Показательные уравнения (11-й класс)

Данная тема – “Показательные уравнения” – изучается в 11-м классе по учебнику автора А.Н. Колмогорова или в 10-м классе по учебнику автора С.М. Никольского. После уроков, где решались простейшие показательные уравнения, этот первый, где рассматриваются более сложные уравнения. Чтобы успеть рассмотреть наибольшее количество различных способов решения показательных уравнений, подходит метод коллективного обучения. По исследованиям психологов установлено, что учащиеся лучше, на 40%, усваивают новый материал, если его объясняют одноклассники или сверстники. В математике мало тем, которые можно изучить при использовании метода “коллективного способа обучения”. Темы “Показательные уравнения” и “Логарифмические уравнения” дают возможность применять данный метод и получать хорошие результаты по итогам изучения темы.

Цель дидактическая: сформировать у учащихся общеучебные умения, навыки; навыки самоконтроля, взаимоконтроля.

Цель воспитательная: обеспечить гуманистический характер обучения; обучение учащихся коллективной работе и взаимопомощи.

Цель учебная: научить учащихся решать показательные уравнения различными способами (на данном уроке тремя способами):

а) приведение к линейному виду;
б) приведение к квадратному виду;
в) введение новой переменной.

1. Класс разбит на 6 групп (по 3–4 человека);
2. В каждой группе находится консультант, с которым проведена консультация по решению одного из видов уравнений за день-два до урока;
3. У каждого учащегося в группе есть консультационная карта с образцом решения показательного уравнения одним из способов, задания для самостоятельной работы под руководством консультанта и для самостоятельной работы с целью проверки усвоения нового материала.

1. Постановка цели урока и его план.
2. Работа по группам (10 мин.):
   а) консультант объясняет своей группе, с помощью консультационных карт (задание № 1 – пример), один из способов решения показательного уравнения;
   б) каждому учащемуся для самопроверки дается 4 уравнения на 4–5 мин. (задание № 2, учащийся может обращаться к консультанту за помощью или работать по образцу);
   в) по окончанию времени консультант оценивает каждого члена группы.
3. От каждой группы к доске выходит один учащийся (предпочтительно не консультант) и объясняет свой способ решения показательного уравнения, оставшиеся на карточке уравнения выписываются на доску (эти уравнения для домашнего задания).
4. Обобщение изученного материала под руководством учителя.
5. Самостоятельная работа учащихся (задание № 3 на консультационной карте), где даны три уравнения, которые решаются тремя различными способами.
6. Домашнее задание: от 8 до 12 уравнений, записанных на доске.

1-й способ: показательные уравнения, приводимые к линейному виду.

Уравнение вида: п * а^х+в + к * а^х+с + р *  а^х+б = В

I. Пример: 2 * 3^х+1 – 6 * 3^х–1 –  3^х = 9

1. 3^х+2 – 3^х+1 + 3^х = 21
2. 2^х+1 + 3 * 2^х–3 = 76
3. 33 * 2^х–1 – 2^х+1 = 29
4. 2 * З^х+1 – 6 * 3^х–1 = 12

Ответ: 1

1. 3^х + 3^3-х – 12 = 0
2. 4 + 2^х = 2^2х–1
3. 3^2х–1 + 3^2х–2 – 3^2х–4 = 315

2-й способ: показательные уравнения, сводящиеся к виду квадратного уравнения.

Уравнения вида: п * а^2х + к * а^х + р = 0

I. Пример: 2^2х+1 + 2^х+2 – 16 = О

1. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: 2^2х * 2¹ + 2^х * 2² –16 = 0
2. Пусть 2^х = а, где а > 0
3. 2а² + 4а – 16 = 0
4. Решаем квадратное уравнение и находим корни: а₁ = – 4, а₂ = 2
5. – 4 < 0, значение корня не подходит по условию.
6. Возвращаемся к первоначальной переменной: 2^х = 2
7. х = 1
8. Ответ: 1

1. 2^х+1 + 4^х = 80
2. 4^х –10 * 2^х–1 – 24 = 0
3. 9^х – 8 * 3^х+1 – 81 = 0
4. 2 * 9^х –17 * 3^х = 9

1. 3^х + 3^3–х – 12 = 0
2. 4 + 2^х = 2^2х–1
3. 3^2х–1 + 3^2х–2 –  3^2х–4 = 315

3-й способ: показательные уравнения вида: п * а^х+в + к * а^–х+с = В

I. Пример: 3^х + 3^3–х – 12 = 0

1. Применим свойство степени: а^–в = 1/а^в
2. 3^х + 3³ *  3^–х – 12 = 0
3. 3^х + 27/3^х – 12 = 0
4. Пусть 3^х = а, где а > 0
5. а + 27/а –12 = 0
6. а² – 12^а + 27 = 0
7. Решаем квадратное уравнение, находим корни уравнения: а = 9, а = 3
8. Возвращаемся к первоначальной переменной:
   3^х = 9     3^х = 3
   3^х = 3²    3^х = 3¹
   х = 2       х = 1
9. Ответ: 2; 1.

1. 5^х + 5^2–х = 26
2. 2^х+2 – 2^2–х =15
3. 7^х –14 * 7^–х = 5
4. 6^х – 35 = 36/6^х

Ответ: 2; 0.

1. 3^х + 3^3–х – 12 = 0
2. 4 + 2^х = 2^2х –1
3. 3^2х–1 + 3^2х–2 –  3^2х–4 = 315