Открытый урок по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Долбикова Нина Алексеевна

Цели урока:

проверить и закрепить у учащихся навыки в решении простейших уравнений;
научить учащихся решать тригонометрические уравнения любой сложности, используя ранее изученный материал;
развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания - тестирование.

(Решите уравнения, выбрав один из предложенных ответов.)

	1 вариант	2 вариант	1	2	3	4
1
2
3

Ответ: 1 вариант-3,3,4; 2 вариант- 2, 1, 1.

3. Сообщение темы и цели урока.

Решить уравнения :

1) tqx + ctqx =2,5.

Решение:

Заменим ctqx на и тогда заданное уравнение можно записать

tqx +=2,5.

Упростим это уравнение, введя переменную а = tgx.

Получим уравнение относительно а:

а + = 2,5, где .

Преобразуем его и получим квадратное уравнение : - 2,5а + 1= 0,

где а= 2 и а= 0,5. Вернемся к первоначальной функции tqx.

Если а=2, то tqx=2 x=arctq2+ n, где nZ, arctq21,1.

Если а=0,5, то tqx= 0,5 x=arctq0,5+к, где кZ, .arctq0,50,46.

Ответ: x=arctq2+, х = arctq0,5 +,

2) sinx = -cosx

Решение:

Здесь проще разделить обе части на cosx.

При делении на cosx мы не теряем корней. Действительно, подставив cosx=0 в данное

уравнение найдем, что sinx=0, а равенства cosx=0 и sinx=0 несовместимы.

Тогда получим: tqx = -, откуда

х = -, где Z.

Ответ: -n, где пZ.

3) .

Решение.

Воспользуемся формулой = + 1.

Тогда получим равносильное уравнение: ( 1 ).

Введем новую переменную t = tqx и получим квадратное уравнение относительно t:

( 2 ).

Решив уравнение ( 2 ) получим : t =1 , .

Следовательно, множество всех решений уравнения ( 1 ) есть объединение множеств

всех решений двух уравнений: tqx = 1 и tqx = .

Откуда : и

Ответ: , .

4) cos2x + sinx = 0.

Решение.

Заменим cos2x на и упростим его. Приведя подобные , получим квадратное уравнение относительно sinx:

Решением этого уравнения являются два корня : sin x =1 и .

Откуда: ;

Ответ:

5) .

Решение.

Воспользуемся тем, что sin2x=2sinx cosx. Тогда получим уравнение:

sinx ( sinx - 2cosx) = 0.

Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл:

sin x = 0	или	sin x – 2 cos x = 0/ : cos x
		tq x – 2 = 0;
		.

Ответ:

Вывод: простейший по идее (но не всегда кратчайший) способ решения тригонометриче ского уравнения состоит в том, что все тригонометрические функции, входящие в урав нение, выражаются через одну и ту же функцию одной и той же величины, например через sinx, или через tqx и т.д. Удачный выбор этой функции часто сокращает вычисления.

5) Первичное закрепление.(решение уравнений на доске)

a. (sinx + 1 )( tqx – 1 ) = 0.

Решение.

Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.