Описанная технология не может применяться при изучении каждого определения – все зависит от уровня развития мышления школьников, их обученности. Подготовка к уроку начинается с логического и дидактического анализа формулировки определения, теоремы и способа доказательства (случай изучения теоремы).
Технология изучения определения понятия “Вписанный угол”
Определение: //Угол//, //вершина которого лежит на окружности//, а //стороны пересекают окружность//, //называется вписанным углом//.
Логический анализ
1. Анализ формулировки
а) Определение дано через род и видовые отличия
б) Родовое понятие: угол
Видовые отличия:
1) Вершина лежит на окружности
2) Каждая сторона пересекает окружность
в) Содержание: конъюнктивная структура
- вершина которого лежит на окружности, стороны пересекают окружность;
- вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается;
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
- вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Объем понятия: множество всех углов вписанных во все (в каждую) окружности.
2. Существование можно доказать построением.
3. Переформулирование: не возможно.
4. Частные эвристики.
1.1 Чтобы доказать, что угол является вписанным в окружность, необходимо доказать, что вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
1.2 Чтобы доказать, что вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, необходимо доказать, что угол является вписанным в окружность.
Выведение следствий:
2.1 Если угол является вписанным в окружность, то вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
2.2 Если вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, то угол является вписанным в окружность.
5. Составление отрицания определения.
Угол не является вписанным в окружность, если вершина угла не лежит на окружности или стороны угла не пересекают окружность.
6. Установление связи между новым понятием и изученным ранее
Опорный материал:
- угол
- окружность
- вершина угла
- луч пересекает окружность
7. Классификация
- Острый вписанный угол
- Тупой вписанный угол
- Прямой вписанный угол
Дидактический анализ
Фрагмент урока по изучению определения вписанного угла
Учитель | Ученик |
I. Мотивационно-ориентировочная часть Актуализация |
|
На прошлом уроке геометрии мы изучили такое геометрическое понятие, как центральный угол, повторили понятия окружности, дуги окружности. Давайте вспомним, что такое центральный угол? | Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность называется центральным углом. |
Так, а теперь начертим три окружности с произвольным радиусом и внутри этих окружностей построим углы, причем все они должны быть расположены по-разному. |
![]() |
Давайте рассмотрим и проанализируем эти три угла: угол 1 – центральный, а угол 2 и угол 3 – что вы можете сказать о них. Где находится вершина угла 2?, угла 3? | Вершина угла 2 находится внутри окружности, а вершина угла 3 лежит на окружности. |
А что можно сказать о расположении сторон угла 2 и 3? | Стороны угла 2 и 3 будут
пересекать данную окружность |
Тогда где же будет находиться угол? | Внутри |
А теперь давайте, конкретизируем ваши ответы, то есть возьмем угол 3 и рассмотрим частные характеристики этого угла. Что можно сказать? | – вершина угла 3 лежит на
окружности; – стороны пересекают окружность; – угол 3 находится внутри окружности. |
Хорошо, а можем ли мы сказать, что угол 3 вписан в окружность? | Да |
Как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока? | Угол, вписанный в окружность |
Да, но конкретнее сказать “Вписанный угол”. Какая же учебная задача стоит сегодня перед нами? | Дать определение вписанного
угла и установить его свойства. |
Подумайте и ответьте самостоятельно на вопрос, что же такое вписанный угол? | Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. |
Да, верно. Начнем с темы “Вписанный угол” и учебная задача – сформулировать определение вписанного угла. |
II. Операционно-познавательная (содержательная) часть.
Учитель: Давайте построим еще три окружности с произвольными радиусами.
Теперь поставим произвольные точки, так чтобы они были расположены в различных
местах на окружности – они будут являться вершинами углов, из этих точек
выпустим по два луча, пересекающие окружность в двух точках.
![]() |
![]() |
![]() |
Давайте проанализируем эти окружности и запишем результаты по рисункам. Что
можно сказать по рис.№1?
Ученики: Дана окружность и угол ABC:
а) вершина угла ABC точка B лежит на окружности;
б) стороны угла ABC пересекают окружность в точках A и C соответственно;
в) угол ABC опирается на дугу AC,
отсюда можно сделать вывод, что на этом рис.№1 угол ABC – вписанный угол. Углы с
рисунков №2 и №3 также являются вписанными, потому что названные выше аспекты
подходят к этим углам.
Учитель: Какой же общий итог можно подвести по всем трем рисункам?
Ученики: На всех трех рисунках изображены вписанные углы, в
независимости от их расположения.
Учитель: Хорошо, а теперь давайте вместе, обобщив полученные данные,
сформулируем определение вписанного угла.
Ученики: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны
пересекают окружность, называется вписанным углом.
Учитель: Так, а теперь я хотела бы вам немного усложнить задачу. Что
изображено на данном рисунке?
Ученики: Дана окружность, два вписанных угла, которые опираются на
одну и ту же дугу.
Учитель: А как вы определили, что эти углы вписанные?
Ученики: Так как вершины углов лежат на окружности, а стороны углов
пересекают окружность и оба они опираются на одну и ту же дугу.
Учитель: Хорошо, а теперь давайте возьмем транспортир и измерим оба этих
угла и скажите полученный результат
Ученики: Угол 1 равен 50о и угол 2 равен 50о,
отсюда следует, что угол 1 равен углу 2.
Учитель: Так значит, какой мы можем сделать вывод, анализируя
вышесказанное.
Ученики: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
Учитель: Хорошо, с этой задачей вы справились успешно, но теперь я бы
хотела предложить вам еще одну задачу:
Что вы видите на этом рисунке?
Ученики: Дана окружность, в окружность вписан угол MNR, он опирается на
дугу MR – она является полуокружностью.
Учитель: Теперь измерьте данный угол MNR.
Ученики: Угол MNR равен 90 о, он прямой.
Учитель: Какой вывод вы можете сделать?
Ученики: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Учитель: Итак, посмотрите, оказывается, сколько частных эвристик
вписанного угла мы с вами сегодня открыли. А теперь давайте запишем понятия,
которые мы с вами определили:
1. Определение вписанного угла;
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
3. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
III. Рефлексивно – оценочная часть
Учитель: Какая учебная задача стояла перед нами? Достигли ли мы ее?
Ученики: Да, мы сформулировали определение вписанного угла.
Учитель: Чтобы легче запомнить определение выделим его существенные
части: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают
окружность
Учитель: Какой новый изученный термин появился?
Ученики: Вписанный угол
Учитель: В каком случае говорят, что угол является вписанным?
Ученики: Если вершина лежит на окружности, а стороны пересекают
окружность.
Учитель: Так, а теперь договоримся обозначать вписанные углы также как и
обычные, то есть угол ABC или угол B (по вершине угла)
После этого можно предложить учащимся упражнения на распознавание вписанных
углов (подведение под понятие)
Выберите вписанные углы. Ответ обоснуйте.
Углы ABC(№1), MNK(№3),DRQ(№6) – вписанные, так как вершины этих углов лежат
на окружности, а стороны пересекают окружность;
Угол AOC(№2) – не вписанный, так как его вершина не лежит на окружности, угол
AOC – центральный (по определению);
Угол RPC(№4) – не вписанный, так как его вершина (так же как на рис.№2) не лежит
на окружности;
Угол MRK (№5) – не вписанный, так как его стороны не пересекают окружность.
Учитель: Так, а теперь давайте подведем итоги нашего урока и сделаем
выводы.
Ученики: Мы узнали, что такое вписанный угол и по каким признакам
можно выделить этот угол среди остальных углов, то есть угол, вершина которого
лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, кроме того мы рассмотрели
частные случаи вписанного угла:
1. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны;
2. вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой
Технология изучения теоремы
Теорема об измерении вписанного угла
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство:
Пусть угол АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем что, АВС = ½ дуги АС. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
![]() |
![]() |
![]() |
- Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС
(рис.1). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому
АОС = дуге АС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны,
АОС =
1 +
2 = 2*
1
Отсюда следует, что
2*1 = дуга АС или
АВС =
1 = ½ дуги АС
- Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу
АС в некоторой точке D (рис. 2). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: АD и
DС. По доказанному в пункте 1)
АВD = ½ дуги АD,
DВС = ½ дуги DС. Складывая эти равенства попарно, получаем:
АВD +
DВС = ½ дуги АD + ½ дуги DС или
АВС = ½ дуги АС
- Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого
угла (рис. 3).
В этом случае дуга АС = дуга АD – дуга СD
АВС =
АВD –
СВD = ½ дуги АD – ½ дуги СD = ½(АD – СD) = ½ дуги АС,
т.е.АВС = ½ дуги АС
I. Анализ формулировки
Формулировка теоремы носит условную форму, она записана в словесной форме.
– Условие: Вписанный угол
– Заключение: Измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Теорема простая, так как ее условие состоит из 1-ой части и заключения.
II. Логический смысл теоремы
Теорема выражает свойство вписанного угла, которое позволяет, с одой стороны измерять вписанный угол, с другой стороны измерять дугу, на которую он опирается.
III. Формулировка обратного, противоположного и противоположного обратному предложений.
Сформулировать однозначно обратное утверждение нельзя. В частном случае:
- Если угол, вершина которого лежит на окружности, измеряется половиной дуги на которую он опирается, то такой угол вписанный
- Если угол вписанный, то он измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
- Если угол не равен половине дуги, на которую он опирается, то он не вписанный.
IV. Анализ доказательства
Общая идея доказательства сводится к доказательству равенства углов треугольника. Доказательство методом полной индукции. Теоретический базис доказательства состоит из определения вписанного угла, равенства углов треугольника.
V. Исследование математической ситуации, рассмотрение всех возможных случаев
В доказательстве теоремы приведены 3 возможных случая расположения луча ВО
относительно АВС, но
сводящееся в теореме к равенству
АВС = ½ дуги АС.
Три частных случая расположения луча ВО:
- Луч ВО совпадает с одной из сторон
АВС
- Луч ВО делит
АВС на два угла
- Луч ВО не делит
АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла
Рассматриваемая теорема “порождает” следствия:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
VI. Установление связи теоремы с ранее изученным, ее роль в построении курса.
Теорема применяется для нахождения градусной меры вписанного угла, на комбинации окружности и многоугольника (вписанного в окружность), а это в свою очередь находит применение при решении задач.
Фрагмент урока
Учитель | Ученики | ||
I.
Мотивационно – ориентировочная часть Актуализация |
|||
Вспомним, что же такое вписанный угол? |
![]() |
||
Хорошо, а теперь
давайте вспомним с какими же еще свойствами вписанного угла мы
познакомились на прошлом уроке?
|
![]() |
||
![]() |
|||
Мотивация |
|||
Сравнить углы (какие из них вписанные, какие нет): |
![]() На рисунках №2 и №3 углы вписанные, а на рисунке №1 угол не вписанный. |
||
Постановка учебной задачи |
|||
Что необходимо знать, чтобы сравнить эти три угла? | Мы должны знать определение вписанного угла. В данном случае на рисунках №2 и №3 углы вписанные (по определению вписанного угла), а вот угол на рисунке №1 – не вписанный угол, так как его вершина не лежит на окружности (угол 1 – центральный) | ||
Планирование |
|||
Как обычно мы поступаем в таких ситуациях? | Сначала попытаемся обнаружить эту связь на конкретных примерах, затем будем убеждаться в ее истинности с помощью проведения доказательства | ||
II. Операционно – познавательная (содержательная) часть | |||
Так, а теперь давайте вспомним еще раз свойство вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на полуокружность – … |
![]() |
||
Итак, а теперь давайте вместе проанализируем наш чертеж. Что можно сказать? |
Угол ABC – вписанный, прямой,
опирается на полуокружность AC. |
||
Давайте запишем то, что вы сказали только условными обозначениями: |
|
||
Что можно сказать про полуокружность и чем она является, а также чему равна градусная мера полуокружности? | AC – полуокружность, она
является дугой, градусная мера равна 180о |
||
Хорошо, а теперь проанализируем все выше сказанное и сделаем вывод: чему равна градусная мера данного вписанного угла? | Заметим, что
![]()
2
|
||
А теперь попробуйте самостоятельно сформулировать теорему о вписанном угле. | Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. | ||
А теперь давайте докажем данную теорему. | |||
![]() Пусть
Луч ВО совпадает с одной из сторон АВС, например со стороной ВС (рис. А). В этом случае дуга АС меньше
полуокружности, поэтому Отсюда следует, что
Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке Д (рис. Б). Точка Д разделяет дугу АС на две дуги: АД и ДС. По доказанному в пункте 1) АВD = ½ АD, DВС = ½ DС. Складывая эти равенства попарно, получаем:
|
|||
А третий случай, на основе
рисунка В предлагается вам доказать самостоятельно.
|
Луч ВО не делит угол АВС на
два угла и не совпадает со стороной этого угла (рис. В). В этом случае дуга АС = дуга АD – дуга СD
т.е. |
||
III. Рефлексивно – оценочная часть |
|||
Можно ли говорить о том, что мы достигли поставленной цели? | Да, так как мы сформулировали теорему и убедились в ее истинности | ||
Тогда выделите условие и заключение теоремы. | Условие: Вписанный угол Заключение: Измеряется половиной дуги на которую он опирается. |
||
В чем же состоит главная идея доказательства это теоремы? | Идея состоит в том, что используя определение вписанного угла и равенства углов в треугольнике можно найти градусную меру вписанного угла. | ||
Как нам удалось “открыть” теорему вписанного угла? | Мы проанализировали конкретные примеры, определение и свойства вписанного угла. | ||
Приведите примеры
соответствующие нашей теореме.
|
![]()
|
||
А теперь, давайте решим вот
такие задачи.
Дана окружность с центром О. Известно, что
|
Нам известна формула
![]() ![]()
|
||
![]() АВС – вписанный, дуга АВ = 80о, дуга ВС = 120о. Найти Данную задачу решите с соответствующими записями в тетради. |
Дано:
![]() дуга АВ = 80о дуга ВС = 120о Найти: Решение:
АС = 360о – (АВ + ВС) АС = 160о Значит, Ответ: |
||
![]()
Эту задачу решите также в тетради.
|
Дано:
![]() дугаDF = 60o Найти Решение:
ED = 180о, т.к. ED – полуокружность, тогда дуга EF = 180о – 60о = 120о
Ответ: |
||
Что нового мы узнали доказав данную теорему и какме выводы мы можем сделать? | Мы узнали, что вписанный угол
измеряется половиной дуги на которую он опирается, то есть
![]() |
Используемая литература:
- Учебник: Геометрия, 7-9 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005, П. 71.