Урок геометрии в 7-м классе на тему: "Замечательные точки и линии треугольника"

Тараканова Надежда Анатольевна, учитель математики

Цели урока:

Приблизить знания учащихся 7 класса к стандартам профильного обучения, предусматривающих изучение раздела “Геометрия на плоскости”;
Рассмотреть замечательные точки и линии треугольника;
Показать практическое применение этих знаний при решении задач.

Ход урока

1. Оргмомент (5 мин.).

2. Вводное слово учителя:

Геометрия – один из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью человека. Так, в Древнем Египте, использовался треугольник со сторонами 5, 4 и 3.

За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности (см. рис.1)

Рис.1

Этот факт следует из свойства серединного перпендикуляра d к отрезку: d состоит из тех, и только тех, точек, которые равноудалены от концов отрезка. Если для треугольника АВС серединные перпендикуляры в АВ и ВС пересекаются в точке О, то IОА I=IОВ I и IОВ I = IОС I, поэтому I ОАI= I ОСI и точка О обязана лежать на серединном перпендикуляре к третьей стороне АС.

2) Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности (рис. 2).

Рис.2

Это следует из основного свойства биссектрисы l выпуклого угла: l состоит из тех, и только тех, точек угла, которые равноудалены от его сторон. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки – центры вневписанных окружностей (рис.3).

Рис.3

Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружности R, r, r_a , r_bи r_c связаны красивым соотношением

r_a+ r_b+ r_{c =}r+4R ,

а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей p можно найти по формуле Эйлера:

p²= R²- 2Rr .

Здесь же приведем формулу для площади треугольника:

S =

abs
4R

= pr,

где p- полупериметр треугольника.

3) Все три медианы пересекаются в точке М (рис.4),

Рис.4

называемой центроидом треугольника АВС (который также является центром масс для тонкой треугольной пластины). Каждая медиана делится точкой М в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника.

4) Высоты треугольника (или их продолжения) также пересекаются в одной точке Н – ортоцентре треугольника (рис.5).

Рис.5.

Пусть высоты треугольника АВС пересекают соответственные стороны (или их продолжения) в точках А_0,В_0,С₀ (рис.6). Треугольник А₀В₀С₀называется ортоцентрическим для треугольника АВС или, коротко, его ортотреугольником. Оказывается, высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Если треугольник АВС остроугольный, то ортортреугольник А₀В₀С₀вписан в треугольник АВС: вершины А₀В₀С₀лежат на соответствующих сторонах треугольника АВС.

Справедлива замечательная теорема: среди всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, ортотреугольник имеет наименьший периметр.

5) Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника в действительности можно получить из общей “теоремы Чевы” (Д. Чева – итальянский математик, (1648-1734)): отрезки AQ, BR, CP, соединяющие вершины треугольника АВС с точками на противолежащих сторонах (рис.6),

Рис.6

пересекаются в одной точке D тогда, и только тогда, когда AP* BQ* CR = PB* QC *RA.

3. Решение задач на доске учащимися:

4. Подведение итогов:

Выставляются оценки выступавшим ученикам;
Учитель делает выводы по прошедшему уроку.

Литература:

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. 2-е издание, исправленное и дополненное. Издательство “Педагогика” 1989г.
Лекции 1-4 “Геометрия на профильном уровне обучения” авторы: И.М.Смирнова, В.А. Смирнов.

13.03.2010