Урок-конференция: "Решение нестандартных задач по математике" (5-й класс)

Участники урока конференции:

• Учащиеся 5 класса "А" ГОУ Гимназии №201.
• Учитель математики ГОУ Гимназии №201 Ивлева Алла Михайловна.
• Родители учащихся 5 класса ГОУ Гимназии №201.

I. Цели и задачи.

• Первичное обобщение и систематизация знаний и умений учащихся на промежуточном этапе учебно-исследовательской деятельности в ходе решения нестандартных задач;
• Формирование целостного восприятия учащимися рассматриваемого процесса решения задач;
• Развитие познавательного интереса к математике.

II. Содержание темы.

Даная тема рассматривается в рамках учебно-исследовательской деятельности в 5 классе.

III. Тип урока.

Урок-конференция.

IV. Организационные формы общения.

Индивидуальная, парная, групповая, коллективная.

V. План урока - конференции.

Малахова Софья - Вивальди, концерт ля-минор, скрипка.

Вступительное слово учителя математики Ивлевой Аллы Михайловны (О целях и задачах, о том, как возникло слово "математика" и о победе второго направления.)

Выступление с эссе: "А мы решаем нестандартные задачи". (Коробов Ильяс)

Устные упражнения. Приёмы устного счёта. Парад чисел. (Сергеева Екатерина, Грибкова Анна).

Презентация группы задач №1 Логические задачи (Замышляева Арина)

Презентация группы задач №2 Задачи алгоритмического характера - переливания, взвешивания. (Алексеенков Д.Баранов И., Костин Д.).

Доклад исторического содержания. (Алексеенков Д.Баранов И., Костин Д.).

Решение практических задач (Баранов Иван).

Презентация группы задач №3 Геометрические задачи- разрезания. (Хвалько Денис)

Презентация группы задач №4 Комбинаторные задачи. Математические ребусы. (Гиноян Гор, Левина Вера.)

Презентация группы задач №5 Олимпиадные задачи (Обзор)

Доклад: "Возраст и математика" (Выступление родителей учащихся Баранова Наталья Фёдоровна)

Подведение итогов урока конференции. Заключительное слово учителя. (Наши ближайшие планы).

Ход урока

Перед началом конференции в исполнении Малаховой Софьи прозвучал скрипичный концерт - ля-минор Вивальди.

Вступительное слово учителя математики Ивлевой А.М..

Итак, надеюсь, что музыка нас настроила на восприятие математики. Начинаем урок - конференцию: "Решение нестандартных задач в 5 классе". Цели и задачи таковы:

Обобщить и систематизировать наши знания, умения, навыки.

Остановиться, осмотреться, подумать о планах.

Попытаться представить в целом, какие задачи мы уже умеем решать.

Развивать интерес к математике.

Слово "математика возникло примерно в V веке до н.э. Происходит оно от слова "матема"- "учение", "знание, полученные через размышление"

Древние греки знали четыре "матемы":

1. Теория музыки.
2. Учение о числах.
3. Учение о числах и измерениях.
4. Астрономию и астрологию.

В древнегреческой науке существовало два направления. Представители первого из них, возглавляемые Пифагором, считали, что знания принадлежат только посвящённым, избранным. Никто не имел права делиться своими открытиями и знаниями с посторонними.

Второе направление возглавлял Гиппас Метапонтский. Его последователи, напротив, считали, что математика доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они называли себя математиками. Как вы думаете, какое направление победило?

Пифагор - довольно известный персонаж, но он меньше всего хотел, чтобы знания были доступны всем, а Гиппас - почти неизвестная личность проложил дорогу наукам.

Древние говорили, что умение решать необычные задачи - умение крайне нужное и полезное.

Сейчас слово для выступления предоставляется Коробову Ильясу. Эссе "Мы решаем нестандартные задачи".

Математика - гимнастика для ума. В этом я убедился, решая нестандартные математические задачи.

В начале первого триместра наша учительница математики, Алла Михайловна, предложила нам интересный вид работы: решение нестандартных задач. Каждую неделю мы получаем новое задание, которое сложнее задач и примеров в учебнике.

Я понял, что сначала нужно несколько раз внимательно прочитать условие задачи. Практически всегда обязательно рисовать схемы или рисунки, возможно составлять уравнения.

Решать задачи можно в любом порядке. Простые решаются сразу, над трудными приходится долго думать. Иногда необходимо обращаться за помощью к старшим, но и они не всегда могут помочь. Вот как непросто решать нестандартные задачи. За полтора триместра у нас прошло 9 серий задач. Пятая серия задач - участие в математической олимпиаде им. Леманского А.А..

"Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели", - сказал Маркушевич А.И.. Я полностью с ним согласен.

Переходим к устным упражнениям и приёмам устного счёта.

Мы всегда начинаем урок с устного счёта. Не будем отходить от этой традиции даже на уроке-конфиренции. Все мы знаем, как быстро умножить двузначное число на 11.

Выступающий предлагает устно умножить, например

53*11=583, 18*11=198, 24*11=264, 73*11=803, 99*11=1089 Объясните, как вы решали.

Теперь немного усложним задачу. Ребята, давайте подумаем, как умножить трёхзначное и четырёхзначное числа на 11?

Это очень легко. Я вам сейчас всё объясню. Например, 264*11. Начнём решать с конца: 1) сносим 4 - это последняя цифра в ответе. 2) складываем 6 и 4, получается 10, 0 пишем, 1 в уме. 3) складываем 2 и 6, получаем 9, потому что 1 запомнили 4) т.к. 2 мы ни с чем не сможем сложить и ничего не запоминали, получаем ответ 2904.

А теперь попробуйте сами решить примеры:

798*11=8778, 888*11=9768, 137*11=1507.

Думаю, что без труда по аналогии вы сможете догадаться, как умножить четырёхзначное число на 11. Например: 5467*11=60137 (в процессе решения примера идёт бурное обсуждение способа решения)

Выступление на тему "Парад чисел" посвящено знакомству с большими и огромными числами, которые изображаются единицей и нулями. В этом разделе демонстрируется презентация квадриллиона, биллиона, квинтиллиона, секстиллиона, нониллиона, октиллиона, дециллиона, ундециллиона.

Поскольку тема "Степень" к этому моменту уже изучена, можно записать каждое из рассмотренных чисел в коротком виде.

Логические задачи.

См. Презентация1(небольшой фрагмент)

Задачи алгоритмического характера - переливания и взвешивания.

Весы появились вместе с металлическими деньгами: взвешивая их, торговцы выясняли, не фальшивыми ли монетами расплачивается покупатель. Можно предположить, что продавцы нередко ошибались. По крайней мере, в начале. Ведь в качестве первых весов человеку служили ладони, оценивающие массу путем сравнивания с эталоном. Самые древние из сохранившихся весов относятся к V тысячелетию до н. э., ими пользовались в Месопотамии.

Первые весы основывались на принципе рычага и были "коромысленными" (или, как еще говорят, равноплечными весами).

В древнем Вавилоне использовались и неравноплечные весы - безмены. Они состояли из рычага, крюка и противовеса, который подвешивался с помощью кольца. В древнем Вавилоне гирями, с помощью которых взвешивали монеты, служили семена злаков. Система была очень простой: за 60 зерен полагалась одна монета. Наверное, обанкротившийся торговец мог с голодухи съесть свои гирьки. А последнюю монету он зарывал в землю - с верой в светлое будущее.

В Древнем Египте весы ещё были и предметом религиозного культа. Египтяне не сомневались, что боги, когда им необходимо взвесить души умерших, пользуются весами. Изображение весов обнаружено на пирамиде в Гизе, отстроенной при династии Хеопса между 2930-2750 гг. до н. э. Рисунок иллюстрирует сцены суда в "Книге мертвых" (1220 г.до н. э.).

Римский безмен - простейшие рычажные весы. При взвешивании передвигается гиря, отсчет ведется по нанесенной на стержень шкале

Греки дали весы в руки богине правосудия - Фемиде.

Великие умы не только усовершенствовали весы, но и предприняли попытку теоретически осмыслить принцип их работы. О работе весов немало размышляли Евклид и Архимед. Об открытии "закона Архимеда" сохранилась легенда.

По преданию, царь Сиракуз - Гиерон II - заподозрил ювелира в мошенничестве и велел Архимеду выяснить ,состоит ли его корона из чистого золота или из сплава золота и серебра. Причудливая форма короны не позволяла измерить её. Архимед размышлял об этой проблеме постоянно, а однажды пошёл в баню и, погрузившись в наполненную водой ванну, увидел, как вода выплеснулась из нее. Он понял, что объём короны можно определить, измерив объём вытесненной ею воды. По легенде, Архимед выскочил на улицу голый с криком "Эврика!" ("Нашёл!"). Так и был открыт знаменитый закон Архимеда - основной закон гидростатики.

Но сначала Архимед измерил объём и вес короны. Для того чтобы уличить нечистого на руку ювелира, достаточно было взвесить корону и равный ей по весу слиток золота в воде. Сплав весит меньше.

Применение весов находило неожиданное применение. Например, инквизиторы не сомневались, что ведьмы и колдуны весят меньше, чем люди, с нечистой силой несвязанные. Так, в одном немецком городе на центральной площади измеряли вес присяжных. Успешно прошедшим проверку выдавали грамоту, которая свидетельствовала, что в союзе с бесами они не замечены. Даже в середине ХVIII века. в Германии были случаи, когда бургомистра избирали путем взвешивания. Вполне логично: городской глава должен иметь вес в обществе.

На Руси весами пользовались ещё до нашествия татаро-монголов. Некоторые найденные археологами гири датируются 913-953 гг. Правда, наши предки по пустякам не разменивались. Мелкие весовые единицы в древней Руси предназначались для взвешивания ценных металлов и лишь в редких случаях - для дорогих пряностей. Вообще, муку, крупу, солод, толокно продавали мерами. Только Петр I, заметив непорядок, издал указ о продаже этих товаров на вес. Чтобы было как в Европе.

Весы мастерили кузнецы, за что пользовались большим почетом и уважением. Ведь от показаний приборов зависело, примут в лавке монеты для расчета или сочтут их фальшивыми.

Водяные часы. По капелькам влага перетекала из одного сосуда в другой, и по тому, сколько воды вытекло, определяли, сколько времени "утекло". Древние египтяне делали это с помощью сосуда, на стенках которого были нанесены отметки, соответствующие часам. Вода вытекала из сосуда с определённой скоростью, и по мере снижения её уровня время можно было узнавать по нарезкам на стенках. Единицей измерения для шкалы была мера в палец.

Первый на Земле будильник тоже был водяным. Считается, что его изобрёл древнегреческий философ Платон, чтобы созывать на занятия своих учеников. Прибор состоял из двух сосудов; в верхний наливалась вода, которая понемногу стекала в нижний, вытесняя оттуда воздух, который по специальной трубке устремлялся к флейте, и та начинала голосить. Достаточно громко, чтобы даже разбудить спящего.

Леонардо да Винчи, в более поздние века предложил другой будильник на основе водяных часов. В определённый момент вода из одного сосуда перетекала в другой, и механизм переворачивал постель со спящим сеньором.

В практической части этого раздела (решение задач на переливание) используется программный модуль комплекса "Математика на компьютерах 5-6 классы" - конструктор задач. Из модуля на уроке-конференции решаются задачи из группы задач на переливание.

1. Задача о молоке.

В большой бидон налито 12 литров молока. Требуется получится 6 литров, используя для переливания 2 других бидона по 5 и 7 литров.(ответ: 11 переливаний)

2. Разделить квас поровну.

Восьмивёдерный бочонок заполняется доверху квасом. Нужно разделить квас поровну, но есть только 2 пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой 3 ведра. Как разделить квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Геометрические задачи - разрезания на равные части.

Данные задачи представлены в виде презентации "Как мы учимся решать задачи на разрезания". На слайдах демонстрируется разрезание фигур на 2, 3, 4 равные части (равными считаем части, которые при наложении совпадают). Такого рода задачи очень часто встречаются на различных математических олимпиадах и турнирах, поэтому следует заблаговременно их отработать.

В своём выступлении ученик 5 класса Хвалько Денис написал стихотворение.

Способы решения комбинаторных задач.

Задача. В каком-то 5ом классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика - последний урок?

Решение.

1ый способ. Закодируем О - обществознание, Р - русский язык, Л - литература, Ф - физкультура.

Ответ: 24 варианта.

2ой способ. С помощью древа возможных вариантов.

3ий способ. По правилу умножения: 4*3*2*1=24 способа

Обзор олимпиадных задач.

Сообщение посвящено обзору задач школьной математической олимпиады и математической олимпиады им. Леманского А.А..

С учётом статистики больше всего ошибок было допущено в задаче №2. Эта задача разбиралась в разделе "Логические задачи" и проведена полная работа над ошибками.

Малыш поднимается с первого этажа за 3 минуты, а Карлсон в два раза быстрее. Какое время потребуется Карлсону для того чтобы подняться на пятый этаж?

Основная ошибка допускалась в подсчёте количества этажей.

Задачи на взвешивание, разрезание, а также задачи арифметического характера не вызвали затруднений.

Победители:

1ое место Баранов Иван (40)

2ое место   Замышляева Арина (40)

3ье место  Хвалько Денис (36)

Призёры Сергеева Екатерина (34)

Юклова Екатерина (34)

Гиноян Гор (32)

Грибкова Анна (32)

Коробов Ильяс (32)

Доклад "Возраст и математика" (Выступление родителей учащихся) (см. презентацию)

Юные математики

Математика - очень увлекательная, интересная и полезная наука. Она может стать захватывающим занятием не только для взрослых, но и для детей.

Истории математики известны случаи очень раннего проявления математических способностей.

Французский учёный 17 века Блэз Паскаль стал интересоваться математикой в столь раннем возрасте, что отец запретил ему ею заниматься. Однако, зайдя через некоторое время в детскую комнату, он обнаружил, что мальчик рассматривает какой-то рисунок из прямых линий и окружностей.

Выяснилось, что маленький Блэз сам нашёл доказательства первых теорем геометрии известного древнегреческого математика Евклида и думал о том, как доказать следующую теорему. В 16 лет он доказал утверждение, которое до сих пор изучается в высших учебных заведениях под именем теоремы Паскаля.

Паскаль сконструировал первую вычислительную машину. Написал несколько работ по арифметике, алгебре, внёс большой вклад в математическую науку.

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

Очень рано раскрылись дарования и у Карла Гаусса, ставшем одним из крупнейших математиков 19 века, его даже называли "царём математиков".

В возрасте трёх лет он заметил ошибку, сделанную отцом в расчетах.

А в 7 лет мальчик пошёл в школу. В то время в одной комнате занимались ученики разных классов. Чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с третьим классом, учитель предложил ребятам вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 100. Как только учитель закончил писать задание, Гаусс дал ответ.

С сожалением смотрел учитель на мальчика: ясно, что за такой короткий срок он не мог сделать 99 вычислений. Остальные ученики терпеливо складывали числа, сбивались, снова складывали. Когда учитель закончил занятия с третьим классом и стал проверять работу первоклассников, он увидел, что ни у кого не было правильного ответа. И только Карл дал правильный ответ, причём никаких вычислений написано не было. "Как же ты это сосчитал?",- спросил учитель. " Очень просто,- ответил мальчик. Я сложил 1и 100, получил 101. 2+ 99=101,3+98=101, и так до 50+51=101. Значит, надо сложить 50 слагаемых по 101 каждое, то есть 50*101, а это равно 5050."

Изумлённый учитель понял, что встретил самого способного ученика в своей жизни.

Позже, этот ученый первым доказал, что правильный многоугольник можно построить циркулем и линейкой; он придавал этому открытию очень большое значение и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своём надгробном памятнике, что и было исполнено.

Он был жизнерадостным человеком, интересовался литературой, политикой. Экономикой. Хорошо знал ряд древних европейских языков, будучи иностранным членом Петербуржской академии наук вел переписку с коллегами на русском языке. Любил творчество Пушкина и других русских поэтов и писателей.

Многие юные математики увлекались решением трудных задач. Для некоторых из них именно решения задач помогли определить их жизненный путь. Например, родители одного из виднейших французских математиков 19 века Пуассона сначала хотели сделать его цирюльником. (Цирюльники брили бороды и делали по указанию врачей кровопускания.) Но однажды он услышал от своего приятеля об одной о трудной задаче: В сосуде содержится 12 пинт (старинная мера объёма) оливкового масла. Как разделить это количество пополам, имея еще сосуды вместимостью 8 и 5 пинт? Он тут же предложил своё решение.

Число учёных трудов Пуассона превосходит 300. Они относятся к разным областям чистой математики, математической физики, теоретической и небесной механики. Здесь можно упомянуть только о важнейших и наиболее замечательных.

Удивительный случай произошёл в детстве с одной из самых знаменитых женщин-математиков Софьей Васильевной Ковалевской. Когда в доме Софьи шёл ремонт, на детскую комнату не хватило обоев. Эта комната простояла несколько лет, оклеенная лишь простой бумагой (лекциями по высшей математике). Соня подолгу стояла возле стен, пытаясь понять порядок в котором шли листы, и прочесть написанный на них текст.

А через несколько лет, когда Соня брала первые уроки высшей математики, её преподаватель удивился, как быстро она усвоила сложнейшие понятия. А дело было в том, что девочка вспомнила слова из лекций на стенах своей комнаты.

Позже Софья Васильевна стала членом-корреспондентом Петербургской АН. Одна из её работ была удостоена премии Парижской АН.

См. Презентация2.

Подведение итогов в форме викторины

1. Сколько "матем" почитали греки?
2. С какими приёмами устного счёта вы познакомились сегодня на устной работе?
3. Как называется число, записанное с помощью единицы и восемнадцати нулей?
4. Сколько способов решения логических задач мы сегодня обсудили?
5. Кто прокричал "Эврика!" и по какому поводу?
6. Сколько переливаний пришлось сделать в задаче про молоко?
7. Сколькими способами мы умеем решать комбинаторные задачи?
8. Как звали короля математики?

Надеюсь на дальнейшее сотрудничество по решению нестандартных задач.

Приложение 1, приложение 2.