами вписанного угла мы познакомились на прошлом уроке?	Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны, то есть угол ADC равен углу ABC.
	Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой, то есть угол ABC равен 90о, так как угол ABC – вписанный и опирающийся на полуокружность AC.
Мотивация
Сравнить углы (какие из них вписанные, какие нет):	На рисунках №2 и №3 углы вписанные, а на рисунке №1 угол не вписанный.
Постановка учебной задачи
Что необходимо знать, чтобы сравнить эти три угла?	Мы должны знать определение вписанного угла. В данном случае на рисунках №2 и №3 углы вписанные (по определению вписанного угла), а вот угол на рисунке №1 – не вписанный угол, так как его вершина не лежит на окружности (угол 1 – центральный)
Планирование
Как обычно мы поступаем в таких ситуациях?	Сначала попытаемся обнаружить эту связь на конкретных примерах, затем будем убеждаться в ее истинности с помощью проведения доказательства
II. Операционно – познавательная (содержательная) часть
Так, а теперь давайте вспомним еще раз свойство вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на полуокружность – …	…– прямой
Итак, а теперь давайте вместе проанализируем наш чертеж. Что можно сказать?	Угол ABC – вписанный, прямой, опирается на полуокружность AC.
Давайте запишем то, что вы сказали только условными обозначениями:	ABC=90O ABC – вписанный.
Что можно сказать про полуокружность и чем она является, а также чему равна градусная мера полуокружности?	AC – полуокружность, она является дугой, градусная мера равна 180о
Хорошо, а теперь проанализируем все выше сказанное и сделаем вывод: чему равна градусная мера данного вписанного угла?	Заметим, что АВС = 90о, а дуга АС = 180о, следовательно дуга на которую опирается АВС вдвое больше, чем градусная мера АВС. Итак, можно сказать, что 2 АВС = дуге АС, а отсюда выразим и получим АВС = ½ дуги АС.
А теперь попробуйте самостоятельно сформулировать теорему о вписанном угле.	Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
А теперь давайте докажем данную теорему.
Пусть АВС – вписанный угол окружности с центром в точке О, опирающийся на дугу АС. Докажем, что АВС = ½ дуги АС. Рассмотрим 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС. Луч ВО совпадает с одной из сторон АВС, например со стороной ВС (рис. А). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС = дуге АС. Так как АОС – внешний угол равнобедренного АВО, а угол 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника, то АОС = 1 + 2 = 2 1. Отсюда следует, что 1 = дуги АС или АВС = 1 = ½ дуги АС. Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке Д (рис. Б). Точка Д разделяет дугу АС на две дуги: АД и ДС. По доказанному в пункте 1) АВD = ½ АD, DВС = ½ DС. Складывая эти равенства попарно, получаем: АВD + DВС = ½ дуги АD + ½ дуги DС или АВС = ½ дуги АС
А третий случай, на основе рисунка В предлагается вам доказать самостоятельно.	Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (рис. В). В этом случае дуга АС = дуга АD – дуга СD АВС = АВD – СВD = ½ дуги АD – ½ дуги СD = ½(АD – СD) = ½ дуги АС, т.е. АВС = ½ дуги АС
III. Рефлексивно – оценочная часть
Можно ли говорить о том, что мы достигли поставленной цели?	Да, так как мы сформулировали теорему и убедились в ее истинности
Тогда выделите условие и заключение теоремы.	Условие: Вписанный угол Заключение: Измеряется половиной дуги на которую он опирается.
В чем же состоит главная идея доказательства это теоремы?	Идея состоит в том, что используя определение вписанного угла и равенства углов в треугольнике можно найти градусную меру вписанного угла.
Как нам удалось “открыть” теорему вписанного угла?	Мы проанализировали конкретные примеры, определение и свойства вписанного угла.
Приведите примеры соответствующие нашей теореме.	дуга АС = 100о АВС = ½ АС АВС = 50о  дуга PR = 70o PQR =½PR PQR = 35o
А теперь, давайте решим вот такие задачи. Дана окружность с центром О. Известно, что АВС = 30о. Чему равна градусная мера дуги АС? Решите эту задачу устно.	Нам известна формула АВС = ½ дуги АС. Значит, выразим отсюда значение АС, получим дуга АС = 2 АВС. Подставим известные значения и найдем дуга АС = 2*30о = 60о
АВС – вписанный, дуга АВ = 80о, дуга ВС = 120о. Найти АВС. Данную задачу решите с соответствующими записями в тетради.	Дано: АВС – вписанный дуга АВ = 80о дуга ВС = 120о Найти: АВС. Решение: АВС = ½ дуги АС АС = 360о – (АВ + ВС) АС = 160о Значит, АВС = 80о Ответ: АВС = 80о.
EDF – вписанный, дуга DF = 60o. Найти EDF. Эту задачу решите также в тетради.	Дано: EDF – вписанный дугаDF = 60o Найти EDF – ? Решение: EDF = ½ дуги EF ED = 180о, т.к. ED – полуокружность, тогда дуга EF = 180о – 60о = 120о EDF = 60o Ответ: EDF = 60o.
Что нового мы узнали доказав данную теорему и какме выводы мы можем сделать?	Мы узнали, что вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается, то есть АВС = ½ дуги АС, а также как частный случай можно сформулировать, что дуга, на которую опирается вписанный угол равна двойной градусной мере этого угла.

Используемая литература:

1. Учебник: Геометрия, 7-9 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005, П. 71.