Открытый урок по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Разделы: Математика


Цели урока:

  • проверить и закрепить у учащихся  навыки в решении простейших уравнений;
  • научить учащихся решать тригонометрические уравнения любой сложности, используя ранее изученный материал;
  • развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания - тестирование.

(Решите уравнения, выбрав один из предложенных ответов.)

 

1 вариант

2 вариант

1

2

3

4

1

2

3

Ответ: 1 вариант-3,3,4;  2 вариант- 2, 1, 1.

3. Сообщение темы и цели урока.

Решить уравнения :

1) tqx + ctqx =2,5.

Решение:

 Заменим ctqx на и тогда заданное уравнение можно записать

tqx +=2,5.

Упростим это уравнение, введя переменную а = tgx.

Получим уравнение относительно а:

а + = 2,5, где .

Преобразуем его и получим квадратное уравнение : - 2,5а + 1= 0,

где а= 2 и а= 0,5. Вернемся к первоначальной функции tqx.

Если а=2, то tqx=2 x=arctq2+ n, где nZ, arctq21,1.

Если а=0,5, то  tqx= 0,5 x=arctq0,5+к, где кZ, .arctq0,50,46.

Ответ: x=arctq2+, х = arctq0,5 +,

2) sinx = -cosx

Решение:

Здесь проще разделить обе части на cosx.

При делении на cosx мы не теряем корней. Действительно, подставив cosx=0 в данное

уравнение найдем, что sinx=0, а равенства cosx=0  и   sinx=0  несовместимы.

Тогда получим: tqx = -, откуда

х = -, где Z.

Ответ:   -n, где пZ.

3) .

Решение.

Воспользуемся формулой = + 1.

Тогда получим равносильное уравнение:   ( 1 ).

Введем новую переменную t = tqx  и получим квадратное уравнение относительно  t:

( 2 ).

Решив уравнение ( 2 ) получим : t =1  ,  .

Следовательно, множество всех решений уравнения ( 1 ) есть объединение множеств 

всех решений двух уравнений:  tqx = 1  и   tqx = .

Откуда :   и 

Ответ: .

4) cos2x + sinx = 0.

Решение.

Заменим cos2x  на  и упростим его. Приведя подобные , получим квадратное уравнение относительно sinx:

.

Решением этого уравнения являются два корня : sin x =1 и .

Откуда: ;

Ответ:

5) .

Решение.

Воспользуемся тем, что  sin2x=2sinx cosx. Тогда получим уравнение:

sinx ( sinx - 2cosx) = 0.

Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл:

sin x = 0

или

sin x – 2 cos x = 0/ :  cos x

 

tq x – 2 = 0;

 

 

.

Ответ:

Вывод: простейший по идее (но не всегда кратчайший) способ решения тригонометриче ского уравнения состоит в том, что все тригонометрические функции, входящие в урав нение, выражаются через одну и ту же функцию одной и той же величины, например через sinx, или через tqx  и т.д. Удачный выбор этой функции часто сокращает вычисления.

5) Первичное закрепление.(решение уравнений на доске)

a. (sinx + 1 )( tqx – 1 ) = 0.

Решение.

Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinx + 1 = 0

или

tqx – 1 = 0

sinx = -1;

 

tqx = 1;

;

 

.

Первый корень не является решением исходного уравнения, т.к. теряет смысл tqx.

Ответ:  .

2)

Решение.

  sinx ( 3sinx – 5)=0 

sinx=0 или sinx= - не является корнем уравнения, т.к. sinx.

Ответ:

3)

Решение.

Вынесем общий множитель за скобки и получим уравнение cosx ( 2cosx +1) = 0.

Решением этого уравнения будет являться объединение множеств всех решений двух уравнений: cosx=0 и .

Откуда .

Ответ :

5. Самостоятельное решение уравнений  по вариантам с последующей проверкой.

1 вариант:  № 168 (в),164(б)

Решение.

,

tqx = 0 или tqx=

Ответ : .

Решение.

Введем переменную а = sinx и

получим уравнение  3а²  - 5а – 2 = 0,

корнями которого являются числа 4 и

тогда   и

.

Ответ:

2 вариант: 165(в),168(а)

Решение .

Введем а = cosx и получим квадратное уравнение относительно а: ,

корни которого : а =1,5  и а =

Если а=1,5,то cosx =1,5,

Если а =, то cosx = ,  x=.

Ответ:

Решение.

cosx(2cosx+

Если cosx=0,тоx =

Если cosx=-то х=,

n

Ответ: 

6. Итог урока: какими способами мы воспользовались, чтобы решить уравнения?

7. Задание на дом: № 164(г),165 (а), 166 (в), 167 (б)