Урок математики: "Разложение многочлена на множители" (7-й класс)

Цели:

• систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители;
• способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;
• побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, вызвать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование: экран, магнитная доска, набор карточек для сбора задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием теста.

Этап 1. Повторение

Задание 1. В парах выполняется задание теста

Тест

1. Разложение многочлена на множители – это:

А) представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов;

Б) представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов;

В) представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

2. Завершить утверждение.

Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скобки.

3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

А) вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки;

Б) сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

В) вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.

4. Отметить знаком плюс верные выражения.

а) а² + в² – 2ав = ( а – в)²;

б) m² + 2mn – n² = (m – n)²;

в) 2pt – p² – t² = (p – t)²;

г) 2cd + c² + d² = (c + d)².

Проверка итогов работы осуществляется с помощью экрана. (Слайд 2. Презентация)

Задание 2. На магнитной доске двое учеников выполняют задание

Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители.

Метод разложения на множители.

С остальными учащимися даем характеристику каждому перечисленному приему, демонстрируя на экране.

Вынесение общего множителя (слайд 3)

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Группировка (слайд 4)

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Применение формул сокращенного умножения (слайд 5)

Группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 3. “Математическая эстафета”

Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по два задания на каждую парту). Ученики, получившие листок, выполняют первые два задания и передают листок впереди сидящим ребятам. Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка с выполненными 8 заданиями. Побеждает та команда, в которой раньше решат 8 примеров.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью экрана (слайд 6).

Задания:

Этап 2

На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов. Поэтому, чтобы решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательного применения. Здесь нужны не только знания, но и опыт.

Задание 4. Разложить многочлен на множители и указать, какие приемы использовались при этом

Пример 1. 36а⁶в³ – 96а⁴в⁴ + 64 а²в⁵.

Решение. 36а⁶в³ – 96а⁴в⁴ + 64 а²в⁵ = 4а²в³(9а⁴ – 24а²в + 16в²) = 4а²в³(3а² – 4в)²

Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. а² + 2ав + в² – с².

Решение. а² + 2ав + в² – с² = (а² + 2ав + в²) – с² = (а +в)² – с² = (а + в – с)(а +в +с).

Комбинировали два приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. у³ - 3у² + 6у – 8.

Решение. у³ - 3у² + 6у – 8 = (у³ – 8) - (3у² – 6у) = (у – 2)(у² + 2у + 4) – 3у(у – 2) = (у – 2)(у² – у + 4).

Комбинировали три приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

- вынесение общего множителя за скобки.

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок (слайд 7).

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

Задание 5

Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ах² + вх + с = 0 (а0) – такие уравнения называются квадратными, мы начнем изучать в 8-м классе, решать задачи на делимость, доказывать тождества.

1. Решить уравнения:

1. Решить уравнения:

а) х² – 15х + 56 = 0

Решение.

х² – 7х – 8х + 56 = 0,

(х² – 7х) – (8х – 56) =0,

Х(х – 7) – 8(х – 7) = 0,

(Х – 7)(х – 8) = 0,

Х=7, х=8

б) х² + 10х + 21 = 0

Решение.

х² + 10х + 25 – 4 = 0

(х + 5)² – 4 = 0

(х + 5 -2)(х +5 +2) = 0

(х +3)(х + 7) = 0

х = -3, х = -7.

При разложении многочлена на множители мы увидели полный квадрат и таким образом применили еще один прием разложения на множители: метод выделения полного квадрата.

Этап 3

Задание 6. Самостоятельная работа

Разложить на множители, используя различные способы.

Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью экран (слайд 9).

Подведение итогов урока

Провести фронтальный обзор основных этапов урока; отметить, что, кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесения общего множителя за скобки, группировки, использование формул сокращенного умножения, познакомились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценить работу учащихся и ориентировать в домашнем задании (слайд 10).

Домашнее задание

1. Если вы получили оценку “2” или “3” –  № 998 (а, в), 1002, 1004.
2. “4” – № 1083 (а, в), 1085 (а-в),1090 (а).
3. “5”–  № 1083 (а, в), 1085 (а-в),1090 (а), 1089 (а, в).